图形变换相似三角形综合应用Word格式.doc

图形变换相似三角形综合应用Word格式.doc

《图形变换相似三角形综合应用Word格式.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《图形变换相似三角形综合应用Word格式.doc（21页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

【例5】如图，在中，平分，的垂直平分线交于，交的延长线于，

【答案】连接∵垂直平分，∴，∴，即，又∵，∴，∵平分，∴，∴，又∵，∴，∴．又∵，∴

【巩固】如上图，在中，，的垂直平分线交于，交的延长线于，

平分．

【答案】连接，∵垂直平分，∴，∵，∴∴，又∵∴，∴，∵，，∴，∴，即平分．

【例6】已知，如图，为等边三角形，且的两边交直线于两点，求证：

【解析】∵，∴．又∵，∴，∴，

∵，∴∴，∴，即，∵，∴．

考点二与旋转有关的相似问题

【例7】如图，直角梯形中，，，，为梯形内一点，且，将绕点旋转使与重合，得到，连交于．已知，则的值为（）

A．B．C．D．

【答案】C．

【例8】如图，四边形和均为正方形，求_________.

【答案】连接。

∵，∴

∴∵∴∵

∴∴∴

∴∴

【例9】

（1）如图1，等边中，为边上的动点，以为一边，向上作等边，连接，求证：

（2）如图2，将

（1）中的等边改为以为底边的等腰三角形，所作的改成相似于，请问：

是否有？

证明你的结论．

【答案】

（1）由，得，故．

（2）由，得，故．

考点三与三角形有关的相似综合题

【例10】如图，内有一点，过作各边的平行线，把分成三个三角形和三个平行四边形．若三个三角形的面积分别为，则的面积是________．

【解析】设的面积为，则，故．

【例11】如图所示，是一个凸六边形，、、分别是直线与、与、与的交点，、、分别是与、与、与的交点，如果，求证：

【答案】本题的条件和结论都是三个线段之比的连等式，且、、构成一个与相似的三角形的三边，因而可以考虑通过平移变换将、、集中到一起构成一个与相似的三角形．

如图所示，将平移至位置，则，且，

所以，且，

因此，从而，且．

这说明，且，进而，且．

又因为，于是，所以，

注意到，，故．

【例12】已知：

的高所在直线与高所在直线相交于点．

（1）如图l，若为锐角三角形，且，过点作，交直线于点，求证：

；

（2）如图2，若，过点作，交直线于点，则之间满足的数量关系是_________；

（3）在

（2）的条件下，若，，将一个角的顶点与点重合并绕点旋转，这个角的两边分别交线段于两点（如图3），连接，线段分别与线段、线段相交于两点，若，求线段的长．

（1）证明：

∵∴，∴

∵，∴∵，∴

∵，∴∴∵

∴，∴∴，∴

（2）

（3）如图，

∵，∴∵，∴，∴

∵，∴，∴∵∴

∵，由

（2）知，∴∴，

∴为等腰直角三角形∴

分别过，作于点于点∴四边形为矩形

∴∴，∴

∵∴∴

∵∴∵

∴∴∴∴

∵∴∴，∴

考点四与相似有关的动点问题

【例13】如图，中，，点从出发，沿方向以的速度移动，点从出发，沿方向也以的速度移动，若分别从出发，经过多少时间与相似？

【答案】∵，设，

即，解得（负值已舍去）

设经过后与相似．此时

本题需分两种情况：

（1）当时，

，即，解得

（2）当时，

，即，解得．

综上，当秒或秒时，与相似

【例14】如图，在矩形中，，点沿边从点开始向点以秒的速度移动，点沿边以秒的速度从点开始移动，如果同时出发，用（秒）表示移动的时间．

（1）当为何值时，为等腰直角三角形？

（2）求四边形面积，提出一个与计算结果相关的正确结论．

（3）当为何值时，以点为顶点的三角形与相似．

（1）当为等腰直角三角形时，，

（2），即四边形的面积为定值．

（3）分2种情况

①当时，，即，解得．

②当时，，即，解得．

综上当或时，以点为顶点的三角形与相似．

【例1】如图，已知在等腰△ABC中，∠A＝∠B＝30°

，过点C作CD⊥AC交AB于点D．若过A，D，C三点的圆的半径为，则线段BC上是否存在一点P，使得以P，D，B为顶点的三角形与△BCO相似，若存在，则DP的长为_________．

