题库：圆的证明与计算题文档格式.doc

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∴四边形OGFD为矩形，

∴DF＝OG＝.

3如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB于点E，AM⊥BC于点M，交CD于点N，连接AD.

AD＝AN；

（2）若AB＝4，ON＝1，求⊙O的半径．

第3题图

（1）证明：

∵∠BAD与∠BCD是同弧所对的圆周角，

∴∠BAD＝∠BCD，

∵AE⊥CD，AM⊥BC，

∴∠AEN＝∠AMC＝90°

∵∠ANE＝∠CNM，

∴∠BAM＝∠BCD，

∴∠BAM＝∠BAD，

在△ANE与△ADE中，

∴△ANE≌△ADE（ASA），

∴AN＝AD；

∵AB＝4，AE⊥CD,

∴AE＝AB＝2，

又∵ON＝1，

∴设NE＝x，则OE＝x－1，NE＝ED＝x，OD＝OE＋ED＝2x－1，

如解图，连接AO，则AO＝OD＝2x－1，

第3题解图

∵△AOE是直角三角形，AE＝2，OE＝x－1，AO＝2x－1，

∴

（2）2＋（x－1）2＝（2x－1）2，

解得x1＝2，x2＝－（舍），

∴AO＝2x－1＝3，

即⊙O的半径为3.

4.如图，在△ABC中，∠C＝90°

，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连接EF.

∠1＝∠F；

（2）若sinB＝，EF＝2，求CD的长．

第4题图

如解图，连接DE.

第4题解图

∵BD是⊙O的直径，

∴∠DEB＝90°

.

∵E是AB的中点，

∴DA＝DB，

∴∠1＝∠B.

∵∠B＝∠F，

∴∠1＝∠F；

∵∠1＝∠F，

∴AE＝EF＝2，

∴AB＝2AE＝4.

在Rt△ABC中，AC＝AB·

sinB＝4，

∴BC＝＝8.

设CD＝x，则AD＝BD＝8－x.

在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2＋CD2＝AD2，

即42＋x2＝（8－x）2，

解得x＝3，

∴CD＝3.

5.如图，直线DP和⊙O相切于点C，交直径AE的延长线于点P，过点C作AE的垂线，交AE于点F，交⊙O于点B，作ABCD，连接BE，DO，CO.

DA=DC；

（2）求∠P及∠AEB的度数.

第5题图

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∵CB⊥AE，

∴AD⊥AE，

∴∠DAO＝90°

又∵直线DP和⊙O相切于点C，

∴DC⊥OC，

∴∠DCO＝90°

∴在Rt△DAO和Rt△DCO中，

∴Rt△DAO≌Rt△DCO（HL），

∴DA＝DC；

∵CB⊥AE，AE是⊙O的直径，

∴CF＝FB＝BC，

又∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC，

∴CF＝AD，

又∵CF∥DA，

∴△PCF∽△PDA，

∴＝＝，即PC＝PD，DC＝PD.

由

（1）知DA＝DC，

∴DA＝PD，

∴在Rt△DAP中，∠P＝30°

∵DP∥AB，

∴∠FAB＝∠P＝30°

又∵∠ABE＝90°

－30°

＝60°

.

6.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E.

∠ABD＝∠ADE；

（2）若⊙O的半径为，AD＝，求CE的长．

第6题图

如解图，连接OD.

第6题解图

∵DE为⊙O的切线，

∴OD⊥DE，

∴∠ADO＋∠ADE＝90°

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°

∴∠ADO＋∠ODB＝90°

∴∠ADE＝∠ODB，

∴∠OBD＝∠ODB，

∴∠ABD＝∠ADE;

∵AB＝AC＝2×

＝，∠ADB＝∠ADC＝90°

∴∠ABC＝∠C，BD＝CD.

∵O为AB的中点，

∴OD为△ABC的中位线，

∵OD⊥DE，

∴AC⊥DE，

在Rt△ACD中，

CD＝＝＝5，

∵∠C＝∠C，∠DEC＝∠ADC＝90°

∴△DEC∽△ADC，

∴＝，即＝，

∴CE＝3.

