全等三角形作辅助线经典例题Word文档下载推荐.doc
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90）后，如图②所示，
（1）问中得到的两个结论是否发生改变？
并说明理由．
二、截长补短
1.如图，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求证：
CD⊥AC
如图，AD∥BC，EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA，CD过点E，求证;
AB＝AD+BC
如图，已知在内，，，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是，的角平分线。
求证：
BQ+AQ=AB+BP
4：
如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分，求证：
5:
如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;
AB-AC＞PB-PC
6．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD=AC，求∠B∶∠C的值．
中考应用：
三.借助角平分线造全等
如图，已知在△ABC中，∠B=60°
，△ABC的角平分线AD,CE相交
于点O，求证：
OE=OD
如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.
（1）说明BE=CF的理由；
（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的长.
中考应用:
1、如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。
请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°
，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。
请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；
O
P
A
M
N
E
B
C
D
F
图①
图②
图③
（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而
（1）中的其它条件不变，请问，你在
（1）中所得结论是否仍然成立？
若成立，请证明；
若不成立，请说明理由。
四、平移变换
1.AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点，△ABC周长记为，△EBC周长记为.求证＞.
如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：
AB+AC>
AD+AE.
五、旋转
正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.
2：
D为等腰斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。
（1）当绕点D转动时，求证DE=DF。
（2）若AB=2，求四边形DECF的面积。
3.如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且，以D为顶点做一个角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则的周长为；
1、已知四边形中，，，，：
，，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于．
（1）当绕点旋转到时（如图1），易证．
（2）当绕点旋转到时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？
若成立，请给予证明；
若不成立，线段，又有怎样的数量关系？
请写出你的猜想，不需证明．
（图1）
（图2）
（图3）
2、在等边的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且,,BD=DC.探究：
当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系．
图1图2图3
（I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是；
此时；
（II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？
写出你的猜想并加以证明；
（III）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=，则Q=（用、L表示）．
六、构造全等
例1：
已知：
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90º
，
AC=BC，D为BC的中点，CE⊥AD于E，交AB于F，连接DF．
∠ADC=∠BDF．
2．如图，△ABC中，AB=AC，过点A作GE∥BC，角平分线BD、CF相交于点H，它们的延长线分别交GE于点E、G．试在图10中找出3对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明．
3．已知△ABC，AB=AC，E、F分别为AB和AC延长线上的点，且BE=CF，EF交BC于G．求证：
EG=GF．
4．已知：
△ABC中，BD=CD，∠1＝∠2．求证：
AD平分∠BAC．
说明：
遇到有关角平分线的问题时，可引角的两边的垂线，先证明三角形全等，然后根据全等三角形的性质得出垂线段相等，再利用角的平分线性质得出两角相等．
（2）利用角的平分线构造全等三角形：
①过角平分线上一点作两边的垂线段
练习：
如图22，AB∥CD，E为AD上一点，且BE、CE分
别平分∠ABC、∠BCD．求证：
AE=ED．
②以角的平分线为对称轴构造对称图形
例：
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=2∠B．求证：
AB=AC+CD．
分析：
由于角平分线所在的直线是这个角的对称轴，因此在AB上截取AE=AC，连接DE，我们就能构造出一对全等三角形，从而将线段AB分成AE和BE两段，只需证明BE=CD就可以了．
③延长角平分线的垂线段，使角平分线成为垂直平分线
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于E．
∠ACE=∠B+∠ECD．
注意到AD平分∠BAC，CE⊥AD，于是可延长CE交AB于点F，即可构造全等三角形．
（3）利用角的平分线构造等腰三角形
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过点D作DE∥AB，DE交AC于点E．易证△AED是等腰三角形．因此，我们可以过角平分线上一点作角的一边的平行线，
构造等腰三角形．
例如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，DE⊥BD于D，交BC于点E．
CD=BE．
1．如图，在△ABC中，∠B=90º
AD为∠BAC的平分线，DF⊥AC于F，DE=DC．
BE=CF．
2．已知：
如图，AD是△ABC的中线，
DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BE=CF．
（1）AD是∠BAC的平分线；
（2）AB=AC．
3．在△ABC中，∠BAC=60º
，∠C=40º
AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q．
AB+BP=BQ+AQ．
4．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB=AC+CD．
∠C=2∠B．
5．已知，E为△ABC的∠A的平分线
AD上一点，AB＞AC．
AB-AC＞EB-EC．
6．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，
AD=CD，BD平分∠ABC．求证：
∠A+∠C=180º
．
7．如图所示，已知AD∥BC，∠1=∠2，
∠3=∠4，直线DC过点E作交AD于点D，交
BC于点C．
AD+BC=AB．
8．已知，如图，△ABC中，∠ABC=90º
AB=BC，AE是∠A的平分线，CD⊥AE于D．求证：
CD=AE．
9．△ABC中，AB=AC，∠A=100º
BD是∠B的平分线．求证：
AD+BD=BC．
10．如图36，∠B和∠C的平分线相交于点F，
过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点
E，若BD+CE=9，则线段DE的长为（ ）
A．9B．8C．7D．6
11．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AD交BC于点D，且D是BC的中点．
AB=AC．
12．已知：
如图，△ABC中，AD是∠BAC
的平分线，E是BC的中点，EF∥AD，交AB于M，
交CA的延长线于F．求证：
BM=CF．
1.如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=450，将△ADC绕点A顺时针旋转900后，得到△AFB，连接ＥＦ，下列结论：
（１）△ＡＥＤ≌△ＡＥＦ；
（２）△ＡＢＥ∽△ＡＣＤ；
（３）ＢＥ＋ＤＣ＝ＤＥ；
（４）ＢＥ２＋ＤＣ２＝ＤＥ２．其中正确的是（ ）
A．
（2）（4）B．
（1）（4）C．
（2）（3）D．
（1）（3）
2.在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC
于F，M为EF中点，则AM的最小值为．
3.如图，在等腰梯形ABCD中，∠C=60°
，AD∥BC，且AD=DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF，AF、BE交于点P.
（1）求证：
AF=BE；
（2）请你猜测∠BPF的度数，并证明你的结论.
4.已知：
如图，在△ABC中，∠ACB=，于点D,点E在AC上，CE=BC,过E点作AC的垂线，交CD的延长线于点F.求证：
AB=FC
5．如图，在四边形ABCD中，AB=BC，BF是∠ABC的平分线，AF∥DC，连接AC、CF，求证：
CA是∠DCF的平分线.
6.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上移动，但A到EF的距离AH始终保持与AB长相等，问在E、F
移动过程中：
（1）求证：
∠EAF=45o;
（2）△ECF的周长是否有变化？
请说明理由.
7.如图，△ABC中，∠ABC=∠BAC=45°
，点P在AB上，AD⊥CP，BE⊥CP，垂足分别为D、E，
已知DC=2，求BE的长。
8．如图，在矩形ABCD中，AE平分∠DAB交DC于点E，连接BE，过E作EF⊥BE交AD于E.
（1）∠DEF和∠CBE相等吗？
请说明理由；
[来源:
学。
科。
网]
（2）请找出图中与EB相等的线段（不另添加辅助线和字母），并说明理由.
9.将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张纸片，再将这两张三角形纸片摆放成如图所示的形式，使点B、F、C、D在同一条直线上。
AB⊥ED。
（2）若PB=BC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明。
10.如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=900，D为AB边上一点。
（1）△ACE≌△BCD；
（2）。
11．已知:
PA=,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.
（1）如图,当∠APB=45°
时,求AB及PD的长;
（2）当∠APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应∠APB的大小.
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