最新人教版七年级数学上册总复习知识点汇总Word文件下载.doc

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理解：

只有能化成分数的数才是有理数。

①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。

②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。

3，整数也能化成分数，也是有理数

引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。

2.有理数的分类

⑴按有理数的意义分类⑵按正、负来分

正整数正整数

整数0正有理数

负整数正分数

有理数有理数0（0不能忽视）

正分数负整数

分数负有理数

负分数负分数

总结：

①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）

②负整数、0统称为非正整数

③正有理数、0统称为非负有理数

④负有理数、0统称为非正有理数

数轴

⒈数轴的概念

规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。

⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；

⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；

⑶同一数轴上的单位长度要统一；

⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。

2.数轴上的点与有理数的关系

⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。

⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。

（如，数轴上的点π不是有理数）

3.利用数轴表示两数大小

⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；

⑵正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；

⑶两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。

4.数轴上特殊的最大（小）数

⑴最小的自然数是0，无最大的自然数；

⑵最小的正整数是1，无最大的正整数；

⑶最大的负整数是-1，无最小的负整数

5.a可以表示什么数

⑴a>

0表示a是正数；

反之，a是正数，则a>

0；

⑵a<

0表示a是负数；

反之，a是负数，则a<

⑶a=0表示a是0；

反之，a是0,，则a=0

相反数

⒈相反数

只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。

⑴相反数是成对出现的；

⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；

⑶0的相反数是它本身；

相反数为本身的数是0。

2.相反数的性质与判定

⑴任何数都有相反数，且只有一个；

⑵0的相反数是0；

⑶互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a，b互为相反数，则a+b=0

3.相反数的几何意义

在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；

互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。

0的相反数对应原点；

原点表示0的相反数。

说明：

在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。

4.相反数的求法

⑴求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得（如：

5的相反数是-5）；

⑵求多个数的和或差的相反数时，要用括号括起来再添“-”，然后化简（如；

5a+b的相反数是-（5a+b）。

化简得-5a-b）；

⑶求前面带“-”的单个数，也应先用括号括起来再添“-”，然后化简（如：

-5的相反数是-（-5），化简得5）

5.相反数的表示方法

⑴一般地，数a的相反数是-a，其中a是任意有理数，可以是正数、负数或0。

当a>

0时，-a<

0（正数的相反数是负数）

当a<

0时，-a>

0（负数的相反数是正数）

当a=0时，-a=0，（0的相反数是0）

绝对值

⒈绝对值的几何定义

一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。

2.绝对值的代数定义

⑴一个正数的绝对值是它本身；

⑵一个负数的绝对值是它的相反数；

⑶0的绝对值是0.

