实际问题与一元二次方程-(含答案)Word文档格式.doc
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一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程根与系数的关系。
针对练习2:
先阅读，再填空解题：
（1）方程：
x2－x－2=0的根是：
x1=－3,x2=4，则x1+x2=1，x1·
x2=12；
（2）方程2x2－7x+3=0的根是：
x1=,x2=3，则x1+x2=，x1·
x2=；
（3）方程x2－3x+1=0的根是：
x1=,x2=.
则x1+x2=，x1·
x2=；
根据以上
（1）
（2）（3）你能否猜出：
如果关于x的一元二次方程mx2+nx+p=0（m≠0且m、n、p为常数）的两根为x1、x2，那么x1+x2、x1、x2与系数m、n、p有什么关系？
请写出来你的猜想并说明理由.
.
典例精析
类型之一：
建立一元二次方程模型解应用题
例1甲、乙两人分别骑车从A、B两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C地相遇，相遇后两人按原来的方向继续前进.乙在由C地到达A地的途中因故停了20分钟，结果乙由C地到达A地时比甲由C地到达B地还提前了40分钟，已知乙比甲每小时多行驶4千米，求甲、乙两人骑车的速度.
例2某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
类型之二：
一元二次方程的根的判别式的应用
例3阅读材料：
如果，是一元二次方程的两根，那么有.这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题，例如是方程的两根，求的值.解法可以这样：
则
请你根据以上解法解答下题：
已知是方程的两根，
求：
（1）的值；
（2）的值.
类型之三：
综合应用
例4.某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．
（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？
（2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元．
①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？
②求出y与x之间的函数关系式，并通过画该函数图像的草图，观察其图像的变化趋势，结合题意写出当x取何值时，商场获利润不少于2160元？
达标练习：
1.如果一个不为零的数的平方等于这个数的两倍,那么这个数是（）
A.偶数B.奇数C.偶数或奇数D.不一定是整数
2.在一幅长80cm,宽50cm的矩形风景画的四周镶上一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示.如果要使整个挂图的面积是5400cm2,设金色纸边的宽为xcm,那么x满足的方程是（）
A.x2+130x－1400=0B.x2+65x－350=0
C.x2－130x－1400=0D.x2－65x－350=0
3.恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率．
4.若是方程的两个实数根，则的值为（）
A．2005 B．2003 C．－2005 D．4010
随堂检测：
1.从一块正方形的铁片上剪掉2cm宽的长方形铁片，剩下的面积是48cm2，则原来铁片的面积是（）
A.64cm2B.100cm2C.121cm2D.144cm2
2.如图，某工厂直角墙角处，用可建60米长围墙的建筑材料围成一个矩形堆货场地，中间用同样的材料分隔成两间，问AB为多长时，所围成的矩形面积是450平方米？
3.某厂制造某种商品,原来每件产品的成本是100元,由于不断改进设备,提高生产技术,连续两次降低成本,两次降价后的成本是81元,则平均每次降低成本的百分率是（）
A.8.5%B.9%C.9.5%D.10%
4.某厂制造某种商品，原来每件产品的成本是100元，由于不断改进设备，提高生产技术，连续两次降低成本，两次降价后的成本是81元，则平均每次降低成本的百分率是（）
A.8.5%B.9%C.9.5%D.10%
5.已知、是方程的两个根，那么的值是（）
A.1B.5C.7D.
6.某两位数的十位数字是方程x2－8x=0的解，则其十位数是___________.
7.某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元．请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？
备选题目：
1.某两位数的十位数字与个位上的数字之和是5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得的新两位数与原两位数的乘积为736，求原来的两位数.
2.已知某项工程由甲、乙两队合做12天可以完成，共需工程费用13800元，乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的2倍少10天，且甲队每天的工程费用比乙队多150元.
（1）甲、乙两队单独完成这项工程分别需要多少天？
（2）若工程管理部门决定从这两个队中选一个队单独完成此项工程，从节约资金的角度考虑，应该选择哪个工程队？
请说明理由.
3.有一根竹竿,不知道它有多长.把竹竿横放在一扇门前,竹竿长比门宽多4尺;
把竹竿竖放在这扇门前,竹竿长比门的高度多2尺;
把竹竿斜放,竹竿长正好和门的对角线等长.问竹竿长几尺?
