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勾股定理知识点总结、经典例题Word下载.doc

 

  ①3、4、5②5、12、13;

③8、15、17;

④7、24、25;

⑤10、24、26;

⑥9、40、41.

  如果(a,b,c)是勾股数,当t>

0时,以at,bt,ct为三角形的三边长,此三角形必为直角三角形。

经典例题透析类型一:

勾股定理的直接用法

  1、在Rt△ABC中,∠C=90°

  

(1)已知a=6,c=10,求b, 

(2)已知a=40,b=9,求c;

 (3)已知c=25,b=15,求a.

  思路点拨:

写解的过程中,一定要先写上在哪个直角三角形中,注意勾股定理的变形使用。

  解析:

(1)在△ABC中,∠C=90°

,a=6,c=10,b=

     

(2)在△ABC中,∠C=90°

,a=40,b=9,c=

     (3)在△ABC中,∠C=90°

,c=25,b=15,a=

  总结升华:

有一些题目的图形较复杂,但中心思想还是化为直角三角形来解决。

如:

不规则图形的面积,可转化为特殊图形求解,本题通过将图形转化为直角三角形的方法,把四边形面积转化为三角形面积之差或和。

  举一反三

  【变式】:

如图∠B=∠ACD=90°

AD=13,CD=12,BC=3,则AB的长是多少?

  【答案】∵∠ACD=90°

      AD=13,CD=12

      ∴AC2=AD2-CD2

         =132-122

         =25

      ∴AC=5

      又∵∠ABC=90°

且BC=3

      ∴由勾股定理可得

      AB2=AC2-BC2

       =52-32

       =16

      ∴AB=4

      ∴AB的长是4.

类型二:

勾股定理的构造应用

  2、如图,已知:

在中,,,.求:

BC的长.

                 

  思路点拨:

由条件,想到构造含角的直角三角形,为此作于D,则有

,,再由勾股定理计算出AD、DC的长,进而求出BC的长.

作于D,则因,

     ∴(的两个锐角互余)

     ∴(在中,如果一个锐角等于,

     那么它所对的直角边等于斜边的一半).

     根据勾股定理,在中,

     .

     ∴.

利用勾股定理计算线段的长,是勾股定理的一个重要应用.当题目中没有垂直条件时,也经常作垂线构造直角三角形以便应用勾股定理.

  举一反三【变式1】如图,已知:

,,于P.求证:

.

图中已有两个直角三角形,但是还没有以BP为边的直角三角形.因此,我们考虑构造一个以BP为一边的直角三角形.所以连结BM.这样,实际上就得到了4个直角三角形.那么根据勾股定理,可证明这几条线段的平方之间的关系.

连结BM,根据勾股定理,在中,

     而在中,则根据勾股定理有

     ∴

     又∵(已知),

     ∴.

     在中,根据勾股定理有

     ,

  【变式2】已知:

如图,∠B=∠D=90°

,∠A=60°

,AB=4,CD=2。

求:

四边形ABCD的面积。

                     

  分析:

如何构造直角三角形是解本题的关键,可以连结AC,或延长AB、DC交于F,或延长AD、BC交于点E,根据本题给定的角应选后两种,进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。

延长AD、BC交于E。

     ∵∠A=∠60°

,∠B=90°

,∴∠E=30°

     ∴AE=2AB=8,CE=2CD=4,

     ∴BE2=AE2-AB2=82-42=48,BE==。

     ∵DE2=CE2-CD2=42-22=12,∴DE==。

     ∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB·

BE-CD·

DE=

类型三:

勾股定理的实际应用

  

(一)用勾股定理求两点之间的距离问题

  3、如图所示,在一次夏令营活动中,小明从营地A点出发,沿北偏东60°

方向走了到达B点,然后再沿北偏西30°

方向走了500m到达目的地C点。

  

(1)求A、C两点之间的距离。

  

(2)确定目的地C在营地A的什么方向。

把实际问题中的角度转化为图形中的角度,利用勾股定理求解。

(1)过B点作BE//AD

       ∴∠DAB=∠ABE=60°

       ∵30°

+∠CBA+∠ABE=180°

       ∴∠CBA=90°

       即△ABC为直角三角形

       由已知可得:

BC=500m,AB=

       由勾股定理可得:

       所以

     

(2)在Rt△ABC中,

       ∵BC=500m,AC=1000m

       ∴∠CAB=30°

       ∵∠DAB=60°

       ∴∠DAC=30°

       即点C在点A的北偏东30°

的方向

本题是一道实际问题,从已知条件出发判断出△ABC是直角三角形是解决问题的关键。

本题涉及平行线的性质和勾股定理等知识。

  【变式】一辆装满货物的卡车,其外形高2.5米,宽1.6米,要开进厂门形状如图的某工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?

