华师版八年级下《函数及其图像一》知识点归纳1文档格式.doc

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（2）点p（x,y）在第二象限→x＜0,y＞0.p（-,+）

（3）点p（x,y）在第三象限→x＜0,y＜0p（-,-）

（4）点p（x,y）在第四象限→x＞0,y＜0.p（+,-）

2．坐标轴上的点的坐标的特征：

（1）点p（x,y）在x轴上→x为任意实数，y=0,p（x,0）

（2）点p（x,y）在y轴上→x=0,y为任意实数p（0,y）

3．关于x轴，y轴，原点对称的点的坐标的特征：

（1）点p（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,-y）.

（2）点p（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（-x,y）.

（3）点p（x,y）关于原点对称的点的坐标为（-x,-y）

6．点到坐标轴及原点的距离：

（1）点p（x,y）到x轴的距离为｜y︱.

（2）点p（x,y）到y轴的距离为∣x∣.

（3）点p（x,y）到原点的距离为

三．函数的图像

判断点p﹙x,y﹚是否在函数图像上的方法，将这个点的坐标﹙x,y﹚代入函数关系式，如果满足函数关系式，那么这个点就在函数的图像上，如果不满足函数关系式，那么，这个点就不在函数的图像上。

四．一次函数

（一）一次函数的定义

1．定义:

含有自变量的式子为一次整式，即形如式子y＝kx+b（其中k和b为常数，k≠0）叫做一次函数。

正比例函数：

在一次函数y=kx+b中如果b=0即变为y=kx（其中k≠0），这样的函数叫做正比例函数。

2．注意：

（1）一次函数解析式y=kx+b的结构特征：

①k≠0②x的次数是1③常数b为任意实数

（3）正比例函数解析式y=kx的结构特征

①k≠0②x的次数是1③常数b=0

3．说明：

在y=kx+b中若k=0则y=b﹙b为常数﹚这样的函数叫做常数函数，它不是一次函数。

4．正比例函数与一次函数的关系：

正比例函数是一次函数的特例，一次函数包含正比例函数。

一次函数y=kx+b，当b=0时为正比例函数

一次函数y=kx+b，当b≠0时一般的一次函数

（二）一次函数的图像

1．一次函数图像的形状：

一次函数y=kx+b的图像是一条直线，通常称为直线y=kx+b

正比例函数y=kx的图像也是一条直线，称为直线y=kx

2．一次函数图像的主要特点:

一次函数y=kx+b的图像经过点﹙0，b﹚的直线，正比例函数y=kx+b的图像是经过原点﹙0，0﹚的直线

注意：

点﹙0，b﹚是直线y=kx+b与y轴的交点。

①当b＞0时，此时交点在y轴的正半轴上，

②当b＜0时，此时交点在y轴的负半轴上，

③当b=0时，此时交点在原点，这时的一次函数就是正比例函数。

3．一次函数图像的画法：

根据两点能画一条直线并且只能画一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图像时，只要先描出两点，在连成直线即可。

两点为﹙0，b﹚与﹙-,0﹚

4．直线y=kx+b与坐标轴的交点

（1）令x=0,则y=b所以直线y=kx+b与y轴的交点坐标为﹙0，b﹚

（2）令y=0,则kx+b=0所以x=-

所以直线y=kx+b与x轴的交点坐标为﹙-,0﹚注意：

此时直线y=kx+b与x轴，y轴围成的三角形面积S=×

∣-∣×

∣b∣

5．两直线在直角坐标系内的位置关系:

（1）两直线的解析式中当k相同时，其位置关系是平行，其中一条直线可以看作是另一条平移得到的，平移规律是“左减右加，上加下减”

（2）两直线的解析式中当b相同时，其位置关系是相交，交点坐标为﹙0，b﹚.

