相似三角形与圆的综合应用Word文档格式.doc
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（一）定义：
对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫相似三角形。
相似三角形的对应边的比叫做相似比（也叫相似系数）。
（二）判定：
①平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
③有两个角对应相等的两个三角形相似。
④三条边对应成比例的两个三角形相似。
⑤一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似。
⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似。
相似三角形的性质
1.相似比：
相似三角形对应边的比值
2.相似三角形各组对应角相等
3.相似三角形各组对应边的比值相等
4.相似三角形对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比
5.相似三角形周长的比等于相似比
6.相似三角形面积的比等于相似比的平方
7.直角三角形中，斜边上的高线是两条直角边在斜边上的射影的比例中项
圆的性质
1、旋转不变性
2、圆是中心对称图形，对称中心是圆心．
3、轴对称：
4、与圆有关的角
⑴圆心角⑵圆周角
点和圆、圆与圆的位置关系
1.点与圆的位置关系
2.判定直线与圆的位置关系的方法有两种
3、常用的辅助线是：
圆心到直线的垂线段
圆与圆的位置关系：
1.两圆的位置关系有五种
2.根据两圆交点个数判断两圆的位置关系
3.根据圆心距与两圆半径的和的数量关系
圆中常见的辅助线
1．作半径，利用同圆或等圆的半径相等；
2．作弦心距，利用垂径定理进行证明或计算；
3．作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算；
4．作弦构造同弧或等弧所对的圆周角；
5．作弦、直径等构造直径所对的圆周角——直角；
6．遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点。
相似三角形
典型例题
1在△ABC中,AB＝AC,∠A＝36°
∠ABC的平分线BD与AC交于D,求证:
（1）BC＝BD
（2）△ABC∽△BDC
2.两个相似三角形对应中线之比是3:
7，周长之和为30cm,则它们的周长分别是
3．如图，已知＝=，求证：
△ABD∽△ACE
4．在RtΔABC中，∠ACB=90°
，CD⊥AB于D，则BD∶AD等于（ ）
（A）a∶b（B）a2∶b2（C）∶（D）不能确定
5.如图，在ΔABC中，∠ACB＝90°
，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，=
求的值。
知识概括、方法总结与易错点分析
针对性练习
1．两个相似三角形的对应角平分线的长分别为10cm和20cm，若它们的周长的差是60cm，则较大的三角形的周长是----------，若它们的面积之和为260cm2，则较小的三角形的面积为----------cm2
2.如图，PLMN为矩形，AD⊥BC于D，PL∶LM=5∶9，且BC=36cm，AD=12cm，求矩形PLMN的周长
3.如图，在RtΔABD中，∠ADB=90°
CD⊥AB于C，AC=20cm,BC=9cm,求AB及BD的长
5.如图，矩形ABCD中，AE⊥BD于E，若BE=4，DE=9,求矩形的面积
圆、相似与圆的综合应用
1.如图，AB是△ABC的外接圆⊙O的直径，D是⊙O上的一点，DE⊥AB于点E，且DE的延长线分别交AC、⊙O、BC的延长线于F、M、G.求证：
AE·
BE＝EF·
EG；
2.如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，D是⊙O上的一点，且AD∥CO。
（1）求证：
ΔADB∽ΔOBC；
（2）若AB=2，BC=，求AD的长。
（结果保留根号）
A
B
C
D
O
P
图5－1－2
3.已知：
如图，AB是⊙O的直径， 点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C，BD⊥PD，垂足为D，连接BC。
求证：
（1）BC平分∠PBD；
（2）
4.如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，弦AD∥OC.求证：
CD是⊙O的切线。
.