课时作业：
A等级
1、某电视机厂计划用两年的时间把某种型号的电视机的成本降低36%,若每年下降的百分数相同,则这个百分数为（）
A、10%B、20%C、120%D、180%
2、某超市一月份的营业额为200万元,已知第一季度的总营业额共1000万元,如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为（）
A、200（1+x）2=1000B、200+200×
2x=1000
C、200+200×
3x=1000D、200[1+（1+x）+（1+x）2]=1000
3、某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为200千克，出油率为50％（即每100千克花生可加工成花生油50千克）．现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的．则新品种花生亩产量的增长率为（）
A、20％B、30%C、50%D、120%
4、若两个连续整数的积是56,则它们的和是（）
A、±
15B、15C、－15D、11
5、市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。
某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是。
6、一种药品经过两次降价后,每盒的价格由原来的60元降至48.6元,那么平均每次降价的百分率是。
7、高温煅烧石灰石（CaCO3）可以制取生石灰（CaO）和二氧化碳（CO2）.如果不考虑杂质及损耗,生产石灰14吨就需要煅烧石灰石25吨,那么生产石灰224万吨,需要石灰石万吨。
8、解方程+=7时，利用换元法将原方程化为6y2—7y+2=0，则应设y=_____。
9、某地区开展“科技下乡”活动三年来，接受科技培训的人员累计达95万人次，其中第一年培训了20万人次。
设每年接受科技培训的人次的平均增长率都为x，根据题意列出的方程是___________。
10、一条长64cm的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形。
若两个正方形的面积和等于160cm2，则这两个正方形的边长分别为。
B等级
11.如果是一元二次方程的两个实数根，那么的值是（）
A． B． C． D．
12.已知a、b、c分别是三角形的三边，则方程（a+b）x2+2cx+（a+b）＝0的根的情况是（）
A．没有实数根 B．可能有且只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
13.若x＝1是一元二次方程x2＋x＋c＝0的一个解，则c2＝．
14.一元二次方程的根为 。
15.已知x=1是关于x的一元二次方程2x2+kx－1=0的一个根，则实数k的值是.
16.关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是．
17.解方程：
18.解方程：
．
19.阅读材料：
如果，是一元二次方程的两根，那么有.这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题，例是方程的两根，求的值.解法可以这样：
则.请你根据以上解法解答下题：
已知是方程的两根，求：
（2）的值.
20.如图①，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边．如图②，地毯中央的矩形图案长6米、宽3米，整个地毯的面积是40平方分米．求花边的宽．
C等级
21.某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：
1．在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其它三侧内墙各保留1m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288m2？
22.如图，某市区南北走向的北京路与东西走向的喀什路相交于点O处．甲沿着喀什路以4m/s的速度由西向东走，乙沿着北京路以3m/s的速度由南向北走．当乙走到O点以北50m处时，甲恰好到点O处．若两人继续向前行走，求两个人相距85m时各自的位置．
23.汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司2005年盈利1500万元，到2007年盈利2160万元，且从2005年到2007年，每年盈利的年增长率相同．
（1）该公司2006年盈利多少万元？
（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2008年盈利多少万元？
24.若x1、x2是一元二次方程3x2+x－1=0的两个根,则+的值是（）
A.2B.1C.－1D.3
25.三角形两边长分别是8和6,第三边的长是一元二次方程x2－16x+60=0的一个实数根,则该三角形的面积是（）
A.24B.24或8C.48D.8
26.如图，有一矩形空地，一边靠墙，这堵墙的长为30m，另三边由一段长为35m的铁丝网围成．已知矩形空地的面积是125m2，求矩形空地的长和宽．
27.某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为5000吨，三月份上升到7200吨，这两个月平均每月增长的百分率是多少？
28.如图，在Rt△ABC中，∠B=900，AB=6厘米，BC=3厘米，点P从点A开始沿AB边向点B以1厘米／秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米／秒的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，几秒钟后，P，Q间距离等于4厘米．
29、某工程队再我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程。
原计划每天拆迁1250m2，因为准备工作不足，第一天少拆迁了20％。
从第二天开始，该工程队加快了拆迁速度，第三天拆迁了1440m2。
（1）该工程队第一天拆迁的面积；
（2）若该工程队第二天、第三天每天的拆迁面积比前一天增加的百分数相同，求这个百分数。
30、在解一元二次方程时,粗心的甲、乙两位同学分别抄错了同一道题,甲抄错了常数项,得到的两根分别是8和2;
乙抄错了一次项系数,得到的两根分别是－9和－1.你能找出正确的原方程吗?
