相似三角形模型讲一线三等角问题讲义解答Word格式文档下载.doc

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7．如图，在△ABC中，∠A=60°

，BD、CE分别是AC与AB边上的高，求证：

BC=2DE．

8．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、B、C、E在同一条直线上，且∠DAE=120°

．

（1）图中有哪几对三角形相似？

请证明其中的一对三角形相似；

（2）若DB=2，CE=6，求BC的长．

9．（已知：

如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠DAE=45°

．求证：

（1）△ABE∽△DCA；

（2）BC2=2BE•CD．

10．如图，在等边△ABC中，边长为6，D是BC边上的动点，∠EDF=60°

△BDE∽△CFD；

（2）当BD=1，CF=3时，求BE的长．

11．

（1）在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P、Q分别在射线CB、AC上（点P不与点C、点B重合），且保持∠APQ=∠ABC．

①若点P在线段CB上（如图），且BP=6，求线段CQ的长；

②若BP=x，CQ=y，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；

（2）正方形ABCD的边长为5（如图），点P、Q分别在直线CB、DC上（点P不与点C、点B重合），且保持∠APQ=90度．当CQ=1时，写出线段BP的长（不需要计算过程，请直接写出结果）．

13．已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，AD=5，AB=DC=2．

（1）如图，P为AD上的一点，满足∠BPC=∠A，求AP的长；

（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE=∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q．

①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP=x，CQ=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

②当CE=1时，写出AP的长．（不必写解答过程）

14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=BC=6，AD=3．点M为边BC的中点，以M为顶点作∠EMF=∠B，射线ME交腰AB于点E，射线MF交腰CD于点F，连接EF．

△MEF∽△BEM；

（2）若△BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长；

（3）若EF⊥CD，求BE的长．

15．已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且BC=6，AB=DC=4，点E是AB的中点．

（1）如图，P为BC上的一点，且BP=2．求证：

△BEP∽△CPD；

（2）如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不重合），且满足∠EPF=∠C，PF交直线CD于点F，同时交直线AD于点M，那么

①当点F在线段CD的延长线上时，设BP=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；

②当时，求BP的长．

16．如图所示，已知边长为3的等边△ABC，点F在边BC上，CF=1，点E是射线BA上一动点，以线段EF为边向右侧作等边△EFG，直线EG，FG交直线AC于点M，N，

（1）写出图中与△BEF相似的三角形；

（2）证明其中一对三角形相似；

（3）设BE=x，MN=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（4）若AE=1，试求△GMN的面积．

17．如图所示，已知矩形ABCD中，CD=2，AD=3，点P是AD上的一个动点（与A、D不重合），过点P作PE⊥CP交直线AB于点E，设PD=x，AE=y，

（1）写出y与x的函数解析式，并指出自变量的取值范围；

（2）如果△PCD的面积是△AEP面积的4倍，求CE的长；

（3）是否存在点P，使△APE沿PE翻折后，点A落在BC上？

证明你的结论．

18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°

，AB=5，，点D是BC的中点，点E是AB边上的动点，DF⊥DE交射线AC于点F．

（1）求AC和BC的长；

（2）当EF∥BC时，求BE的长；

（3）连接EF，当△DEF和△ABC相似时，求BE的长．

19．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°

，AC=BC，D是AB边上一点，E是在AC边上的一个动点（与点A、C不重合），DF⊥DE，DF与射线BC相交于点F．

（1）如图2，如果点D是边AB的中点，求证：

DE=DF；

（2）如果AD：

DB=m，求DE：

DF的值；

（3）如果AC=BC=6，AD：

DB=1：

2，设AE=x，BF=y，

①求y关于x的函数关系式，并写出定义域；

②以CE为直径的圆与直线AB是否可相切？

若可能，求出此时x的值；

若不可能，请说明理由．

20．如图，在△ABC中，∠C=90°

，AC=6，，D是BC边的中点，E为AB边上的一个动点，作∠DEF=90°

，EF交射线BC于点F．设BE=x，△BED的面积为y．

（1）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）如果以线段BC为直径的圆与以线段AE为直径的圆相切，求线段BE的长；

