全等三角形及三角形全等的条件一对一辅导讲义Word格式文档下载.doc

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D7·

D8·

A

二、知识梳理

知识要点：

要点1：

全等三角形的概念及其性质

（1）全等三角形的定义：

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

（2）全等三角形性质：

对应边相等、对应角相等、周长相等、面积相等

要点2：

全等三角形的判定

（1）两边及夹角对应相等SAS；

（2）两角及夹边对应相等ASA；

（3）两角及其中一角的对边对应相等AAS；

（4）三边对就应相等SSS。

要点3：

找全等三角形的对应边，对应角的方法　

（1）若给出对应顶点即可找出对应边和对应角。

（2）若给出一些对应边或对应角，则按照对应边所对的角是对应角，

反之，对应角所对的边是对应边就可找出其他几组对应边和对应角。

（3）按照两对对应边所夹的角是对应角，两对对应角所夹的边是对应边来准确找出对应角和对应边。

（4）一般情况下，在两个全等三角形中，公共边、公共角、对顶角等往往是对应边，对应角。

要点4：

寻找两个三角形全等的途径

（1）三角形全等的判定是这个单元的重点，也是平面几何的重点

　　①有两组对应角相等时；

找

　　②有两组对应边相等时；

　　③有一边，一邻角相等时；

找

　　④有一边，一对角相等时；

找任一组角相等（AAS）

（2）利用两个三角形的公共边或公共角寻找对应关系，推得新的等量元素

如图

（一）中的AD，图

（二）中的BC都是相应三角形的公共元素。

图（三）中如有BF=CE，利用公有的线段FC就可推出BC=EF。

图（四）中若有∠DAB=∠EAC，就能推出∠DAC=∠BAE。

三、例题讲解：

例1.如图，四点共线，，，，。

求证：

。

.思路分析：

从结论入手，全等条件只有；

由两边同时减去得到，又得到一个全等条件。

还缺少一个全等条件，可以是，也可以是。

由条件，可得，再加上，，可以证明，从而得到。

解答过程：

，

在与中

∴（HL）

，即

（SAS）

解题后的思考：

本题的分析方法实际上是“两头凑”的思想方法：

一方面从问题或结论入手，看还需要什么条件；

另一方面从条件入手，看可以得出什么结论。

再对比“所需条件”和“得出结论”之间是否吻合或具有明显的联系，从而得出解题思路。

小结：

本题不仅告诉我们如何去寻找全等三角形及其全等条件，而且告诉我们如何去分析一个题目，得出解题思路

例2.如图，在中，是∠ABC的平分线，，垂足为。

思路分析：

直接证明比较困难，我们可以间接证明，即找到，证明且。

也可以看成将“转移”到。

那么在哪里呢？

角的对称性提示我们将延长交于，则构造了△FBD，可以通过证明三角形全等来证明∠2=∠DFB，可以由三角形外角定理得∠DFB=∠1+∠C。

延长交于

（ASA

又。

由于角是轴对称图形，所以我们可以利用翻折来构造或发现全等三角形。

例3.如图，在中，，。

为延长线上一点，点在上，，连接和。

可以利用全等三角形来证明这两条线段相等，关键是要找到这两个三角形。

以线段为边的绕点顺时针旋转到的位置，而线段正好是的边，故只要证明它们全等即可。

，为延长线上一点

利用旋转的观点，不但有利于寻找全等三角形，而且有利于找对应边和对应角。

利用三角形全等证明线段或角相等是重要的方法，但有时不容易找到需证明的三角形。

这时我们就可以根据需要利用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或利用辅助线构造全等三角形。

例4.如图，是的边上的点，且，，是的中线。

要证明“”，不妨构造出一条等于的线段，然后证其等于。

因此，延长至，使。

延长至点，使，连接

又

三角形中倍长中线，可以构造全等三角形，继而得出一些线段和角相等，甚至可以证明两条直线平行。

四、课堂练习

一、选择题：

1.能使两个直角三角形全等的条件是（）

A.两直角边对应相等 B.一锐角对应相等

C.两锐角对应相等 D.斜边相等

2.根据下列条件，能画出唯一的是（）

A.，， B.，，

C.，， D.，

3.如图，已知，，增加下列条件：

①；

②；

③；

④。

其中能使的条件有（）

A.4个 B.3个 C.2个 D.1个

（第3题）（第4题）（第5题）（第6题）

4.如图，已知，，，则等于（）

A. B. C. D.无法确定

二、填空题：

5.如图，在中，，的平分线交于点，且，，则点到的距离等于__________；

6.将一张正方形纸片按如图的方式折叠，为折痕，则的大小为_________；

三、解答题：

7.如图，为等边三角形，点分别在上，且，与交于点。

求的度数。

8.如图，，，为上一点，，，交延长线于点。

9.如图，已知AE⊥AD，AF⊥AB，AF=AB，AE=AD=BC，AD//BC.求证：

（1）AC=EF，

（2）AC⊥EF

10.已知：

如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°

，∠1=∠2，CE⊥BD的延长线于E.求证：

BD=2CE.

参考答案

1.A 2.C 3.B 4.C

5.4 6.