若能,请你用配方法求出这个方程的根.
答案：
1.B
2.D
3.A
4.A
5、20%；
6、10%；
7、400；
8、
9、
10、12cm、4cm；
11.【解析】C本题考察了一元二次方程的根与系数的关系。
=－（）=
【评注】对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），满足b2－4ac≥0时，x1+x2=－,x1x2=.
12.【解析】A本题考查了一元二次方程的根的情况.，由于a、b、c分别是三角形的三边，根据三边的关系可得<
0，所以方程没有实数根.
【评注】判断一元二次方程ax2+bx+c=0是否有根，就是判定b2－4ac与0的大小关系.如果b2－4ac＞0，则方程有两个不等的实数根；
b2－4ac=0，则方程有两个相等的实数根；
b2－4ac＜0，方程无实数根。
13.【解析】本题主要考查了一元二次方程的解的意义。
把x＝1代入一元二次方程x2＋x＋c＝0，得到1+1＋c＝0，所以c＝－2.
【答案】－2
【评注】能够使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解，只含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根.所以将已知的方程的根代入原方程是成立的.
14.【解析】本题主要考查了应用一元二次方程求根公式求出根.根据求根公式x====.所以，.
【答案】，
【评注】用公式法解一元二次方程的一般步骤：
（1）把一元二次方程化成一般形式：
ax2+bx+c=0（a≠0）;
（2）确定a、b、c的值；
（3）求b2－4ac的值；
（4）当b2－4ac≥0时，则将a、b、c及b2－4ac的值代入求根公式求出方程的根，若b2－4ac＜0，则方程无实数根.
15.【解析】把x=1代入2x2+kx－1=0的一个根，∴2×
12+k－1=0,∴k=－1.
【答案】－1
【评注】方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值，所以将方程的根代入方程的左右两边就可以使方程成立.如果已知方程的根，求方程中的其它字母，可以直接将这个根代入方程，这样即可求出字母系数.
16.【解析】本题考查一元二次方程根的判别式的运用.如果有两个实数根，则（－2）2－4m≥0,所以.
【答案】
【评注】当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根，当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根，当b2－4ac＜0时，方程没有实数根.本题中方程有两个实数根，可能相等，可能不相等，所以b2－4ac≥0.
17.【解析】本题考察了一元二次方程及其解法，本题可使用公式法或配方法两种方法解得结果。
【解答】．
所以原方程的解为：
，．
【评注】用公式法求解时，化成一般形式是前提，确定各项系数是基础，计算的值和代入公式是关键。
18.【解析】本题考查分式方程的解法，本题运用的是换元法，这是一种重要的数学思想方法.
【解答】设则原方程可化为2y2+y－6,解得，y2=－2,
即，，解得，．
经检验，，是原方程的根．
【评注】分式方程往往是通过转化为整式方程来求解的，在解方程之后要注意检验分式方程.
19.【解析】本题考查一元二次方程根与系数之间的关系及乘法公式的变形应用.从方程可得出,想办法把要求的式子与化成用表示形式,再整体代入即可
【解答】
（1）
（2）
【评注】对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），满足b2－4ac≥0时，由求根公式知x1=,x2=,∴x1+x2=－,x1x2=，即两根之和为－，两根之积为.运用此结论解某些有关的题时较为简便.
20.【解析】本题考查的是一元二次方程应用问题。
根据矩形面积公式很容易列出方程，解后应注意验根是否符合问题实际。
【解答】设花边的宽为x分米，
根据题意，得．
解得．
x=不合题意，舍去．
答：
花边的宽为1米．
【评注】本题比较直观的表示出了矩形的面积，在列等量关系的时候要注意四周花边的宽度相同，从而得到了整个图形的长和宽.