（3）如果以B、E、F为顶点的三角形与△BED相似，求△BED的面积．

21．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2，AD=4，tanC=，∠ADC=∠DAB=90°

，P是腰BC上一个动点（不含点B、C），作PQ⊥AP交CD于点Q．（图1）

（1）求BC的长与梯形ABCD的面积；

（2）当PQ=DQ时，求BP的长；

（图2）

（3）设BP=x，CQ=y，试求y关于x的函数解析式，并写出定义域．

1.解答：

证明：

∵AD∥BC，∴=，又BE∥CD，∴=，∴=，即OC2=OA•OE．

2.解答：

解：

①∵AB=AC，∴∠B=∠C，

又∵∠ADE=∠B∴∠ADE=∠C，∴△ADE∽△ACD，∴=，∴AD2=AE•AB，

故①正确，

②易证得△CDE∽△BAD，∵BC=16，

设BD=y，CE=x，∴=，∴=，整理得：

y2﹣16y+64=64﹣10x，

即（y﹣8）2=64﹣10x，∴0＜x≤6.4，

∵AE=AC﹣CE=10﹣x，∴3.6≤AE＜10．故②正确．

③作AG⊥BC于G，

∵AB=AC=10，∠ADE=∠B=α，cosα=，

∵BC=16，∴AG=6，

∵AD=2，∴DG=2，∴CD=8，∴AB=CD，∴△ABD与△DCE全等；

故③正确；

④当∠AED=90°

时，由①可知：

△ADE∽△ACD，∴∠ADC=∠AED，

∵∠AED=90°

，∴∠ADC=90°

，

即AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=CD，∴∠ADE=∠B=α且cosα=，AB=10，BD=8．