7.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°

，D是边AB上的一点，且∠A＝2∠DCB，点E是BC上的一点，以EC为直径的⊙O经过点D.

AB是⊙O的切线；

（2）若CD的弦心距为1，BE＝EO，求BD的长．

第7题图

如解图①，连接OD，

第7题解图①

则∠DOB＝2∠DCB，

又∵∠A＝2∠DCB，

∴∠A＝∠DOB，

又∵∠A＋∠B＝90°

∴∠DOB＋∠B＝90°

∴∠BDO＝90°

即OD⊥AB，

又∵OD是⊙O的半径，

∴AB是⊙O的切线．

如解图②，过点O作OM⊥CD于点M，连接DE，

第7题解图②

∵OD＝OE＝BE＝BO，∠BDO＝90°

∴∠B＝30°

∴∠DOB＝60°

∴∠DCB＝30°

∴OC＝2OM＝2，

∴OD＝2，

∴BD＝ODtan60°

＝2.

8.如图，PB为⊙O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连接PA，AO，并延长AO交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D.

PA是⊙O的切线；

（2）若cos∠CAO＝，且OC＝6，求PB的长．

第8题图

如解图，连接OB，

第8题解图

∵OA＝OB，

∴∠OAB＝∠OBA，

∵OP⊥AB，

∴AC＝BC，

∴OP是AB的垂直平分线，

∴PA＝PB，

∴∠PAB＝∠PBA，

∴∠PAO＝∠PBO.

∵PB为⊙O的切线，

∴∠OBP＝90°

∴∠PAO＝90°

∵OA为⊙O的半径，

∴PA是⊙O的切线；

∵cos∠CAO＝，

∴设AC＝4k，AO＝5k，由勾股定理可知OC＝3k，

∴sin∠CAO＝，tan∠COA＝，

∴＝，即＝，解得OA＝10，

∵tan∠POA＝tan∠COA＝＝，

∴＝，解得AP＝，

∵PA＝PB，

∴PB＝PA＝.

9.如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于点D，∠ACD＝∠ABC.

CA是⊙O的切线；

（2）若点E是BC上一点，已知BE＝6，tan∠ABC＝，tan∠AEC＝，求⊙O的直径．

第9题图

∵BC是⊙O的直径，

∴∠BDC＝90°

∴∠ABC＋∠DCB＝90°

∵∠ACD＝∠ABC，

∴∠ACD＋∠DCB＝90°

∴∠ACB＝90°

即BC⊥CA，

又∵BC是⊙O的直径，

∴CA是⊙O的切线；

在Rt△AEC中，tan∠AEC＝，

∴＝，EC＝AC.

在Rt△ABC中，tan∠ABC＝，

∴＝，BC＝AC.

∵BC－EC＝BE＝6，

∴AC－AC＝6，解得AC＝，

∴BC＝×

＝10，

即⊙O的直径为10.

10.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，交AB延长线于点F.

DE⊥AC；

（2）若AB＝10，AE＝8，求BF的长．

第10题图

如解图,连接OD，AD，

第10题解图

∵DE与⊙O相切于点D，

∴OD⊥DE.

∴∠ADB=90°

∵AB=AC，

∴D为BC中点，

又∵O为AB中点，

∴OD∥AC，∴DE⊥AC；

∵AB=10，

∴OB=OD=5.

由

（1）知OD∥AC，

∴△ODF∽△AEF，

∴，

设BF=x,

则有解得x=，

∴BF=.

11.如图，已知AB为⊙O的直径，F为⊙O上一点，AC平分∠BAF且交⊙O于点C，过点C作CD⊥AF于点D，延长AB、DC交于点E，连接BC、CF.

CD是⊙O的切线；

（2）若AD＝6，DE＝8，求BE的长；

（3）求证：

AF＋2DF＝AB.

第11题图

如解图，连接OC.