可用字母表示为：

①如果a>

0，那么|a|=a；

②如果a<

0，那么|a|=-a；

③如果a=0，那么|a|=0。

可归纳为①：

a≥0，<

═>

|a|=a（非负数的绝对值等于本身；

绝对值等于本身的数是非负数。

）

②a≤0，<

|a|=-a（非正数的绝对值等于其相反数；

绝对值等于其相反数的数是非正数。

经典考题

如数轴所示，化简下列各数

|a|,|b|,|c|,|a-b|,|a-c|,|b+c|

解：

由题知道，因为a>

0，b<

0，c<

0,a-b>

0,a-c>

0,b+c<

0，

所以|a|=a,|b|=-b,|c|=-c,|a-b|=a-b,|a-c|=a-c,|b+c|=-（b+c）=-b-c

3.绝对值的性质

任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。

所以，a取任何有理数，都有|a|≥0。

即⑴0的绝对值是0；

绝对值是0的数是0.即：

a=0<

|a|=0；

⑵一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是0.即：

|a|≥0；

⑶任何数的绝对值都不小于原数。

即：

|a|≥a；

⑷绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。

若|x|=a（a>

0），则x=±

a；

⑸互为相反数的两数的绝对值相等。

|-a|=|a|或若a+b=0，则|a|=|b|；

⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。

|a|=|b|，则a=b或a=-b；

⑺若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数就同时为0。

即|a|+|b|=0，则a=0且b=0。

（非负数的常用性质：

若几个非负数的和为0，则有且只有这几个非负数同时为0）

已知|a+3|+|2b-2|+|c-1|=0,求a+b+c的值

因为|a+3|≥0，|2b-2|≥0，|c-1|≥0，且|a+3|+|2b-2|+|c-1|=0

所以|a+3|=0，|2b-2|=0，|c-1|=0

即a=-3,b=1,c=1

所以a+b+c=-3+1+1=-1

4.有理数大小的比较

⑴利用数轴比较两个数的大小：

数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小；

⑵利用绝对值比较两个负数的大小：

两个负数比较大小，绝对值大的反而小；

异号两数比较大小，正数大于负数。

5.绝对值的化简

①当a≥0时，|a|=a；

②当a≤0时，|a|=-a

6.已知一个数的绝对值，求这个数

一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离，一般地，绝对值为同一个正数的有理数有两个，它们互为相反数，绝对值为0的数是0，没有绝对值为负数的数。

|a|=5，则a=土5

1.3有理数的加减法有理数的加减法

1.有理数的加法法则

⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；

⑶互为相反数的两数相加，和为零；

⑷一个数与零相加，仍得这个数。

2.有理数加法的运算律

⑴加法交换律：

a+b=b+a

⑵加法结合律：

（a+b）+c=a+（b+c）

在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律：

①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”；

②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”；

③分母相同的数先相加——“同分母结合法”；

④几个数相加得到整数，先相加——“凑整法”；

⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。

3.加法性质

一个数加正数后的和比原数大；

加负数后的和比原数小；

加0后的和等于原数。

⑴当b>

0时，a+b>

a⑵当b<

0时，a+b<

a⑶当b=0时，a+b=a

4.有理数减法法则

减去一个数，等于加上这个数的相反数。

用字母表示为：

a-b=a+（-b）。

5.有理数加减法统一成加法的意义

在有理数加减法混合运算中，根据有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照加法法则进行计算。

在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。

（-8）+（-7）+（-6）+（+5）=-8-7-6+5.

和式的读法：

①按这个式子表示的意义读作“负8、负7、负6、正5的和”

②按运算意义读作“负8减7减6加5”

6.有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧：

Ⅰ.把符号相同的加数相结合（同号结合法）

（-33）-（-18）+（-15）-（+1）+（+23）

原式=-33+（+18）+（-15）+（-1）+（+23）（将减法转换成加法）

=-33+18-15-1+23（省略加号和括号）

=（-33-15-1）+（18+23）（把符号相同的加数相结合）

=-49+41（运用加法法则一进行运算）

=-8（运用加法法则二进行运算）

Ⅱ.把和为整数的加数相结合（凑整法）

（+6.6）+（-5.2）-（-3.8）+（-2.6）-（+4.8）

原式=（+6.6）+（-5.2）+（+3.8）+（-2.6）+（-4.8）（将减法转换成加法）

=6.6-5.2+3.8-2.6-4.8（省略加号和括号）

=（6.6-2.6）+（-5.2-4.8）+3.8（把和为整数的加数相结合）

=4-10+3.8（运用加法法则进行运算）

=7.8-10（把符号相同的加数相结合，并进行运算）

=-2.2（得出结论）

Ⅲ.把分母相同或便于通分的加数相结合（同分母结合法）

--+-+-

原式=（--）+（-+）+（+-）

=-1+0-

=-1

Ⅳ.既有小数又有分数的运算要统一后再结合（先统一后结合）

（+0.125）-（-3）+（-3）-（-10）-（+1.25）

原式=（+）+（+3）+（-3）+（+10）+（-1）

=+3-3+10-1

=（3-1）+（-3）+10

=2-3+10

=-3+13

=10

Ⅴ.把带分数拆分后再结合（先拆分后结合）

-3+10-12+4

原式=（-3+10-12+4）+（-+）+（-）

=-1++

-

Ⅵ.分组结合

2-3-4+5+6-7-8+9…+66-67-68+69

原式=（2-3-4+5）+（6-7-8+9）+…+（66-67-68+69）

=0

Ⅶ.先拆项后结合

（1+3+5+7…+99）-（2+4+6+8…+100）

①有理数加法法则：

1、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

2、绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

互为相反数的两个数相加得0。

3、一个数同0相加，仍得这个数。

加法的交换律和结合律

②有理数减法法则：

减去一个数，等于加这个数的相反数。

1.4有理数的乘除法

1.有理数的乘法法则

法则一：

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；

（“同号得正，异号得负”专指“两数相乘”的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三）

法则二：

任何数同0相乘，都得0；

法则三：

几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；

负因数的个数是奇数时，积是负数；

法则四：

几个数相乘，如果其中有因数为0,则积等于0.

