中考数学压轴题函数直角三角形问题二Word文档格式.doc

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②若点P从点O出发向点A作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一个点Q从点A出发向点O作匀速运动，速度为每秒2个单位（当点Q到达点O时停止运动，点P也停止运动）．过Q作x轴的垂线，与直线AB交于点F，延长QF到点M，使得FM＝QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN（当点Q运动时，点M、N也随之运动）．若点P运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“10北京24”，拖动点P从O向A运动，可以体验到，两个等腰直角三角形的边有三个时刻可以共线．

思路点拨

1．这个题目最大的障碍，莫过于无图了．

2．把图形中的始终不变的等量线段罗列出来，用含有t的式子表示这些线段的长．

3．点C的坐标始终可以表示为（3t,2t），代入抛物线的解析式就可以计算此刻OP的长．

4．当两个等腰直角三角形有边共线时，会产生新的等腰直角三角形，列关于t的方程就可以求解了．

满分解答

（1）因为抛物线经过原点，所以．解得，（舍去）．因此．所以点B的坐标为（2，4）．

（2）①如图4，设OP的长为t，那么PE＝2t，EC＝2t，点C的坐标为（3t,2t）．当点C落在抛物线上时，．解得．

②如图1，当两条斜边PD与QM在同一条直线上时，点P、Q重合．此时3t＝10．解得．

如图2，当两条直角边PC与MN在同一条直线上，△PQN是等腰直角三角形，PQ＝PE．此时．解得．

如图3，当两条直角边DC与QN在同一条直线上，△PQC是等腰直角三角形，PQ＝PD．此时．解得．

图1图2图3

考点伸展

在本题情境下，如果以PD为直径的圆E与以QM为直径的圆F相切，求t的值．

如图5，当P、Q重合时，两圆内切，．

如图6，当两圆外切时，．

图4图5图6

例4

如图1，已知A、B是线段MN上的两点，，，．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，设．

（1）求x的取值范围；

（2）若△ABC为直角三角形，求x的值；

（3）探究：

△ABC的最大面积？

动感体验

请打开几何画板文件名“09嘉兴24”，拖动点B在AN上运动，可以体验到，三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；

∠CAB和∠ACB可以成为直角，∠CBA不可能成为直角；

观察函数的图象，可以看到，图象是一个开口向下的“U”形，当AB等于1.5时，面积达到最大值．

1．根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边列关于x的不等式组，可以求得x的取值范围．

2．分类讨论直角三角形ABC，根据勾股定理列方程，根据根的情况确定直角三角形的存在性．

3．把△ABC的面积S的问题，转化为S2的问题．AB边上的高CD要根据位置关系分类讨论，分CD在三角形内部和外部两种情况．

（1）在△ABC中，，，，所以解得．

（2）①若AC为斜边，则，即，此方程无实根．

②若AB为斜边，则，解得，满足．

③若BC为斜边，则，解得，满足．

因此当或时，△ABC是直角三角形．

（3）在△ABC中，作于D，设，△ABC的面积为S，则．

①如图2，若点D在线段AB上，则．移项，得．两边平方，得．整理，得．两边平方，得．整理，得

所以（）．

当时（满足），取最大值，从而S取最大值．

图2图3

②如图3，若点D在线段MA上，则．

同理可得，（）．

易知此时．

综合①②得，△ABC的最大面积为．

第（3）题解无理方程比较烦琐，迂回一下可以避免烦琐的运算：

设，

例如在图2中，由列方程．

整理，得．所以

．

因此

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