第11题解图

∵AC平分∠BAD,∴∠OAC=∠CAD，

又∠OAC=∠OCA,∴∠OCA=∠CAD，

∴CO∥AD.

又CD⊥AD，

∴CD⊥OC，

又∵OC是⊙O的半径，

∴CD是⊙O的切线；

在Rt△ADE中，∵AD=6，DE=8，

根据勾股定理得：

AE=10，

∵CO∥AD，

∴△EOC∽△EAD,

∴.

设⊙O的半径为r，∴OE=10-r.

∴r=，

∴BE=10-2r=；

（3）证明：

如解图，过点C作CG⊥AB于点G.

∵∠OAC=∠CAD，AD⊥CD，

∴CG=CD，

在Rt△AGC和Rt△ADC中，

∵CG=CD，AC=AC，

∴Rt△AGC≌Rt△ADC（HL），

∴AG=AD.

又∵∠BAC=∠CAD，

∴BC=CF，

在Rt△CGB和Rt△CDF中，

∵BC=FC，CG=CD，

∴Rt△CGB≌Rt△CDF（HL），

∴GB=DF.

∵AG+GB=AB，∴AD+DF=AB，即AF+2DF=AB.

12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°

，以BC为直径的⊙O交AB于点D，E是AC的中点，OE交CD于点F.

（1）若∠BCD＝36°

，BC＝10，求的长；

（2）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

2CE2＝AB·

EF.

第12题图

（1）解：

第12题解图

∵∠BCD＝36°

∴∠BOD＝2∠BCD＝2×

36°

＝72°

∵BC是⊙O的直径，BC＝10，

∴OB＝5，

∴l＝＝2π；

DE是⊙O的切线；

理由如下：

∴∠ADC＝180°

－∠BDC＝90°

又∵点E是线段AC中点，

∴DE＝AC＝EC，

在△DOE与△COE中，

∴△DOE≌△COE（SSS）．

∵∠ACB＝90°

∴∠ODE＝∠OCE＝90°

∴DE是⊙O的切线；

由

（2）知，△DOE≌△COE，

∴OE是线段CD的垂直平分线，

∴点F是线段CD中点，

∵点E是线段AC中点，则EF＝AD，

∵∠BAC＝∠CAD，∠ADC＝∠ACB，

∴△ACD∽△ABC，

则＝，即AC2＝AB·

AD，

而AC＝2CE，AD＝2EF，

∴（2CE）2＝AB·

2EF，

即4CE2＝AB·

∴2CE2＝AB·

13.如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙O于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF.

直线PA为⊙O的切线；

（2）求证：

EF2＝4OD·

OP；

（3）若BC＝6，tanF＝，求AC的长.

第13题图

第13题解图

∵PB是⊙O的切线，

∴∠PBO＝90°

∵OA＝OB，BA⊥PO于点D，

∴AD＝BD，

∴点D为AB的中点，即OP垂直平分AB，

∴∠APO＝∠BPO，

∵∠ADP＝∠BDP＝90°

∴△APD≌△BPD，

∴AP＝BP，

在△PAO和△PBO中，

∴△PAO≌△PBO（SAS），

∴∠PAO＝∠PBO＝90°

∴直线PA为⊙O的切线；

（2）证明：

∵∠PAO＝∠PDA＝90°

∴∠OAD＋∠AOD＝90°

，∠OPA＋∠AOP＝90°

∴∠OAD＝∠OPA，

∴△OAD∽△OPA，

∴＝，即OA2＝OD·

OP，

又∵EF＝2OA，

∴EF2＝4OD·

（3）解：

∵OA＝OC，AD＝BD，BC＝6，

∴OD＝BC＝3，

设AD＝x，

∴tanF＝＝＝，

∴DF＝2x，∴OA＝OF＝2x－3，

在Rt△AOD中，由勾股定理得

（2x－3）2＝x2＋32，解得x1＝4或x2＝0（不合题意，舍去），

∴OA＝2x－3＝5，

∵AC为⊙O的直径，

∴AC＝2OA＝10.