当∠CDE=90°

时，易△CDE∽△BAD，

∵∠CDE=90°

，∴∠BAD=90°

∵∠B=α且cosα=．AB=10，∴cosB==，∴BD=．故④正确．

故答案为：

①②④．

3.解答：

（1）在△BDE和△DAB中

∵∠DEB=∠ABC，∠BDE=∠ADB，∴△BDE∽△ADB，

∴，∴BD2=AD•DE．

（2）∵AD是中线，∴CD=BD，∴CD2=AD•DE，∴，

又∠ADC=∠CDE，∴△DEC∽△DCA，∴∠DCE=∠DAC．

4.解答：

连接CE，如右图所示，

∵AB=AC，AD⊥BC，∴AD是∠BAC的角平分线，∴BE=CE，

∴∠EBC=∠ECB，

又∵∠ABC=∠ACB，∴∠ABC﹣∠EBC=∠ACB﹣∠ECB，

即∠ABE=∠ACE，

又∵CG∥AB，∴∠ABE=∠CGF，∴∠CGF=∠FCE，

又∠FEC=∠CEG，∴△CEF∽△GEC，∴CE：

EF=EG：

CE，

即CE2=EF•EG，又CE=BE，∴BE2=EF•EG．

5.解答：

连接AF，

∵AD是角平分线，∴∠BAD=∠CAD，

又EF为AD的垂直平分线，∴AF=FD，∠DAF=∠ADF，∴∠DAC+∠CAF=∠B+∠BAD，

∴∠CAF=∠B，

∵∠AFC=∠AFC，∴△ACF∽△BAF，即=，∴AF2=CF•BF，即FD2=CF•BF．

6.解答：

（1）∵∠APD=∠C=90°

，∠A=∠A，

∴△ADP∽△ABC，∴==，

∵∠EPD=∠A，∠PED=∠AEP，∴△EPD∽△EAP．∴==．∴AE=2PE．

（2）由△EPD∽△EAP，得==，

∴PE=2DE，∴AE=2PE=4DE，

作EH⊥AB，垂足为点H，

∵AP=x，∴PD=x，∵PD∥HE，∴==．∴HE=x．

又∵AB=2，y=（2﹣x）•x，即y=﹣x2+x．

定义域是0＜x＜．

另解：

由△EPD∽△EAP，得==，

∴PE=2DE．∴AE=2PE=4DE．∴AE=×

x=x，

∴S△ABE=×

x×

2=x，∴=，即=，

∴y=﹣x2+x．定义域是0＜x＜．

（3）由△PEH∽△BAC，得=，∴PE=x•=x．

当△BEP与△ABC相似时，只有两种情形：

∠BEP=∠C=90°

或∠EBP=∠C=90°

（i）当∠BEP=90°

时，=，∴=．解得x=．

∴y=﹣x×

×

5+×

=．

（ii）当∠EBP=90°

时，同理可得x=，y=．

7.解答：

∵BD、CE分别是AC与AB边上的高，∴∠BEC=∠BDC，

∴B、C、D、E四点共圆，∴∠AED=∠ACB，而∠A=∠A，

∴△AED∽△ACB，∴；

∵BD⊥AC，且∠A=60°

，∴∠ABD=30°

，AD=，∴BC=2DE．

8.解答：

（1）有△DAE∽△DBA∽△ACE．

∵△ABC是等边三角形∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°

．∴∠D+∠DAB=60°

，∠E+∠CAE=60°

∵∠DAE=120°

，∴∠DAB+∠EAC=60°

．∴∠D=∠CAE，∠E=∠DAB．

∵∠D=∠D，∠E=∠E，∴△DAE∽△DBA∽△ACE．

（2）∵△DBA∽△ACE，∴DB：

AC=AB：

CE．

∵AB=AC=BC，DB=2，CE=6∴BC2=DB•CE=12，

∵BC＞0，∴BC=2．

9.解答：

（1）在Rt△ABC中，

∵AB=AC，∴∠B=∠C=45°

．

∵∠BAE=∠BAD+∠DAE，∠DAE=45°

，∴∠BAE=∠BAD+45°

．

而∠ADC=∠BAD+∠B=∠BAD+45°

∴∠BAE=∠CDA．

∴△ABE∽△DCA．

（2）由△ABE∽△DCA，得．∴BE•CD=AB•AC．

而AB=AC，BC2=AB2+AC2，∴BC2=2AB2．∴BC2=2BE•CD．

10.解答：

（1）证明：

∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠C=60°

∵∠EDF=60°

，∴∠BED+∠EDB=∠EDB+∠FDC=120°

∴∠BED=∠FDC，∴△BDE∽△CFD；

（2）解：

由

（1）知△BDE∽△CFD，∴=，

∵BC=6，BD=1，∴CD=BC﹣BD=5，∴=，解得BE=．

11.解答：