2.倒数

乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为a·

=1（a≠0），就是说a和互为倒数，即a是的倒数，是a的倒数。

①0没有倒数；

②求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可；

求带分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置；

③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。

（求一个数的倒数，不改变这个数的性质）；

④倒数等于它本身的数是1或-1,不包括0。

3.有理数的乘法运算律

⑴乘法交换律：

一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。

即ab=ba

⑵乘法结合律：

三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。

即（ab）c=a（bc）.

⑶乘法分配律：

一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加。

即a（b+c）=ab+ac

4.有理数的除法法则

（1）除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数。

（2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

0除以任何一个不等于0的数，都得0

5.有理数的乘除混合运算

（1）乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。

（2）有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照‘先乘除，后加减’的顺序进行。

有理数的乘方

1.乘方的概念

求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。

在中，a叫做底数，n叫做指数。

2.乘方的性质

（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数。

（2）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。

有理数的混合运算

做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：

1.先乘方，再乘除，最后加减；

2.同级运算，从左到右进行；

3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。

科学记数法

把一个大于10的数表示成的形式（其中，n是正整数），这种记数法是科学记数法。

从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字。

四舍五入遵从精确到哪一位就从这一位的下一位开始，而不是从数字的末尾往前四舍五入。

比如：

3.5449精确到0.01就是3.54而不是3.55.

第二章整式的加减

2.1整式

1、单项式：

由数字和字母乘积组成的式子。

系数，单项式的次数.单项式指的是数或字母的积的代数式．单独一个数或一个字母也是单项式．因此，判断代数式是否是单项式，关键要看代数式中数与字母是否是乘积关系，即分母中不含有字母，若式子中含有加、减运算关系，其也不是单项式．

2、单项式的系数：

是指单项式中的数字因数；

3、单项数的次数：

是指单项式中所有字母的指数的和．

4、多项式：

几个单项式的和。

判断代数式是否是多项式，关键要看代数式中的每一项是否是单项式．每个单项式称项，常数项，多项式的次数就是多项式中次数最高的次数。

多项式的次数是指多项式里次数最高项的次数，这里是次数最高项，其次数是6；

多项式的项是指在多项式中，每一个单项式．特别注意多项式的项包括它前面的性质符号．常数项的次数为0。

5、它们都是用字母表示数或列式表示数量关系。

注意单项式和多项式的每一项都包括它前面的符号。

6、单项式和多项式统称为整式。

分母上含有字母的不是整式。

代数式书写规范：

①数与字母、字母与字母中的乘号可以省略不写或用“·

”表示，并把数字放到字母前；

②出现除式时，用分数表示；

③带分数与字母相乘时，带分数要化成假分数；

④若运算结果为加减的式子，当后面有单位时，要用括号把整个式子括起来。

2.2整式的加减

1、同类项：

所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。

与字母前面的系数（≠0）无关。

2、同类项必须同时满足两个条件：

（1）所含字母相同；

（2）相同字母的次数相同，二者缺一不可．同类项与系数大小、字母的排列顺序无关

3、合并同类项：

把多项式中的同类项合并成一项。

可以运用交换律，结合律和分配律。

合并同类项的步骤：

（1）准确的找出同类项；

（2）运用加法交换律，把同类项交换位置后结合在一起；

（3）利用法则，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变；

（4）写出合并后的结果。

4、合并同类项法则：

合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变；

5、去括号法则：

去括号，看符号：

是正号，不变号；

是负号，全变号。

6、整式加减的一般步骤：

一去、二找、三合

（1）如果遇到括号按去括号法则先去括号.

（2）结合同类项.（3）合并同类项

第三章一元一次方程

3.1一元一次方程

1、方程是含有未知数的等式。

2、方程都只含有一个未知数（元）x，未知数x的指数都是1（次），这样的方程叫做一元一次方程。

判断一个方程是否是一元一次方程要抓住三点：

1）未知数所在的式子是整式（方程是整式方程）；

2）化简后方程中只含有一个未知数；

3）经整理后方程中未知数的次数是1.