B

A

C

D

O

P1

P2

（09年浙江丽江中考试题）

【解析】∵∠BCD＝∠ACB－∠ACD＝120°

－90°

＝30°

∴∠BCD＝∠B，∴DB＝DC．又∵在Rt△ACD中，DC＝AD·

sin30°

＝，∴DB＝．①过点D作DP1∥OC，交BC于点P1，则△P1DB∽△COB，∴＝．∵OB＝OD＋DB＝∴DP1＝·

OC＝×

＝②过点D作DP2⊥AB，交BC于点P2，则△BDP2∽△BCO，∴＝．∵BC＝＝＝3

∴DP2＝·

＝1

【例2】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，2），点P是线段OA上的一个动点（不与O，A重合），过点P作PQ⊥x轴于Q，以PQ为边向右作正方形PQMN．连接AN并延长交x轴于点B，连接ON．设OQ＝t，△BMN与△MON相似时，则△BMN的面积为_____________．

M

Q

P

N

y

x

H

图2

（09年甘肃中考试题）

【答案】或

【解析】当0＜t≤1时，如图1．若△BMN∽△MON，则＝．即＝，∴t＝．

∴NM＝，BM＝＝．∴S△BMN＝BM·

NM＝×

×

＝．当1＜t＜2时，如图2．

若△BMN∽△MON，则＝．即＝，∴t＝．∴NM＝，BM＝＝．

∴S△BMN＝BM·

＝．

【例3】如图，∠ACB＝90°

，CD是∠ACB的平分线，点P在CD上，CP＝．将三角板的直角顶点放置在点P处，绕着点P旋转，三角板的一条直角边与射线CB交于点E，另一条直角边与直线CA、直线CB分别交于点F、点G．