21.【解析】本题考查应用一元二次方程解决实际问题。
关键是用设出的未知数表示蔬菜种植区域的长和宽，再根据面积为288，列方程，解出未知数的值，注意要舍去不符合实际的解。
【解答】解法一：
设矩形温室的宽为xm，则长为2xm．根据题意，得
解这个方程，得
（不合题意，舍去），．
所以，．
当矩形温室的长为28m，宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是288m2．
解法二：
设矩形温室的长为，则宽为．根据题意，得．
【评注】有些实际问题是关于图形面积的问题，解决这些问题的时候，要根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题．
22.【解析】本题考查应用一元二次方程解决实际问题。
本题既可以直接设也可以间接设，如果间接设，可以设经过x秒时两人相距85m，然后求出时间即可求出最后的位置.
【解答】解法1：
设经过x秒时两人相距85m
根据题意得：
化简得：
解得：
（不符合实际情况，舍去）
当时，
∴当两人相距85m时，甲在O点以东36m处，乙在O点以北77m处．
解法2：
设甲与O处的距离为xm时，两人相距85m
则乙与O处的距离为
（不符合实际情况，舍去）
当
当两人相距85米时，甲在O点以东36米处，乙在O点以北77米处．
【评注】动态几何问题是数形结合思想的体现，其实质是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使几何问题代数化。
在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：
第一要理解几何图形的运动意义或规则；
第二是恰当设未知数，建立等量关系，以形想数，做好数形转化；
第三是正确确定未知数的取值范围。
23.【解析】本题主要考查一元二次方程的应用.利用“增长量=基数×
增长率，增长后的总量=基数×
（1+增长率）”计算。
（1）设每年盈利的年增长率为x，
根据题意得
解得（不合题意，舍去）
2006年该公司盈利1800万元．
（2）
预计2008年该公司盈利2592万元．
【评注】随着市场经济的日益繁荣，市场竞争更是激烈．因此，“利润问题”还将是人们关注的焦点，还会被搬上中考试卷，让同学们真正体会到数学的宝贵价值．
24.【解析】B本题可以先解方程,然后代入,但此法比较复杂.简捷的方法是通过前面的总结得出x1+x2=－,x1x2=,这样容易得到原式为1.
25.【解析】B解方程,得x1=10,x2=6.根据三角形的三边关系,知x1=10,x2=6均合题意,当三角形的三边分别为6、8、10时,构成的是直角三角形,面积为×
6×
8=24；
当三边分别为6、6、8时,构成的是等腰三角形,根据等腰三角形的“三线合一”性质及勾股定理,求得底边上的高为2,所以面积为×
8×
2=8.
26.【解析】根据长方形面积公式，运用长×
宽=25列出方程，即可求得答案．在方程中墙壁的长度30m没有直接用到，但在检验结果的时候，要注意矩形的平行于墙壁的一边长不能超过30m，否则，这堵墙就没有作为养鸡场的利用价值。
【解答】设矩形与墙平行的一边长为xm，则矩形的另一条边长为m．根据题意，得
x·
=125
整理，得x235x+250=O．
解这个方程，得x1=10，x2=25
当x=10时，=12.5
当x=25时，=5．均合题意
答：
矩形空地的长和宽分别是12.5m和10m或25m和5m．17.【解析】设平均每月的增长率为，则2月份的产量是（吨），3月份的产量是（吨）．
27.【解答】设平均每月的增长率为，据题意得:
．
化简得，
于是．
解得（不合题意，舍去）．
所以=0．2=20％．
这两个月平均每月增长的百分率是20%．
28.【解析】设x秒钟后，P、Q两点间的距离等于4cm．再利用路程=时间×
速度的关系，用x的代数式表示出PB与BQ长度，然后在Rt△PBQ中由勾股定理列出方程．
【解答】设x秒钟后，P、Q间的距离等于4cm．
则由题意，得：
AP=x，PB=6－x，BQ=2x．
在Rt△PBQ中，PQ2=PB2+BQ2
∴（4）2=（6－x）2+（2x）2．
5x2－12x+
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