14.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交直径AB于点F，连接BE.

AC平分∠DAB；

PC=PF；

（3）若tan∠PCB＝，BE＝5，求PF的长．

第14题图

如解图，连接OC，

第14题解图

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA，

∵PC是⊙O的切线，且AD⊥CD，

∴∠OCP＝∠D＝90°

∴OC∥AD，

∴∠CAD＝∠OCA＝∠OAC，

即AC平分∠DAB；

∴∠PCB＋∠ACD＝90°

又∵∠CAD＋∠ACD＝90°

∴∠CAB＝∠CAD＝∠PCB.

∵CE平分∠ACB，

∴∠ACE＝∠BCE，

∵∠PFC＝∠CAB＋∠ACE，∠PCF＝∠PCB＋∠BCE，

∴∠PFC＝∠PCF，

∴PC＝PF；

如解图，连接AE，

∵∠ACE＝∠BCE，

∴AE＝BE，

又∵AB是直径，

，AB＝BE＝10，

∴OB＝OC＝5，

∵∠PCB＝∠PAC，∠P＝∠P，

∴△PCB∽△PAC，

∵tan∠PCB＝tan∠CAB＝，∴＝＝，

设PB＝3x，则PC＝4x，

在Rt△POC中，根据勾股定理得，

（3x＋5）2＝（4x）2＋52，解得x1＝0，x2＝.

∵x＞0，∴x＝，

∴PF＝PC＝.

15.如图，AB是⊙O的直径，C、G是⊙O上两点，且点C是劣弧的中点，过点C的直线CD⊥BG的延长线于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F.

（2）若ED＝DB，求证：

3OF＝2DF；

（3）在

（2）的条件下，连接AD，若CD＝3，求AD的长．

第15题图

如解图①，连接OC、AC、CG，

∵＝，

∴AC＝CG，

∴∠ABC＝∠CBG，

∵OC＝OB，

∴∠OCB＝∠OBC，

∴∠OCB＝∠CBG，

∴OC∥BG，

∵CD⊥BG，

∴OC⊥CD，

∵OC是⊙O的半径，

第15题解图

∵OC∥BD，∠CFO＝∠DFB，

∴∠OCB＝∠CBD，∠EOC＝∠EBD，

∴△OCF∽△DBF，△EOC∽△EBD，

∴＝，＝，

∵ED＝DB，∠EDB＝90°

∴∠E＝30°

∴OC＝OE，

∴AE＝OA＝OC＝OB，

∴＝＝＝，

即3OF＝2DF；

如解图②，过A作AH⊥DE，交DE于点H，

∵∠E＝30°

∴∠EBD＝60°

∵∠ABC＝∠CBD，

∴∠CBD＝∠EBD＝30°

∵CD＝3，

∴BD＝＝3，

∴BE＝＝6，DE＝BD＝9，

∵AE＝BE，AH∥BD，

∴AH＝BD＝，DH＝DE＝6，

∴AD＝＝.

第15题解图

16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°

，AO是△ABC的角平分线.以O为圆心，OC长为半径作⊙O，连接AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D.

（2）若tanD＝，求的值；

（3）设⊙O的半径为3，求AB的长．

第16题图

如解图，过O作OF⊥AB交AB于F，

∴AC⊥BC，

∵AO是△ABC的角平分线，OF⊥AB，

∴CO＝FO，

∴FO为⊙O的半径，

∴AB是⊙O的切线；

第16题解图

如解图，连接CE，

∵ED是⊙O的直径，

∴∠ECD＝90°

∴∠ECO＋∠OCD＝90°

∴∠ACE＋∠ECO＝90°

∴∠ACE＝∠OCD，

∵OC＝OD，

∴∠OCD＝∠ODC，

∴∠ACE＝∠ODC，

∵∠CAE＝∠CAE，

∴△ACE∽△ADC，

∵tanD＝＝，

∴＝；

由

（2）知＝，

设AE＝c，则AC=2c，

在Rt△ACO中，

∴（2c）2＋32＝（c＋3）2，

解得c＝2或c=0（舍去），

∴AF＝AC＝2c＝4，

∵在△BFO和△BCA中，∠B＝∠B，∠BFO＝∠BCA＝90°

∴△BFO∽△BCA，

∴＝＝，

设BF＝x，BO＝y，

解得x＝，y＝，

∴AB＝AF＋BF＝4＋＝.

