九年级二次函数培优竞赛试题及答案Word文档下载推荐.doc

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（3）点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形？

直接写出所有符合条件的t值．

1.【解析】

试题分析：

（1）过点C作CD垂直于x轴，由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°

至AC，根据旋转的旋转得到AB=AC，且∠BAC为直角，可得∠OAB与∠CAD互余，由∠AOB为直角，可得∠OAB与∠ABO互余，根据同角的余角相等可得一对角相等，再加上一对直角相等，利用ASA可证明三角形ACD与三角形AOB全等，根据全等三角形的对应边相等可得AD=OB，CD=OA，由A和B的坐标及位置特点求出OA及OB的长，可得出OD及CD的长，根据C在第四象限得出C的坐标；

（2）①由已知的抛物线经过点C，把第一问求出C的坐标代入抛物线解析式，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出抛物线的解析式；

②假设存在点P使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形，分三种情况考虑：

（i）A为直角顶点，过A作AP1垂直于AB，且AP1=AB，过P1作P1M垂直于x轴，如图所示，根据一对对顶角相等，一对直角相等，AB=AP1，利用AAS可证明三角形AP1M与三角形ACD全等，得出AP1与P1M的长，再由P1为第二象限的点，得出此时P1的坐标，代入抛物线解析式中检验满足；

（ii）当B为直角顶点，过B作BP2垂直于BA，且BP2=BA，过P2作P2N垂直于y轴，如图所示，同理证明三角形BP2N与三角形AOB全等，得出P2N与BN的长，由P2为第三象限的点，写出P2的坐标，代入抛物线解析式中检验满足；

（iii）当B为直角顶点，过B作BP3垂直于BA，且BP3=BA，如图所示，过P3作P3H垂直于y轴，同理可证明三角形P3BH全等于三角形AOB，可得出P3H与BH的长，由P3为第四象限的点，写出P3的坐标，代入抛物线解析式检验，不满足，综上，得到所有满足题意的P的坐标．

试题解析：

（1）过C作CD⊥x轴，垂足为D，

∵BA⊥AC，∴∠OAB+∠CAD=90°

，

又∠AOB=90°

，∴∠OAB+∠OBA=90°

∴∠CAD=∠OBA，又AB=AC，∠AOB=∠ADC=90°

∴△AOB≌△CDA，又A（1，0），B（0，﹣2），

∴OA=CD=1，OB=AD=2，

∴OD=OA+AD=3，又C为第四象限的点，

∴C的坐标为（3，﹣1）；

（2）①∵抛物线y=﹣x2+ax+2经过点C，且C（3，﹣1），

∴把C的坐标代入得：

﹣1=﹣+3a+2，解得：

a=，

则抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2；

②存在点P，△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形，

（i）若以AB为直角边，点A为直角顶点，

则延长CA至点P1使得P1A=CA，得到等腰直角三角形ABP1，过点P1作P1M⊥x轴，如图所示，

∵AP1=CA，∠MAP1=∠CAD，∠P1MA=∠CDA=90°

∴△AMP1≌△ADC，

∴AM=AD=2，P1M=CD=1，

∴P1（﹣1，1），经检验点P1在抛物线y=﹣x2+x+2上；

（ii）若以AB为直角边，点B为直角顶点，则过点B作BP2⊥BA，且使得BP2=AB，

得到等腰直角三角形ABP2，过点P2作P2N⊥y轴，如图，

同理可证△BP2N≌△ABO，

∴NP2=OB=2，BN=OA=1，

∴P2（﹣2，﹣1），经检验P2（﹣2，﹣1）也在抛物线y=﹣x2+x+2上；

（iii）若以AB为直角边，点B为直角顶点，则过点B作BP3⊥BA，且使得BP3=AB，

得到等腰直角三角形ABP3，过点P3作P3H⊥y轴，如图，

同理可证△BP3H≌△BAO，

∴HP3=OB=2，BH=OA=1，

∴P3（2，﹣3），经检验P3（2，﹣3）不在抛物线y=﹣x2+x+2上；

则符合条件的点有P1（﹣1，1），P2（﹣2，﹣1）两点．

考点：

1.二次函数综合题2.点的坐标3.等腰直角三角形．

2.【答案】

（1）y=-x2-2x+3；

（2）（，）（3）当t为秒或2秒或3秒或秒时，以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形

【解析】

（1）先由直线AB的解析式为y=x+3，求出它与x轴的交点A、与y轴的交点B的坐标，再将A、B两点的坐标代入y=-x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）设第三象限内的点F的坐标为（m，-m2-2m+3），运用配方法求出抛物线的对称轴及顶点D的坐标，再设抛物线的对称轴与x轴交于点G，连接FG，根据S△AEF=S△AEG+S△AFG-S△EFG=3，列出关于m的方程，解方程求出m的值，进而得出点F的坐标；

（3）设P点坐标为（-1，n）．先由B、C两点坐标，运用勾股定理求出BC2=10，再分三种情况进行讨论：

①∠PBC=90°

，先由勾股定理得出PB2+BC2=PC2，据此列出关于n的方程，求出n的值，再计算出PD的长度，然后根据时间=路程÷

速度，即可求出此时对应的t值；

②∠BPC=90°

，同①可求出对应的t值；

③∠BCP=90°

，同①可求出对应的t值．

（1）∵y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，

∴当y=0时，x=-3，即A点坐标为（-3，0），

当x=0时，y=3，即B点坐标为（0，3），

将A（-3，0），B（0，3）代入y=-x2+bx+c，得

，解得，

∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3；

（2）如图1，

设第三象限内的点F的坐标为（m，-m2-2m+3），则m＜0，-m2-2m+3＜0．

∵y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，

∴对称轴为直线x=-1，顶点D的坐标为（-1，4），

设抛物线的对称轴与x轴交于点G，连接FG，则G（-1，0），AG=2．

∵直线AB的解析式为y=x+3，

∴当x=-1时，y=-1+3=2，

∴E点坐标为（-1，2）．

∵S△AEF=S△AEG+S△AFG-S△EFG=×

2×

2+×

（m2+2m-3）-×

（-1-m）=m2+3m，

∴以A、E、F为顶点的三角形面积为3时，m2+3m=3，

解得：

，（舍去），

当时，-m2-2m+3=-m2-3m+m+3=-3+m+3=m=，∴点F的坐标为（，）；

（3）设P点坐标为（-1，n）．

∵B（0，3），C（1，0），

∴BC2=12+32=10．

分三种情况：

①如图2，如果∠PBC=90°

，那么PB2+BC2=PC2，

即（0+1）2+（n-3）2+10=（1+1）2+（n-0）2，

化简整理得6n=16，解得n=，

∴P点坐标为（-1，），

∵顶点D的坐标为（-1，4），

∴PD=4-=，

∵点P的速度为每秒1个单位长度，

∴t1=；

②如图3，如果∠BPC=90°

，那么PB2+PC2=BC2，

即（0+1）2+（n-3）2+（1+1）2+（n-0）2=10，

化简整理得n2-3n+2=0，解得n=2或1，

∴P点坐标为（-1，2）或（-1，1），

∴PD=4-2=2或PD=4-1=3，

∴t2=2，t3=3；

③如图4，如果∠BCP=90°

，那么BC2+PC2=PB2，

即10+（1+1）2+（n-0）2=（0+1）2+（n-3）2，

化简整理得6n=-4，解得n=-，

∴P点坐标为（-1，-），

∴PD=4+=，

∴t4=；

综上可知，当t为秒或2秒或3秒或秒时，以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形．