  【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过,只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH.如图所示,点D在离厂门中线0.8米处,且CD⊥AB,与地面交于H.

  解:

OC=1米 (大门宽度一半),

    OD=0.8米 (卡车宽度一半)

    在Rt△OCD中,由勾股定理得:

    CD===0.6米,

    CH=0.6+2.3=2.9(米)>2.5(米).

    因此高度上有0.4米的余量,所以卡车能通过厂门.

  

(二)用勾股定理求最短问题

  4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状,目前正在全国各地农村进行电网改造,某地有四个村庄A、B、C、D,且正好位于一个正方形的四个顶点,现计划在四个村庄联合架设一条线路,他们设计了四种架设方案,如图实线部分.请你帮助计算一下,哪种架设方案最省电线.

         

解答本题的思路是:

最省电线就是线路长最短,通过利用勾股定理计算线路长,然后进行比较,得出结论.

设正方形的边长为1,则图

(1)、图

(2)中的总线路长分别为

     AB+BC+CD=3,AB+BC+CD=3

     图(3)中,在Rt△ABC中

      

     同理

     ∴图(3)中的路线长为 

     图(4)中,延长EF交BC于H,则FH⊥BC,BH=CH

     由∠FBH= 及勾股定理得:

     EA=ED=FB=FC=

     ∴EF=1-2FH=1-

     ∴此图中总线路的长为4EA+EF=

     3>2.828>

2.732

     ∴图(4)的连接线路最短,即图(4)的架设方案最省电线.

在实际生产工作中,往往工程设计的方案比较多,需要运用所学的数学知识进行计算,比较从中选出最优设计.本题利用勾股定理、等腰三角形的判定、全等三角形的性质.

  【变式】如图,一圆柱体的底面周长为20cm,高AB为4cm,BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发,沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短路程.

                      

        

  如图,在Rt△ABC中,BC=底面周长的一半=10cm, 根据勾股定理得 

  (提问:

勾股定理)

  ∴AC===≈10.77(cm)(勾股定理).

  答:

最短路程约为10.77cm.

类型四:

利用勾股定理作长为的线段

  5、作长为、、的线段。

由勾股定理得,直角边为1的等腰直角三角形,斜边长就等于,直角边为和1的直角三角形斜边长就是,类似地可作。

  作法:

如图所示

     

  

(1)作直角边为1(单位长)的等腰直角△ACB,使AB为斜边;

  

(2)以AB为一条直角边,作另一直角边为1的直角。

斜边为;

  (3)顺次这样做下去,最后做到直角三角形,这样斜边、、、的长度就是

    、、、。

(1)以上作法根据勾股定理均可证明是正确的;

(2)取单位长时可自定。

一般习惯用国际标准的单位,如1cm、1m等,我们作图时只要取定一个长为单位即可。

  举一反三【变式】在数轴上表示的点。

可以把看作是直角三角形的斜边,,

     为了有利于画图让其他两边的长为整数,

     而10又是9和1这两个完全平方数的和,得另外两边分别是3和1。

            

如图所示在数轴上找到A点,使OA=3,作AC⊥OA且截取AC=1,以OC为半径,

     以O为圆心做弧,弧与数轴的交点B即为。

类型五:

逆命题与勾股定理逆定理

  6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确

  1.原命题:

猫有四只脚.(正确)

  2.原命题:

对顶角相等(正确)

  3.原命题:

线段垂直平分线上的点,到这条线段两端距离相等.(正确)

  4.原命题:

角平分线上的点,到这个角的两边距离相等.(正确)

掌握原命题与逆命题的关系。

1.逆命题:

有四只脚的是猫(不正确)