（1）①∵∠APQ+∠CPQ=∠B+∠BAP，∠APQ=∠ABC，∴∠BAP=∠CQP．

又∵AB=AC，∴∠B=∠C．

∴△CPQ∽△BAP．∴．

∵AB=AC=5，BC=8，BP=6，CP=8﹣6=2，∴，．

②若点P在线段CB上，由

（1）知，

∵BP=x，BC=8，∴CP=BC﹣BP=8﹣x，

又∵CQ=y，AB=5，∴，即．

故所求的函数关系式为，（0＜x＜8）．

若点P在线段CB的延长线上，如图．

∵∠APQ=∠APB+∠CPQ，∠ABC=∠APB+∠PAB，∠APQ=∠ABC，

∴∠CPQ=∠PAB．

又∵∠ABP=180°

﹣∠ABC，∠PCQ=180°

﹣∠ACB，∠ABC=∠ACB，

∴∠ABP=∠PCQ．∴△QCP∽△PBA．∴．

∵BP=x，CP=BC+BP=8+x，AB=5，CQ=y，

∴，即（x≥8）．

（2）①当点P在线段BC上，

∵∠APQ=90°

，∴∠APB+∠QPC=90°

∵∠PAB+∠APB=90°

，∴∠PAB=∠QPC，

∵∠B=∠C=90°

，∴△ABP∽△PCQ，∴AB：

PC=BP：

CQ，

即5：

（5﹣BP）=BP：

1，解得：

，或，

②当点P在线段BC的延长线上，则点Q在线段DC的延长线上，

同理可得：

△ABP∽△PCQ，∴AB：

∴5：

（BP﹣5）=BP：

③当点P在线段CB的延长线上，则点Q在线段DC的延长线上，

（BP+5）=BP：

13.解答：

（1）∵ABCD是梯形，AD∥BC，AB=DC．∴∠A=∠D

∵∠ABP+∠APB+∠A=180°

，∠APB+∠DPC+∠BPC=180°

，∠BPC=∠A

∴∠ABP=∠DPC，∴△ABP∽△DPC∴，即：

解得：

AP=1或AP=4．

（2）①由

（1）可知：

△ABP∽△DPQ

∴，即：

，∴（1＜x＜4）．

②当CE=1时，

∵△PDQ∽△ECQ，∴，或，

∵，解得：

AP=2或（舍去）．

14.解答：

（1）在梯形ABCD中，

∵AD∥BC，AB=CD，∴∠B=∠C，

∵∠BMF=∠EMB+∠EMF=∠C+∠MFC，

又∵∠EMF=∠B，∴∠EMB=∠MFC，∴△EMB∽△MFC，∴，

∵MC=MB，∴，又∵∠EMF=∠B，∴△MEF∽△BEM；

若△BEM是以BM为腰的等腰三角形，则有两种情况：

①BM=ME，那么根据△MEF∽△BEM，

∴=，∴=，即EF=MF

根据第

（1）问中已证△BME∽△MFC，

∴=，即MF=FC，∴∠FMC=∠C，

又∵∠B=∠C，∴∠FMC=∠B，∴MF∥AB

延长BA和CD相交于点G，又点M是BC的中点，

∴MF是△GBC的中位线，∴MF=GB，

又∵AD∥BC，∴△GAD∽△GBC，∴===，∴=1，即AG=AB=6，

∴GB=12，∴MF=EF=6

②BM=BE=3，∴点E是AB的中点，又△MEF∽△BEM，

∴==1，即MF=ME，∴EF是梯形ABCD的中位线，∴EF=（AD+BC）=（3+6）=；

（3）∵EF⊥CD，

∴∠EFC=90°

，△MEF∽△BEM，∠MFE=∠MFC=∠BME=45°

解一：

过点E作EH⊥BC，则可得△EHM等腰直角三角形，

故EH=MH，设BE=x，则BH=，EH=MH=，，∴BE=

解二：

过点M作MN⊥DC，MC=3，NC=．MN==FN，FC=﹣2

由△MEF∽△MFC有，即，得BE=．

15.解答：

∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∴∠B=∠C．

BE=2，BP=2，CP=4，CD=4．∴．∴△BEP∽△CPD．

①∵∠B=∠C=∠EPF

∴180﹣∠B=180﹣∠EPF=∠BEP+∠BPE=∠BPE+∠CPF

∴∠BEP=∠FPC，∴△BEP∽△CPF，∴．∴．

∴（2＜x＜4）．

②当点F在线段CD的延长线上时，

∵∠FDM=∠C=∠B，∠BEP=∠FPC=∠FMD，∴△BEP∽△DMF．

∵，∴．

∵，∴x2﹣3x+8=0，△＜0．∴此方程无实数根．

故当点F在线段CD的延长线上时，不存在点P使；

当点F在线段CD上时，同理△BEP∽△DMF，

∵△BEP∽△CPF，∴．∴．∴．

∴x2﹣9x+8=0，解得x1=1，x2=8．由于x2=8不合题意舍去．∴x=1，即BP=1．