（1）当点F在射线CA上时

①求证：

PF＝PE．

②设CF＝x，EG＝y，求y与x的函数解析式并写出函数的定义域．

（2）连接EF，当△CEF与△EGP相似时，求EG的长．

备用图

F

G

E

（12年中考模拟试题）

【解析】

（1）①证明：

过点P作PM⊥AC，PN⊥BC，垂足分别为M、N

∵CD是∠ACB的平分线，∴PM＝PN

2

1

由∠PMC＝∠MCN＝∠CNP＝90°

，得∠MPN＝90°

∴∠1＋∠FPN＝90°

∵∠2＋∠FPN＝90°

，∴∠1＝∠2

∴△PMF≌△PNE，∴PF＝PE

②解：

∵CP＝，∴CN＝CM＝1

∵CF＝x，△PMF≌△PNE，∴NE＝MF＝1－x

∴CE＝2－x

∵CF∥PN，∴＝，即＝

∴CG＝

∴y＝＋2－x（0≤x＜1）

（2）当△CEF与△EGP相似时，点F的位置有两种情况：

①当点F在射线CA上时

∵∠GPE＝∠FCE＝90°

，∠1≠∠PEG

∴∠G＝∠1，∴FG＝FE，∴CG＝CE＝CP

在Rt△EGP中，EG＝2CP＝2

5

3

4

②当点F在AC延长线上时

，∠1≠∠2，∴∠3＝∠2

∵∠1＝45°

+∠5，∠1＝45°

+∠2，∴∠5＝∠2

易证∠3＝∠4，可得∠5＝∠4

∴CF＝CP＝，∴FM＝＋1

易证△PMF≌△PNE，∴EN＝FM＝＋1

∴GN＝－1

∴EG＝－1＋＋1＝2

【例4】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°

，CE是斜边AB上的中线，AB＝10，tanA＝．点P是CE延长线上的一动点，过点P作PQ⊥CB，交CB延长线于点Q．设EP＝x，BQ＝y．

（1）求y关于x的函数关系式及定义域；

（2）连接PB，当PB平分∠CPQ时，求PE的长；

（3）过点B作BF⊥AB交PQ于F，当△BEF和△QBF相似时，求x的值．

（2012年上海模拟试题）

（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°

，AB＝10，tanA＝＝

∴AC＝6，BC＝8

∵CE是斜边AB上的中线，∴CE＝BE＝AB＝5

∴∠PCQ＝∠ABC

又∠PQC＝∠ACB＝90°

，∴△PCQ∽△ABC

∴＝＝，即＝

∴y＝x－4（x＞5）

（2）过点B作BH⊥PC于H

∵PB平分∠CPQ，BQ⊥PQ，∴BH＝BQ＝y

∵BH＝BC＝，∴x－4＝

∴x＝11

（3）∵∠BQF＝∠ACB＝90°

，∠QBF＝∠A

∴△BFQ∽△ABC

当△BEF和△QBF相似时，则△BEF和△ABC也相似

有两种情况：

①当∠BEF＝∠A时

在Rt△EBF中，∠EBF＝90°

，BE＝5，BF＝y

∴（x－4）＝×

5，解得x＝10

②当∠BEF＝∠ABC时

5，解得x＝

∴当△BEF和△QBF相似时，求x的值为10或

【例5】如图1，在Rt△AOC中，AO⊥OC，点B在OC边上，OB＝6，BC＝12，∠ABO＋∠C＝90°

，动点M和N分别在线段AB和AC边上．

（1）求证：

△AOB∽△COA，并求cosC的值；

（2）当AM＝4时，△AMN与△ABC相似，求△AMN与△ABC的面积之比；

（3）如图2，当MN∥BC时，以MN所在直线为对称轴将△AMN作轴对称变换得△EMN．设MN＝x，△EMN与四边形BCNM重叠部分的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

图1

（1）∵AO⊥OC，∴∠ABO＋∠BAO＝90°

∵∠ABO＋∠C＝90°

，∴∠BAO＝∠C

∵∠AOB＝∠COA，∴△AOB∽△COA

∴OB:

OA＝OA:

OC

∵OB＝6，BC＝12，∴6:

18

∴OA＝6

∴AC＝＝＝12

∴cosC＝＝＝

（2）∵cosC＝，∴∠C＝30°

∵tan∠ABO＝＝＝，∴∠ABO＝60°

∴∠BAC＝30°

，∴AB＝BC＝12

①当∠AMN＝∠ABC时（如图1），△AMN∽△ABC

∵AM＝4，∴S△AMN:

S△ABC＝AM2:

AB2＝42:

122＝1:

9

②当∠AMN＝∠C时（如图2），△AMN∽△ACB

AC2＝42:

（12）2＝1:

27

（3）易得S△ABC＝BC·

OA＝×

12×

6＝36

∵MN/∥BC，∴△AMN∽△ABC

∴S△AMN:

S△ABC＝MN2:

BC2，∴S△AMN:

36＝x2:

122

∴S△AMN＝x2

图3

①当EN与线段AB相交时，设EN与AB交于点F（如图3）

∵MN/∥BC，∴∠ANM＝∠C＝30°

∴∠ANM＝∠BAC，∴AM＝MN＝x

∵以MN所在直线为对称轴将△AMN作轴对称变换得△EMN

∴∠ENM＝∠ANM＝30°

，∴∠AFN＝90°

∴MF＝MN＝AM＝x

∴S△FMN:

S△AMN＝MF:

AM

∴y:

x2＝x:

x＝1:

2

图4

∴y＝x2（0＜x≤8）

②当EN与线段AB不相交时，设EN与BC交于点G（如图4）

∵MN/∥BC，∴CN:

AC＝BM:

AB

∴CN:

12＝（12－x）:

12，∴CN＝12－x

∵△CNG∽△CBA，∴S△CNG:

S△ABC＝CN2:

