分式运算的几种技巧(专题复习)超好的整理资料Word文件下载.doc

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本题项数较多，分母不相同.因此，在进行加减时，可考虑分组.分组的原则是使各组运算后的结果能出现分子为常数、相同或倍数关系，这样才能使运算简便。

原式=（-）+（-）

=+=

四、分离整数法

例4计算

方法：

当算式中各分式的分子次数与分母次数相同次数时，一般要先利用分裂整数法对分子降次后再通分；

在解某些分式方程中，也可使用分裂整数法。

原式=

=

=。

。

五、逐项通分法

例5计算：

若一次通分，计算量太大，注意到相邻分母之间，依次通分构成平方差公式，采用分段分步法，则可使问题简单化。

同类方法练习题：

计算

六、裂项相消法

例6计算：

.

本题的10个分式相加，无法通分，而式子的特点是：

每个分式的分母都是两个连续整数的积（若a是整数），联想到，这样可抵消一些项.

=

七、整体代入法

例7．已知+=5求的值

解法1：

∵+=5∴xy≠0,.所以====

解法2：

由+=5得，=5,x+y=5xy

∴====

练习：

若=5，求的值．

八、公式变形法

例8．已知a2-5a+1=0，计算a4+

由已知条件可得a≠0,∴a+=5

∴a4+=（a2+）2-2=[（a+）2-2]2-2=（52-2）2-2=527

（1）已知x2+3x+1=0，求x2+的值．

九、设中间参数法

例9．已知==，计算：

设===k，则b+c=ak；

a+c=bk；

a+b=ck；

把这3个等式相加得2（a+b+c）=（a+b+c）k

若a+b+c=0，a+b=-c,则k=-1

若a+b+c≠0，则k=2

==k3

当k=-1时，原式=-1

当k=2时，原式=8

（1）已知实数x、y满足x:

y=1:

2，则__________。

（2）已知，则=_____________。

十、先取倒数后拆项法（尤其分子单项，分母多项）

例10．已知=7，求的值

由条件知a≠0,∴=,即a+=

∴=a2++1=（a+）2-1=

∴=

已知a+=5．则=__________.

十一、特殊值法（选填题）

例11.已知abc=1,则＋＋=_________.

由已知条件无法求出a、b、c的值，可根据已知条件取字母的一组特殊值，然后代入求值．

令a=1，b=1，c=1，则

原式=++=++=1.

说明：

在已知条件的取值范围内取一些特殊值代入求值，可准确、迅速地求出结果．

（1）已知：

xyz≠0,x+y+z=0,计算++

（2）已知，则=________

十二、主元法

例12.已知xyz≠0,且3x－4y－z=0,2x＋y－8z=0,求的值.

将z看作已知数，把3x－4y－z=0与2x＋y－8z=0联立，

得3x－4y－z=0,

2x＋y－8z=0.

解得x=3z,

y=2z.

所以，原式==

已知3a-4b-c=0,2a+b-8c=0,计算:

混合运算练习题

（1）

（2）.（3）－x－1

（4）-+（5）（6）

（7）（8）（9）

（10）（11）（12）（+2）÷

（13）（14）

（15）计算：

，并求当时原式的值．

【错题警示】

一、错用分式的基本性质

例1 

化简

错解：

原式

分式的基本性质是“分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变”，而此题分子乘以3，分母乘以2，违反了分式的基本性质.

正解：

二、错在颠倒运算顺序

例2 

计算

乘除是同一级运算，除在前应先做除，上述错解颠倒了运算顺序，致使结果出现错误.

三、错在约分

当为何值时，分式有意义？

[错解]原式.

由得.

∴时，分式有意义.

[解析]上述解法错在约分这一步，由于约去了分子、分母的公因式，扩大了未知数的取值范围，而导致错误.

[正解]由得且.

∴当且，分式有意义.

四、错在以偏概全

为何值时，分式有意义？

[错解]当，得.

∴当，原分式有意义.

[解析]上述解法中只考虑的分母，没有注意整个分母，犯了以偏概全的错误.

[正解]，得，

由，得.

∴当且时，原分式有意义.

五、错在计算去分母

例3 

计算.

[错解]原式

=.

[解析]上述解法把分式通分与解方程混淆了，分式计算是等值代换，不能去分母，.

[正解]原式

六、错在只考虑分子没有顾及分母

例4 

当为何值时，分式的值为零.

[错解]由，得.

∴当或时，原分式的值为零.

[解析]当时，分式的分母，分式无意义，谈不上有值存在，出错的原因是忽视了分母不能为零的条件.

[正解]由，得.

由，得且.

∴当时，原分式的值为零.

七、错在“且”与“或”的用法

例7 

为何值时，分式有意义

要使分式有意义，须满足，即.

由得，或由得.

当或时原分式有意义.

上述解法由得或是错误的.因为与中的一个式子成立并不能保证一定成立，只有与同时成立，才能保证一定成立.

故本题的正确答案是且.

八、错在忽视特殊情况

例8 

解关于的方程.

方程两边同时乘以，得，即.

当时，，

当时，原方程无解.

当时，原方程变为取任何值都不能满足这个方程，错解只注意了对的讨论，而忽视了的特殊情况的讨论.

方程两边同时乘以，得，即

当且时，，当或时，原方程无解.