7.解：

为等边三角形

8.证明：

（AAS）

9.证明：

（1）∵AD//BC，∴∠B＋∠DAB=180°

　　又∵∠DAB＋∠4＋∠EAF＋∠3=360°

，∠3=∠4=90°

　　∴∠DAB＋∠EAF=180°

　　∴∠B=∠EAF

在△ABC和△FAE中　

　　∴△ABC≌△FAE（SAS）∴AC=EF

（2）∵△ABC≌△FAE

　　∴∠1=∠F又∵∠1＋∠3=∠2＋∠F

　　∴∠2=∠3又∵∠3=90°

∴∠2=90°

∴AG⊥EF，即AC⊥EF

10.

证明：

延长BA、CE交于点F.

∵∠3=90°

，∴∠5＋∠F=90°

　　又∵BE⊥CE，∴∠4=90°

，∠7=90°

∴∠1＋∠F=90°

，∠6=180°

－90°

=90°

　　∴∠1=∠5

　　在△ABD和△ACF中　　∴△ABD≌△ACF（ASA）

　　∴BD=FC

　　在△BEF和△BEC中∴△BEF≌△BEC（ASA）

∴EF=EC∴FC=2EC∴BD=2EC

五、课堂小结

（1）全等三角形的概念及其性质

（2）全等三角形的判定

（3）找全等三角形的对应边，对应角的方法

（4）寻找两个三角形全等的途径

六、课后作业

一、填空题

1·

如图

（1），∠C=∠E，∠1=∠2，AC=AE，则△ABD按边分是__________三角形．

2·

如图

（2），AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，交BD于P，则PD__________PE（填“<

”或“>

”或“=”）．

3．如图（3），△ABC中，AB=AC，现想利用证三角形全等证明∠B=∠C，若证三角形全等所用的公理是SSS公理，则图中所添加的辅助线应是____________________________．

图

（1）图

（2）　　　　　　　　图（3）　　　　　　　　　图（4）

4．一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x+y=__________．

5．如图（4），AD=AE，若△AEC≌△ADB，则需增加的条件是______________．（至少三个）

二、选择题

6．如图（8），图中有两个三角形全等，且∠A=∠D，AB与DF是对应边，则下列书写最规范的是（）

A．△ABC≌△DEF B．△ABC≌△DFE

C．△BAC≌△DEF D．△ACB≌△DEF

7．如图（9），AC=AB，AD平分∠CAB，E在AD上，则图中能全等的三角形有____________对

A．1 B．2 C．3 D．4

图（8）　　　　图（9）　　　　　　图（10）　　　　　　图（11）

8．如图（10），△ABC中，D、E是BC边上两点，AD=AE，BE=CD，∠1=∠2=110°

，∠BAE=60°

，则∠CAD等于（）

A．70°

　 B．60°

C．50°

D．110°

9．如图（11），AB∥CD，且AB=CD，则△ABE≌△CDE的根据是（）

A．只能用ASA B．只能用SAS C．只能用AAS D．用ASA或AAS

10．如图（12），△ABC≌△AEF，AB和AE，AC和AF是对应边，那么∠EAC等于（）

A．∠ACB B．∠BAF C．∠F D．∠CAF

11．如图（13），△ABC中，∠C=90°

，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E且AB=6cm，则△DEB的周长为（）

A．40cm B．6cm C．8cm D．10cm

图（12）　　　　　　图（13）　　　　　　　　　　图（14）

12．如图（14），∠1=∠2，∠C=∠D，AC，BD相交于点E，下面结论不正确的是（）

A．∠DAE=∠CBE B．△DEA与△CEB不全等

C．CE=CD D．△AEB是等腰三角形

三、解答题

13．已知EF是AB上的两点，AE=BF，AC∥BD，且AC=DB，求证：

CF=DE．

图（15）

14．一块三角形玻璃损坏后，只剩下如图（16）所示的残片，你对图中作哪些数据测量后就可到建材部门割取符合规格的三角形玻璃并说明理由．

图（16）

15．如图（17），在△ABC中，AM是中线，AD是高线．

图（17）

（1）若AB比AC长5cm，则△ABM的周长比△ACM的周长多__________cm．

（2）若△AMC的面积为10cm2，则△ABC的面积为__________cm2．

A．10 B．20　 C．30　 D．40

（3）若AD又是△AMC的角平分线，∠AMB=130°

，求∠ACB的度数．

16．已知如图（18），B是CE的中点，AD=BC，AB=DC．DE交AB于F点

（1）AD∥BC　

（2）AF=BF．

图（18）

一、1·

等腰　2．=　3．AD为△ABC的中线　4．11

5．∠AEC=∠ADB或∠C=∠B或AC=AB或BE=CD．（多写一个加一分）

二、6．B　7．C　8．B　　9．D　10．B　11．B　12．B　

三、13．证明：

△ACF≌△BDE（SAS）　∴CF=DE

14．测量∠A，∠B的度数和线段AB的长度，做∠A′=∠A，A’B’=AB∠B′=∠B，则△A′B′C′和原三角形全等，据ASA定理．

15．

（1）5　

（2）B

（3）解：

△ADM≌△ADC，∴∠AMD=∠ACM，∵∠AMB=130°

，∴∠AMC=∠ACB=50°

．

16．

（1）证明：

△ADB≌△CBD（SSS），∴∠ADB=∠CBD，∴AD∥BC．

（2）证：

△AFD≌△BFE（AAS），∴AF=FB．

17．

（1）证明：

△ABD≌△CAE（HL），∴∠DAB=∠ACE．

又∵∠ACE+∠CAE=90°

，∴∠DAB+∠CAE=90°

∴∠BAC=90°

，∴AB与AC垂直．