17.如图，⊙O是△ABC的外接圆，O点在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD，CD.过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P.

PD是⊙O的切线；

△PBD∽△DCA；

（3）当AB＝6，AC＝8时，求线段PB的长．

第17题图

∵圆心O在BC上，

∴BC是⊙O的直径，

∴∠BAC＝90°

如解图，连接OD.

第17题解图

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAC＝2∠DAC.

∵∠DOC＝2∠DAC，

∴∠DOC＝∠BAC＝90°

即OD⊥BC.

∵PD∥BC，

∴OD⊥PD.

又OD是⊙O的半径，

∴PD是⊙O的切线；

∴∠P＝∠ABC.

又∠ABC＝∠ADC，

∴∠P＝∠ADC.

∵∠PBD＋∠ABD＝180°

，∠ACD＋∠ABD＝180°

∴∠PBD＝∠ACD.

∴△PBD∽△DCA；

∵△ABC是直角三角形，

∴BC2＝AB2＋AC2＝62＋82＝100.

∴BC＝10.

∵OD垂直平分BC，

∴DB＝DC.

在等腰直角三角形BDC中．DC＝DB＝5.

∵△PBD∽△DCA，

即PB＝＝＝.

18.如图，AB是⊙O的直径，点P在AB的延长线上，弦CE交AB于点D，连接OE，AC，且∠P＝∠E，∠POE＝2∠CAB.

CE⊥AB；

PC是⊙O的切线；

（3）若BD＝2OD，且PB＝9，求tanP的值．

第18题图

第18题解图

∴∠COB＝2∠CAB，

又∵∠POE＝2∠CAB，

∴∠COD＝∠EOD，

又∵OC＝OE，

∴CE⊥AB;

∵CE⊥AB，∠P＝∠E，

∴∠P＋∠PCD＝∠E＋∠PCD＝90°

又∠OCD＝∠E，

∴∠OCD＋∠PCD＝∠PCO＝90°

∴PC是⊙O的切线；

设⊙O的半径为r，OD＝x，则BD＝2x，r＝3x，

∵CD⊥OP，OC⊥PC，

∴Rt△OCD∽Rt△OPC，

∴OC2＝OD·

OP，即（3x）2＝x（3x＋9），

解得x＝或x=0（舍去），

∴⊙O的半径r为，

同理可得PC2＝PD·

PO＝（PB＋BD）·

（PB＋OB）＝162，

∴PC＝9，

在Rt△OCP中，tanP＝＝.

19.如图，AC是⊙O的直径，弦BE⊥AC于H，F为⊙O上的一点，过点F的直线与AC的延长线交于点D，与BE的延长线交于点M，连接AF交BM于G，且MF＝MG.

MD为⊙O的切线；

当MD∥AB时，FG2＝MF·

EG；

（3）在

（2）的条件下，若cosM＝，FD＝6，求AG的长．

第19题图

∵MF＝MG，

∴∠MFG＝∠MGF＝∠AGB，

如解图，连接FO，

∵OF＝AO，

∴∠OFA=∠OAF，

∵BE⊥AC，

∴∠AGH+∠OAF=∠MFG+∠OFA=90°

即∠MFO＝90°

∵OF为⊙O的半径，

∴MD为⊙O的切线；

（2）证明：

∵MD∥AB，

∴∠M＝∠ABM，

如解图，连接EF，

∵∠EFG＝∠ABM，

∴∠M＝∠EFG，

∵∠MGF＝∠FGE，

∴△MGF∽△FGE，

又∵MG=MF，

∴FG2＝MF·

第19题解图

（3）解

：

∵∠M＝∠ABM，cosM＝，

∴设AH