正方形与45°角习题文档格式.doc

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已知如图，正方形ABCD中，,AE、AF分别与对角线BD交于G、H,且

例.如图:

Rt△ABC中,∠C=90°

AC=BC,E、F分别在边BC、AC上，E为BC中点，F为AC的三等分点，AE、BF交于点D，求∠EDB的度数.

（全国初中数学联赛试题）已知如图，正方形ABCD被与两条边AB、BC分别平行的

线段EF、GH分割成四个小矩形，若矩形PFCH的面积恰好等于矩形AGPE的面积的2倍，

试确定∠HAF的大小，并加以证明。

例（2009东城期末23题）已知：

正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点．当绕点旋转到时（如图1），易证．

（1）当绕点旋转到时（如图2），线段和之间有怎样的数量关系？

写出猜想，并加以证明．

（2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？

请直接写出你的猜想．

图1图2图3

例（2011西城期末24题）已知：

如图，正方形ABCD的边长为a，BM，DN分别平分正方形的两个外角，且满足，连结MC，NC，MN．

（1）填空：

与△ABM相似的三角形是△，=；

（用含a的代数式表示）

（2）求的度数；

（3）猜想线段BM，DN和MN之间的等量关系并

证明你的结论．

例

例（2010海淀二模24题）.如图，已知平面直角坐标系中的点，、为线段上两动点，过点作轴的平行线交轴于点，过点作轴的平行线交轴于点，交直线于点，且.

（1）（填“>

”、“=”、“<

”），与的函数关系是（不要求写自变量的取值范围）；

（2）当时，求的度数；

（3）证明:

的度数为定值.

（备用图）（备用图

例.（2011东城一模22题）

如图1，在△ABC中，已知∠BAC＝45°

，AD⊥BC于D，BD＝2，DC＝3，求AD的长.

小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换如图1.她分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，得到四边形AEGF是正方形.设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值.

（1）请你帮小萍求出x的值.

（2）参考小萍的思路，探究并解答新问题：

如图2，在△ABC中，∠BAC＝30°

，AD⊥BC于D，AD＝4.请你按照小萍的方法画图,得到四边形AEGF，求△BGC的周长.（画图所用字母与图1中的字母对应）

图1图2

（2010石景山一模24题）．已知：

如图，正方形中，为对角线，将绕顶点逆时针旋转°

（），旋转后角的两边分别交于点、点，交于点、点，联结．

（1）在的旋转过程中，的大小是否改变，若不变写出它的度数，若改变，写出它的变化范围（直接在答题卡上写出结果，不必证明）；

（2）探究△与△的面积的数量关系，写出结论并加以证明．

例.如图，菱形ABCD中，∠BAD=120°

，把一个锐角为60°

的三角板锐角顶点固定在点A，旋转这个三角板，与BC、CD交于E、F，与BD交于M、N，

∠EAF=60°

.

⑴求证：

DE+BF=AB

⑵若DM=8，BN=5，求证：

MN=7

⑶是否存在某个时刻，线段MN是

线段DM和线段BN的比例中项？

如果有，请说明是在什么情况下；

如果没有，请说明理由.

例（2011北京市中考24题）在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F。

（1）在图1中证明；

（2）若，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；

（3）若，FG∥CE，，分别连结DB、DG（如图3），求∠BDG的度数。

例（2011海淀期末24题）已知在□ABCD中，AE^BC于E，DF平分Ð

ADC交线段AE于F.

（1）如图1，若AE=AD，Ð

ADC=60°

请直接写出线段CD与AF+BE之间所满足的等量关系;

（2）如图2,若AE=AD，你在

（1）中得到的结论是否仍然成立,若成立,对你的结论加以证明,若不成立,请说明理由；

（3）如图3,若AE:

AD=a:

b，试探究线段CD、AF、BE之间所满足的等量关系，请直接写出你的结论.

解:

（1）线段CD与AF+BE之间所满足的等量关系为:

.

（2）图1

图2

例（2012海淀期末25题）如图1，两个等腰直角三角板和有一条边在同一条直线上，，．将直线绕点逆时针旋转，交直线于点．将图1中的三角板沿直线向右平移，设、两点间的距离为．

图1图2图3

解答问题：

（1）①当点与点重合时，如图2所示，可得的值为；

②在平移过程中，的值为（用含的代数式表示）；

（2）将图2中的三角板绕点逆时针旋转，原题中的其他条件保持不变.当点落在线段上时，如图3所示，请补全图形，计算的值；

（3）将图1中的三角板ABC绕点C逆时针旋转度，≤，原题中的其他条件保持不变.计算的值（用含k的代数式表示）．

例（2012西城期末25题）如图1，平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A、B两点，点C是AB的中点，CD⊥AB且CD=AB.直线BE与轴平行，点F是射线BE上的一个动点，连接AD、AF、DF.

（1）若点F的坐标为（，），AF=.

①求此抛物线的解析式；

②点P是此抛物线上一个动点，点Q在此抛物线的对称轴上，以点A、F、P、Q为顶点构成的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标；

（2）若，，且AB的长为，其中.如图2，当∠DAF=45°

时，求的值和∠DFA的正切值.

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