（三）一次函数的性质

1．正比例函数的性质

（1）当k＞0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大，直线y=kx从左到右上升。

（2）当k＜0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小，直线y=kx从左到右下降。

2．一次函数y=kx+b的性质

（1）当k＞0时，直线y=kx+b从左到右上升，此时y随x的增大而增大。

（2）当k＜0时，直线y=kx+b从左到右下降，此时y随x的增大而减小。

（3）当b＞0时，直线y=kx+b与y轴正半轴相交。

（4）当b＜0时，直线y=kx+b与y轴负半轴相交。

3．直线y=kx+b的位置与k、b的符号之间的关系有六种情况：

①当k＞0，b＞0时，直线经过第一、二、三象限，不经过第四象限；

②当k＞0，b＜0时，直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限；

③当k＜0，b＞0时，直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限；

④当k＜0，b＜0时，直线经过第二、三、四象限，不经过第一象限；

⑤当k＞0，b=0时，直线经过第一、三象限；

⑥当k＜0，b=0时，直线经过第二、四象限。

（四）正比例函数与一次函数解析式的确定

1．确定一个正比例函数就是要确定正比例函数解析式y=kx﹙k≠0﹚中的常数k;

确定一个一次函数需要确定一次函数解析式一般形式y=kx+b﹙k≠0﹚中的常数k和b,解这类问题的一般方法是待定系数法。

2．用待定系数法求函数解析式的一般步骤：

（1）设出含有待定系数的解析式；

（2）把已知条件﹙自变量与函数的对应值﹚代入解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；

（3）解方程或方程组，求出待定系数；

（4）将求得的待定系数的值代回所设的解析式。

通常正比例函数解析式设y=kx，只有一个待定系数k，一般只需一对x与y的对应值即可；

一次函数解析式设y=kx+b，其中有两个待定系数k和b，因而需要两对x与y的对应值，才能求出k和b的值。

五．反比例函数

（一）反比例函数定义

1．一般的，函数y=﹙k是常数，k≠0﹚叫做反比例函数，反比例函数的解析式也可以写成y=kx-1的形式，其中k叫做比例系数。

2．反比例函数解析式的主要特征：

（1）等号左边是函数y,右边是一个分式，分子是不为零的常数k,分母中含有自变量x,且x的指数是1，若写成y=kx-1的形式，则x的指数是-1。

（2）比例系数“k≠0”是反比例函数定义的重要组成部分。

（3）自变量x的取值范围是x≠0的一切实数。

（二）反比例函数的图像

反比例函数的图像是双曲线，关于原点成中心对称，它的图像与x轴和y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。

（三）反比例函数的性质

1．当k＞0时，图像在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左到右下降，也就是在每个象限内y随x的增大而减小。

2．当k＜0时，图像在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左到右上升，也就是在每个象限内y随x的增大而增大。

（四）反比例函数解析式的确定

确定解析式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数y=中只有一个待定系数，因此只需要一对x与y的对应值或图像上一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。

（五）反比例函数y=﹙k≠0﹚中的比例系数k的几何意义

1．过双曲线上一点作x轴、y轴的垂线PM、PN,所得矩形PMON面积为|k|。

2．连结PO,则S△POM=S矩形=|k|。

六．函数的应用

1．利用图像比较两个函数值的大小

在同一直角坐标系中的两个函数图像，如果其中一个函数的图像在另一个函数图像的上方，则该函数值就比另一个函数值大，若在下方，则该函数值就比另一个函数值小，而其交点的横坐标就是分界点。

2．两个一次函数图像的交点与二元一次方程组的关系

如果两个一次函数的图像相交，则交点坐标必定同时满足两个函数解析式，故交点坐标是有两个函数解析式组成的二元一次方程组的解。

3．一次函数与方程、不等式的关系

（1）一次函数y=kx+b的图像与x轴的交点的纵坐标等于0，反映在函数解析式就是函数值等于0，则其横坐标也就是自变量的值为方程kx+b=0的解。

（2）一次函数y=kx+b在x轴上方的图像，任意一点的纵坐标都大于0，反映在函数解析式就是函数值y＞0，则对应的横坐标，也就是自变量的值即为不等式kx+b＞0的解集。

（3）一次函数y=kx+b在x轴下方的图像，任意一点的纵坐标都小于0，反映在函数解析式就是函数值y＜0，则对应的横坐标，也就是自变量的值即为不等式kx+b＜0的解集。