BC2

∴S△CNG:

36＝（12－x）2:

∴S△CNG＝（12－x）2

∴S阴影＝S△ABC－S△AMN－S△CNG＝36－x2－（12－x）2

即y＝－x2＋18x－72（8＜x＜12）

【例6】如图，△ABC中，∠ABC＝90°

，AB＝BC＝4，点O为AB边的中点，点M是BC边上一动点（不与点B、C重合），AD⊥AB，垂足为点A．连接MO，将△BOM沿直线MO翻折，点B落在点B1处，直线MB1与AC、AD分别交于点F、N．

（1）当∠CMF＝120°

时，求BM的长；

（2）设BM＝x，y＝，求y关于x的函数关系式。

并写出自变量x的取值范围；

（3）连接NO，与AC边交于点E，当△FMC∽△AEO时，求BM的长．

B1

（1）∵∠CMF＝120°

，∴∠BMN＝60°

∴∠BMO＝30°

∴Rt△MOB中，BM＝OB·

cot30°

＝2

（2）连接ON，∵OA＝OB＝OB1，ON＝ON

∴Rt△ANO≌Rt△B1NO，∴∠AON＝∠B1ON，AN＝B1N

又∵∠MOB1＝∠MOB，∴∠MON＝90°

∵∠OB1M＝∠B＝90°

，∴△MB1O∽△OB1N，

（F）

∴OB12＝B1M·

B1N

又B1M＝BM＝x，OB1＝OB＝2

∴22＝x·

B1N，∴B1N＝，∴AN＝

∵AD⊥AB，∴∠DAB＝90°

又∠B＝90°

，∴AD∥BC，∴△CMF∽△ANF

∴y＝＝＝＝－x2＋x

即y＝－x2＋x（0＜x＜4）

（3）由题意知：

∠EAO＝∠C＝45°

若△FMC∽△AEO，则有两种情况：

∠FMC＝∠AEO或∠FMC＝∠AOE

①当∠FMC＝∠AEO时，有∠CFM＝∠AOE

由

（2）知∠AOE＝∠B1OE＝∠OMF

∴∠CFM＝∠OMF，∴OM∥AC

∴∠OMB＝∠C＝45°

cot45°

＝2

②当∠FMC＝∠AOE时，∵∠AOE＝∠OMF

∴∠FMC＝∠OMF＝∠OMB＝60°

∴△MOB中，BM＝OB·

cot60°

＝

综上所述，当△FMC∽△AEO时，求BM的长为2或

【例7】在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），A（t，0）是x轴上一动点，M是线段AC的中点．把线段AM绕点A按顺时针方向旋转90°