     2.逆命题:

相等的角是对顶角(不正确)

     3.逆命题:

到线段两端距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.(正确)

     4.逆命题:

到角两边距离相等的点,在这个角的平分线上.(正确)

本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。

 7、如果ΔABC的三边分别为a、b、c,且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判断ΔABC的形状。

要判断ΔABC的形状,需要找到a、b、c的关系,而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,故只有从该条件入手,解决问题。

由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,得:

     a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,

     ∴(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。

     ∵(a-3)2≥0,(b-4)2≥0,(c-5)2≥0。

     ∴a=3,b=4,c=5。

     ∵32+42=52,

     ∴a2+b2=c2。

  由勾股定理的逆定理,得ΔABC是直角三角形。

勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到。

  举一反三【变式1】四边形ABCD中,∠B=90°

,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积。

  【答案】:

连结AC

       ∵∠B=90°

,AB=3,BC=4

       ∴AC2=AB2+BC2=25(勾股定理)

       ∴AC=5

       ∵AC2+CD2=169,AD2=169

       ∴AC2+CD2=AD2

       ∴∠ACD=90°

(勾股定理逆定理)

       

  【变式2】已知:

△ABC的三边分别为m2-n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且m>n),判断△ABC是否为直角三角形.

  分析:

本题是利用勾股定理的的逆定理,只要证明:

a2+b2=c2即可

  证明:

     所以△ABC是直角三角形.

  【变式3】如图正方形ABCD,E为BC中点,F为AB上一点,且BF=AB。

      请问FE与DE是否垂直?

请说明。

  【答案】答:

DE⊥EF。

设BF=a,则BE=EC=2a,AF=3a,AB=4a,

     ∴EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2;

     DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。

     连接DF(如图)

     DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。

     ∴DF2=EF2+DE2,

     ∴FE⊥DE。

经典例题精析

类型一:

勾股定理及其逆定理的基本用法

  1、若直角三角形两直角边的比是3:

4,斜边长是20,求此直角三角形的面积。

在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度,求面积,可以先通过比值设未知数,再根据勾股定理列出方程,求出未知数的值进而求面积。

设此直角三角形两直角边分别是3x,4x,根据题意得:

     (3x)2+(4x)2=202

     化简得x2=16;

     ∴直角三角形的面积=×

3x×

4x=6x2=96

 总结升华:

直角三角形边的有关计算中,常常要设未知数,然后用勾股定理列方程(组)求解。

  举一反三 【变式1】等边三角形的边长为2,求它的面积。

  【答案】如图,等边△ABC,作AD⊥BC于D

      则:

BD=BC(等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合)

      ∵AB=AC=BC=2(等边三角形各边都相等)

      ∴BD=1

      在直角三角形ABD中,AB2=AD2+BD2,即:

AD2=AB2-BD2=4-1=3

      ∴AD=

      S△ABC=BC·

AD=

  注:

等边三角形面积公式:

若等边三角形边长为a,则其面积为a。

  【变式2】直角三角形周长为12cm,斜边长为5cm,求直角三角形的面积。

  【答案】设此直角三角形两直角边长分别是x,y,根据题意得:

      由

(1)得:

x+y=7,

      (x+y)2=49,x2+2xy+y2=49(3)

      (3)-

(2),得:

xy=12

      ∴直角三角形的面积是xy=×

12=6(cm2)

  【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1,n+2,n+3,求n。

首先要确定斜边(最长的边)长n+3,然后利用勾股定理列方程求解。

此直角三角形的斜边长为n+3,由勾股定理可得:

    (n+1)2+(n+2)2=(n+3)2

    化简得:

n2=4

    ∴n=±

2,但当n=-2时,n+1=-1<

0,∴n=2

注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方,在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下,首先要先确定斜边,直角边。

  【变式4】以下列各组数为边长,能组成直角三角形的是()

  A、8,15,17   B、4,5,6   C、5,8,10   D、8,39,40

此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断,

     对数据较大的可以用c2=a2+b2的变形:

b2=c2-a2=(c-a)(c+a)来判断。

     例如:

对于选择D,

     ∵82≠(40+39)×

(40-39),

     ∴以8,39,40为边长不能组成直角三角形。

     同理可以判断其它选项。

 【答案】:

A

  【变式5】四边形ABCD中,∠B=90°

    ∵∠B=90°

    ∴AC2=AB2+BC2=25(勾股定理)

    ∴AC=5

    ∵AC2+CD2=169,AD2=169

    ∴AC2+CD2=AD2

    ∴∠ACD=90°

    ∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB·

BC+AC·

CD=36

勾股定理的应用

  2、如图,公路MN和公路PQ在点P处交汇,且∠QPN=30°

,点A处有一所中学,AP=160m。

假设拖拉机行驶时,周围100m以内会受到噪音的影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到噪声影响?