1、旋转不变性：
圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；
性质：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量也分别相等。
圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴．
⑴圆心角：
顶点在圆心的角叫圆心角。
圆心角的性质：
圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
⑵圆周角：
顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。
圆周角的性质：
①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半．
②同弧或等弧所对的圆周角相等；
在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．
③90°
的圆周角所对的弦为直径；
半圆或直径所对的圆周角为直角．
点与圆的位置关系
1.点在圆外d＞r
2.点在圆上d=r
3.点在圆内d＜r
直线与圆的位置关系
判定方法有两种
（1）根据定义，由直线与圆的公共点的个数来判断；
（2）根据性质，由圆心到直线的距离d与半径r的关系来判断
常用的辅助线是：
圆与圆的位置关系
（1）当两圆有唯一的公共点时，叫做两圆相切，唯一的公共点叫做切点。
相切的两个圆除了切点外，一个圆上的点都在另一个圆的外部时，我们就说这两个圆外切（如图1）；
，相切的两个圆，除了切点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，我们就说这两个圆内切（如图2）。
（2）设两个圆的半径为R和r,（R＞r），圆心距为d，则可得
两圆外切d=R+r;
两圆内切d=R-r。
（3）相切两圆也组成轴对称图形，通过两圆的圆心的直线叫做连心线，是他们的对称轴，由此我们得到相切两圆的连心线的性质：
相切两圆的连心线必经过切点。
两圆的位置关系还有以下三种情况：
当两个圆有两个公共点时，叫做两圆相交（如图1）；
当两个圆没有公共点时，叫做两圆相离，相离的两个圆，如果一个圆上的点都在另一个圆的外部，我们就说这两个圆外离（如图2），如果一个圆上点都在另一个圆的内部。
我们就说这两个圆内含（如图3）
设两个圆的半径为R和r,圆心距为d,则
（1）两圆相交R-r＜d＜R+r;
（2）两圆外离d＞R+r;
（3）两圆内含d＜R-r（R＞r）;
针对性练习：
1．如图，AB是⊙O的直径，弦DE⊥AB，垂足为C，过点D作⊙O的切线交BA的延长线于点P，tan∠P＝，PO＝16。
（1）求⊙O的半径；
（2）求OC的长；
（3）若F为弧AE的中点，求cos∠AOF的值。
2.已知：
如图，直线PA交⊙O于A、E两点，PA的垂线DC切⊙O于点C，过A点作⊙O的直径AB。
AC平分Ð
DAB；
（2）若DC＝4，DA＝2，求⊙O的直径。
3.PC切⊙O于点C，过圆心的割线PAB交⊙O于A、B两点，BE⊥PE，垂足为E，BE交⊙O于点D，F是PC上一点，且PF＝AF，FA的延长线交⊙O于点G。
（1）∠FGD＝2∠PBC；
（2）.
4.已知直线L与⊙O相切于点A，直径AB=6，点P在L上移动，连接OP交⊙O于点C，连接BC并延长BC交直线L于点D，
（1）若AP=4，求线段PC的长
（2）若ΔPAO与ΔBAD相似，求∠APO
的度数和四边形OADC的面积（答
案要求保留根号）
巩固作业
1、如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，若∠APB=60°
，则∠ABO=.
（第1题）（第2题）（第3题）
2．如图，在△ABC中，∠A=90°
，AB=AC=2cm，⊙A与BC相切于点D，则⊙A的半径为cm．
3．如图，已知∠AOB=30°
，M为OB边上一点，以M为圆心、2cm为半径
作⊙M．若点M在OB边上运动，则当OM=cm时，⊙M与OA相切．
4．如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，PA=3，OA=4，
则cos∠APO的值为（）
（A）（B）（C）（D）
5．已知正三角形的内切圆半径为cm，则它的边长是（）
（A）2cm（B）cm（C）2cm（D）cm
6．已知半径均为1厘米的两圆外切，半径为2厘米，且和这两圆都相切的圆共有（）
（A）2个（B）3个（C）4个（D）5个
7.如图，AD、AE分别是⊙O的切线，D、E为切点，BC切⊙O于F,交AD、AE于点B、C，若AD=8.则三角形ABC的周长是（）
A.8B.10C.16D.不能确定
8.如图，BC是⊙O的直径，弦AE⊥BC，垂足D,,AE与BF相交于点G.
（1）；
（2）BG=GE
9.如图,已知AB是⊙O的直径,⊙O过BC的中点D,且DE⊥AC.
（1）求证:
DE是⊙O的切线.
（2）若∠C=30°
CD=10cm,求⊙Ｏ的半径．
Ａ
Ｂ
Ｄ
Ｅ
10.如图，在△ABC中，∠ABC＝90，AB＝6，BC＝8。
以AB为直径的⊙O交AC于D，E是BC的中点，连接ED并延长交BA的延长线于点F。
DE是⊙O的切线；
（2）求DB的长；
11.已知：
如图，以Rt△ABC的斜边AB为直径作⊙O，D是⊙O上的点，且有AC=CD。
过点C作⊙O的切线，与BD的延长线交于点E，连结CD。
（1）试判断BE与CE是否互相垂直?
请说明理由；
（2）若CD=2，tan∠DCE=，求⊙O的半径长。
12.已知：
如图，△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交BC的延长线于点F．
（1）AD＝BD；
（2）DF是⊙O的切线．
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