∴当时，BP的长为1．

16.解答：

（1）△BEF∽△AME∽△CFN∽△GMN；

（2）在△BEF与△AME中，

∵∠B=∠A=60°

，∴∠AEM+∠AME=120°

∵∠GEF=60°

，∴∠AEM+∠BEF=120°

，∴∠BEF=∠AME，∴△BEF∽△AME；

（3）（i）当点E在线段AB上，点M、N在线段AC上时，如图，

∵△BEF∽△AME，∴BE：

AM=BF：

AE，

即：

x：

AM=2：

（3﹣x），∴AM=，同理可证△BEF∽△CFN；

∴BE：

CF=BF：

CN，

1=2：

CN，∴CN=，

∵AC=AM+MN+CN，∴3=+y+，∴y=（1≤x≤3）；

（ii）当点E在线段AB上，点G在△ABC内时，如备用图一，

同上可得：

AM=，CN=，

∵AC=AM+CN﹣MN，∴3=+﹣y，∴y=﹣（0＜x≤1）；

（iii）当点E在线段BA的延长线上时，如备用图二，AM=，CN=，

∵AC=MN+CN﹣AM，∴3=y+﹣，∴y=（x＞3）；

综上所述：

y=﹣（0＜x≤1），或∴y=（x≥1）；

（4）（i）当AE=1时，△GMN是边长为1等边三角形，

∴S△GMN=×

1×

=；

（1分）

（ii）当AE=1时，△GMN是有一个角为30°

的Rt△，

∵x=4，∴y==，NG=FG﹣FN=4×

﹣1×

=，

17.解答：

（1）解：

∵PE⊥CP，∴可得：

△EAP∽△PDC，∴，

又∵CD=2，AD=3，设PD=x，AE=y，∴，∴y=﹣，0＜x＜3；

当△PCD的面积是△AEP面积的4倍，

则：

相似比为2：

1，∴，

∵CD=2，∴AP=1，PD=2，∴PE=，PC=2，∴EC=．

（3）不存在．

作AF⊥PE，交PE于O，BC于F，连接EF

∵AF⊥PE，CP⊥PE∴AF=CP=，PE=，

∵△CDP∽△POA∴=，OA=，

若OA=AF=，

3x2﹣6x+4=0△=62﹣4×

4×

3=﹣12x无解因此，不存在．

18.解答：

（1）在Rt△ABC中，∠C=90°

∵，∴设AC=3k，BC=4k，∴AB=5k=5，∴k=1，∴AC=3，BC=4；

（2）过点E作EH⊥BC，垂足为H．

易得△EHB∽△ACB设EH=CF=3k，BH=4k，BE=5k；

∵EF∥BC∴∠EFD=∠FDC

∵∠FDE=∠C=90°

∴△EFD∽△FDC∴∴FD2=EF•CD，即9k2+4=2（4﹣4k）

化简，得9k2+8k﹣4=0

解得（负值舍去），∴；

（3）过点E作EH⊥BC，垂足为H．易得△EHB∽△ACB

设EH=3k，BE=5k

∵∠HED+∠HDE=90°

∠FDC+∠HDE=90°

∴∠HED=∠FDC

∵∠EHD=∠C=90°

∴△EHD∽△DCF∴，

当△DEF和△ABC相似时，有两种情况：

1°

，∴，

即解得，∴

2°

，∴，即解得，∴．

综合1°

、2°

，当△DEF和△ABC相似时，BE的长为或．

19.解答：

如图2，连接DC．

∵∠ACB=90°

，AC=BC，∴∠A=∠B=45°

∵点D是AB中点，∴∠BCD=∠ACD=45°

，CD=BD，∴∠ACD=∠B=45°

∵ED⊥DF，CD⊥AB，

∴∠EDC+∠CDF=90°

，∠CDF+∠FDB=90°

，∴∠EDC=∠FDB，

∴△CED≌△BFD（ASA），∴DE=DF；

如图1，作DP⊥AC，DQ⊥BC，垂足分别为点Q，P．

∵∠B=∠A，∠APD=∠BQD=90°

，∴△ADP∽△BDQ，

∴DP：

DQ=AD：

DB=m．

∵∠CPD=∠CQD=90°

，∠C=90°

，∴∠QDP=90°

∵DF⊥DE，∴∠EDF=90°

，∴∠QDF=∠PDE，

∵∠DQF=∠DPE=90°

，∴△DQF∽△DPE，

∴DE：

DF=DP：

DQ，∴DE：

DB=m；

（3）解：

①如备用图1，作EG⊥AB，FH⊥AB，垂足分别为点G、H．

在Rt△ABC中，∠C=90°

，AC=BC=6，∴AB=，

∵AD：

2，∴AD=，DB=．

由∠AGE=∠BHF=90°

，∠A=∠B=45°

可得AG=EG=，BH=FH=，GD=，HD=，

易证△DGE∽△FHD，∴，∴，∴y=8﹣2x，定义域是0＜x≤4．

②如备用图2，取CE的中点O，作OM⊥AB于M