请说明理由,如果受影响,已知拖拉机的速度为18km/h,那么学校受影响的时间为多少秒?

                  

(1)要判断拖拉机的噪音是否影响学校A,实质上是看A到公路的距离是否小于100m,小于100m则受影响,大于100m则不受影响,故作垂线段AB并计算其长度。

(2)要求出学校受影响的时间,实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。

因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校,行至哪一点后结束影响学校。

作AB⊥MN,垂足为B。

     在RtΔABP中,∵∠ABP=90°

,∠APB=30°

,AP=160,

     ∴AB=AP=80。

(在直角三角形中,30°

所对的直角边等于斜边的一半)

     ∵点A到直线MN的距离小于100m,

     ∴这所中学会受到噪声的影响。

     如图,假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响,那么AC=100(m),

     由勾股定理得:

BC2=1002-802=3600,∴BC=60。

                

     同理,拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响,那么,AD=100(m),BD=60(m),

     ∴CD=120(m)。

     拖拉机行驶的速度为:

18km/h=5m/s

     t=120m÷

5m/s=24s。

拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校会受到噪声影响,学校受影响的时间为24秒。

  总结升华:

勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过作辅助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理。

  举一反三 【变式1】如图学校有一块长方形花园,有极少数人为了避开拐角而走“捷径”,在花园内走出了一条“路”。

他们仅仅少走了__________步路(假设2步为1m),却踩伤了花草。

他们原来走的路为3+4=7(m)

     设走“捷径”的路长为xm,则

     故少走的路长为7-5=2(m)

     又因为2步为1m,所以他们仅仅少走了4步路。

【答案】4

  【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格,它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形,这样的三角形称为单位正三角形。

  

(1)直接写出单位正三角形的高与面积。

  

(2)图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形?

平行四边形ABCD的面积是多少?

  (3)求出图中线段AC的长(可作辅助线)。

  【答案】

(1)单位正三角形的高为,面积是。

      

(2)如图可直接得出平行四边形ABCD含有24个单位正三角形,因此其面积。

      (3)过A作AK⊥BC于点K(如图所示),则在Rt△ACK中,,

        ,故

数学思想方法

(一)转化的思想方法

我们在求三角形的边或角,或进行推理论证时,常常作垂线,构造直角三角形,将问题转化为直角三角形问题来解决.

  3、如图所示,△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E、F分别是AB、AC边上的点,且DE⊥DF,若BE=12,CF=5.求线段EF的长。

                    

现已知BE、CF,要求EF,但这三条线段不在同一三角形中,所以关键是线段的转化,根据直角三角形的特征,三角形的中线有特殊的性质,不妨先连接AD.

连接AD.

    因为∠BAC=90°

,AB=AC. 又因为AD为△ABC的中线,

    所以AD=DC=DB.AD⊥BC.

    且∠BAD=∠C=45°

    因为∠EDA+∠ADF=90°

. 又因为∠CDF+∠ADF=90°

    所以∠EDA=∠CDF. 所以△AED≌△CFD(ASA).

    所以AE=FC=5.

    同理:

AF=BE=12.

    在Rt△AEF中,根据勾股定理得:

    ,所以EF=13。

此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。

通过此题,我们可以了解:

当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时,应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。

  

(二)方程的思想方法

  4、如图所示,已知△ABC中,∠C=90°

,,求、、的值。

       

由,再找出、的关系即可求出和的值。

在Rt△ABC中,∠A=60°

-∠A=30°

    则,由勾股定理,得。

    因为,所以,

    ,,。

在直角三角形中,30°

的锐角的所对的直角边是斜边的一

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