，得到线段AB，过点B作x轴的垂线，过点C作y轴的垂线，两直线交于点D，直线DB交x轴于点E．

（1）若t＝3，则点B的坐标为____________，若t＝－3，则点B的坐标为____________；

（2）若t＞0，当t为何值时，△BCD的面积等于6？

（3）是否存在t，使得以B、C、D为顶点的三角形与△AOC相似？

若存在，求此时t的值；

若不存在，请说明理由．

（2012年江苏模拟试题）

（1）（5，），（－1，－）

（2）①当0＜t＜8时，如图1

∵∠CAB＝90°

，∴∠CAO＋∠BAE＝90°

∵∠CAO＋∠ACO＝90°

，∴∠BAE＝∠ACO

又∠BEA＝∠AOC＝90°

，∴△BEA∽△AOC

∴＝＝＝，即＝＝

∴AE＝2，BE＝t，∴B（t＋2，t）

∴S△BCD＝CD·

BD＝（t＋2）（4－t）＝6

解得t＝2或t＝4

②当t＞8时，如图2

S△BCD＝CD·

BD＝（t＋2）（t－4）＝6

解得t＝10或t＝－4（舍去）

∴当t＝2或t＝4或t＝10时，△BCD的面积等于6

（3）①当0＜t＜8时，如图1

若△CDB∽△AOC，则＝

即＝，t无实数解

若△BDC∽△AOC，同理，解得t＝－2－2（舍去）或t＝2－2

即＝，解得t＝－4＋8（舍去）或t＝4＋8

若△BDC∽△AOC，同理，t无实数解

③当－2＜t＜0时，如图3

即＝，t＝－4＋8或t＝4＋8（舍去）

④当t＜－2时，如图4

△CDB∽△AOC，则＝

若△BDC∽△AOC，同理，解得t＝－4或t＝4（舍去）

∴存在t＝2－2或4＋8或－4＋8或－4，使得以B、C、D为顶点的三角形与△AOC相似

【例8】如图1，在平面直角坐标系中，直线l与坐标轴相交于A（2，0），B（0，）两点，将Rt△AOB绕原点O逆时针旋转得到Rt△A′OB′．

（1）求直线l的解析式；

（2）若OA′⊥AB，垂足为D，求点D的坐标；

l

B′

A′

（3）如图2，若将Rt△AOB绕原点O逆时针旋转90°

，A′B′与直线l相交于点F，点E为x轴上一动点．试探究：

是否存在点E，使得以点A，E，F为顶点的三角形和△A′BB′相似．若存在，请求出点E的坐标；

（2012年山西中考试题）

（1）设直线l的解析式为y＝kx＋b

∵点A（2，0），B（0，）在直线l上

∴解得：

∴直线l的解析式为y＝－x＋

（2）∵A（2，0），B（0，），∴OA＝2，OB＝

∴AB＝＝5

∵OA′⊥AB即OD⊥AB，∴OA·

OB＝AB·

OD

∴×

2×

＝×

5×

OD，∴OD＝2

过点D作DH⊥x轴于点H（如图1）

则∠DAH＋∠ADH＝∠ODH＋∠ADH＝90°

∴∠DAH＝∠ODH

∵在Rt△AOB中，tan∠BAO＝＝＝

∴tan∠ODH＝＝，DH＝2OH

在Rt△ODH中，设OH＝a，则DH＝2a

∵OH2＋DH2＝OD2，∴a2＋4a2＝22

∵a＞0，∴a＝，∴OH＝，DH＝

∴点D的坐标为（，）

（3）存在点E，使得以点A，E，F为顶点的三角形和△A′BB′相似

理由：

∵△A′OB′由△AOB逆时针旋转90°

所得

∴△A′OB′≌△AOB，∴∠B′A′O＝∠BAO

又∵∠FBA′＝∠OBA，∴△BFA′∽△BOA

∴＝，即＝

∴＝，∴BF＝1，∴AF＝AB＋BF＝6

①如图2，当△AFE∽△A′BB′时，有＝

∴＝，∴AE＝6，∴OE＝AE－AO＝6－2＝4

∴E1（－4，0）

②如图3，当△AEF∽△A′BB′时，有＝

∴＝，∴AE＝，∴OE＝AO－AE＝2－＝

∴E2（，0）

综上所述，存在点E1（－4，0），E2（，0），使得以点A，E，F为顶点的三角形和△A′BB′相似

课后作业

1.如图1，甲、乙两人分别从A．B两点同时出发，点O为坐标原点，点，．甲沿AO方向、乙沿BO方向均以每小时4千米的速度行走，t小时后，甲到达M点，乙到达N点．

（1）请说明甲、乙两人到达点O前，MN与AB不可能平行；

（2）当t为何值时，△OMN∽△OBA？

（3）甲、乙两人之间的距离为MN的长．设s＝MN2，求s与t之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值．

（2012年连云港市中考第26题）

（1）当M．N都在O右侧时，，，

所以．因此MN与AB不平行．

（2）①如图2，当M．N都在O右侧时，∠OMN》∠B，不可能△OMN∽△OBA．

②如图3，当M在O左侧、N在O右侧时，∠MON》∠BOA，不可能△OMN∽△OBA．

③如图4，当M．N都在O左侧时，如果△OMN∽△OBA，那么．

所以．解得t＝2．

图2图3图4

（3）①如图2，，，