一般形式：

ax+b=0（a≠0）

未知数在分母中时，它的次数不能看成是1次。

如，它不是一元一次方程。

3、解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解。

4、等式的性质：

1）等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；

2）等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

运用性质时，一定要注意等号两边都要同时变；

运用性质2时，一定要注意0这个数.

3.2、3.3解一元一次方程

在实际解方程的过程中，以下步骤不一定完全用上，有些步骤还需重复使用.因此在解方程时还要注意以下几点：

①去分母：

在方程两边都乘以各分母的最小公倍数，不要漏乘不含分母的项；

分子是一个整体，去分母后应加上括号；

去分母与分母化整是两个概念，不能混淆；

②去括号：

遵从先去小括号，再去中括号，最后去大括号；

不要漏乘括号的项；

不要弄错符号；

③移项：

把含有未知数的项移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边（移项要变符号）移项要变号；

移项时要跨越“=”号，移过的项一定要变号。

④合并同类项：

不要丢项，解方程是同解变形，每一步都是一个方程，不能像计算或化简题那样写能连等的形式；

⑤系数化为1：

:

字母及其指数不变系数化成1，在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解。

不要分子、分母搞颠倒。

3.4实际问题与一元一次方程

一．概念梳理

⑴列一元一次方程解决实际问题的一般步骤是：

①审题，特别注意关键的字和词的意义，弄清相关数量关系；

②设出未知数（注意单位）；

③根据相等关系列出方程；

④解这个方程；

⑤检验并写出答案（包括单位名称）。

⑵一些固定模型中的等量关系及典型例题参照一元一次方程应用题专练学案。

二、思想方法（本单元常用到的数学思想方法小结）

⑴建模思想：

通过对实际问题中的数量关系的分析，抽象成数学模型，建立一元一次方程的思想.

⑵方程思想：

用方程解决实际问题的思想就是方程思想.

⑶化归思想：

解一元一次方程的过程，实质上就是利用去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1等各种同解变形，不断地用新的更简单的方程来代替原来的方程，最后逐步把方程转化为x=a的形式.体现了化“未知”为“已知”的化归思想.

⑷数形结合思想：

在列方程解决问题时，借助于线段示意图和图表等来分析数量关系，使问题中的数量关系很直观地展示出来，体现了数形结合的优越性.

⑸分类思想：

在解含字母系数的方程和含绝对值符号的方程过程中往往需要分类讨论，在解有关方案设计的实际问题的过程中往往也要注意分类思想在过程中的运用.

三、数学思想方法的学习

1.解一元一次方程时，要明确每一步过程都作什么变形，应该注意什么问题.

2.寻找实际问题的数量关系时，要善于借助直观分析法，如表格法，直线分析法和图示分析法等.

3.列方程解应用题的检验包括两个方面：

⑴检验求得的结果是不是方程的解；

⑵是要判断方程的解是否符合题目中的实际意义.

实际问题的常见类型：

行程问题：

路程=时间×

速度，时间=，速度=

（单位：

路程——米、千米；

时间——秒、分、时；

速度——米／秒、米／分、千米／小时）

工程问题：

工作总量=工作时间×

工作效率，工作总量=各部分工作量的和

利润问题：

利润=售价-进价，利润率=，售价=标价×

（1-折扣）

等积变形问题：

长方体的体积=长×

宽×

高；

圆柱的体积=底面积×

锻造前的体积=锻造后的体积

利息问题：

本息和=本金+利息；

利息=本金×

利率

四、一元一次方程典型例题

例1.已知方程2xm－3+3x=5是一元一次方程，则m=.

由一元一次方程的定义可知m－3=1，解得m=4.或m－3=0，解得m=3

所以m=4或m=3

警示：

很多同学做到这种题型时就想到指数是1，从而写成m=1，这里一定要注意x的指数是（m－3）.

例2.已知是方程ax2－（2a－3）x+5=0的解，求a的值.

∵x=－2是方程ax2－（2a－3）x+5=0的解

∴将x=－2代入方程，

得a·

（－2）2－（2a－3）·

（－2）+5=0

化简，得4a+4a－6+5=0

∴a=