因式分解(奥赛)Word文档下载推荐.doc

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4．待定系数法

在解决有关多项式时，可先假定问题的结果已经求出，其中含有未知系数，然后根据多项式恒等的定义或性质，列出含有这些未知数的方程或方程组，通过解方程或方程组，求出未知系数的值，从而解决问题的方法，如例9，例10。

【典型示例】

例1（1994年第6届“五羊杯”数学竞赛试题）

在有理数范围内分解因式：

（1）16（6x-1）（2x-1）（3x+1）（x-1）+25=.

（2）（6x-1）（2x-1）（3x-1）（x-1）+x2=.

（3）（6x-1）（4x-1）（3x-1）（x-1）+9x4=.

[解]

（1）原式=（6x-1）（4x-2）（6x+2）（4x+4）+25=（24x2-16x+2）（24x2-16x-8）+25

设24x2-16x+2=t,原式=t（t-10）+25=（t-5）2=（24x2-16x-3）2

（2）原式=（6x-1）（x-1）（2x-1）（3x-1）+x2=（6x2-7x+1）（6x2-5x+1）+x2

设6x2-7x+1=t,原式=t（t-2x）+x2=（t-x）2=（6x2-6x+1）2

（3）原式=（6x-1）（x-1）（4x-1）（3x-1）+9x4=（6x2-7x+1）（12x2-7x+1）+9x4

设6x2-7x+1=t,原式=t（6x2+t）+9x4=（t+3x2）2=（9x2-7x+1）2

例2（2000年第12届“五羊杯”数学竞赛试题）

分解因式：

（2x–3y）3+（3x–2y）3–125（x–y）3=.

[解]设2x–3y=a,3x–2y=b,-5x+5y=c,显然a+b+c=0.

由公式a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-bc-ca-ab）知此时有

a3+b3+c3=3abc，故有

原式=3（2x–3y）（3x–2y）（-5x+5y）=-15（2x–3y）（3x–2y）（x-y）

例3（1997-1998年天津市初二数学竞赛决赛试题）

分解因式xy（xy+1）+（xy+3）-2（x+y+）-（x+y-1）2

[解]设xy=a,x+y=b.

原式=a（a+1）+（a+3）-2b-1-（b-1）2=a2+2a+1-b2=（a+1）2-b2=（a+1+b）（a+1-b）

=（xy+1+x+y）（xy+1-x-y）=（x+1）（y+1）（x-1）（y-1）

例4（1991年贵州省初中数学竞赛试题）

x4+x3-4x2+x+1

[解]原式=

设则，

原式=x2（t+t2-2-4）=x2（t+3）（t-2）==（x2+3x+1）（x-1）2

例5（1994年石家庄市初中数学竞赛试题）

分解因式（x+1）4+（x+3）4-272

[解]x+2=t,原式=（t-1）4+（t+1）4-272=2t4+12t2-270=2（t2+15）（t2-9）

=2（x2+4x+19）（x+5）（x-1）

例6（1998-1999年天津市初二数学竞赛预赛试题）

把2x3-x2z-4x2y+2xyz+2xy2-y2z分解因式

[解]原式=（2x-z）y2-2（2x-z）xy+（2x-z）x2=（2x-z）（y-x）2

例7（1986年扬州市数学竞赛试题）

因式分解：

（1+y）2-2x2（1+y2）+x4（1-y）2

[解]原式=[（1+y）2+2x2（1-y2）+x4（1-y）2]-4x2=[（1+y）+x2（1-y）]2-（2x）2

=[（1+y）+x2（1-y）+2x][（1+y）+x2（1-y）-2x]=[（x+1）2-y（x2-1）][（x-1）2-y（x2-1）]

=（x+1）（x-xy+y+1）（x-1）（x-xy-y-1）

例8（1986年广州，武汉，福州，合肥，重庆五市初中数学联赛试题）

若a为正整数，则a4-3a2+9是质数还是合数？

给出你的证明。

[解]a4-3a2+9=a4+6a2+9-9a2=（a2+3）2-（3a）2=（a2+3a+3）（a2-3a+3）

=（a2+3a+3）[（a-1）（a-2）+1]

当a=1时，a4-3a2+9=7是质数；

当a=2时，a4-3a2+9=13是质数；

当a>

2时,a2+3a+3>

1,（a-1）（a-2）+1>

1,故a4-3a2+9是合数。

例9（2002年太原市初中数学竞赛试题）

关于x,y的二次式x2+7xy+my2-5x+43y-24可分解为两个一次因式的乘积，则m的值是.

[解]设x2+7xy+my2-5x+43y-24=（x+ay+b）（x+cy+d），

即x2+7xy+my2-5x+43y-24=x2+（a+c）xy+acy2+（b+d）x+（ad+bc）y+bd

比较对应项的系数，得，

a+c=7

（1）

ac=m

（2）

b+d=-5（3）

ad+bc=43（4）

bd=-24（5）

由（3）,（5）解得b=3,d=-8或b=-8,d=3

当b=3,d=-8时，（4）式为

-8a+3c=43（6）

由

（1）,（6）解得a=-2,c=9.故m=ac=-18

当b=-8,d=3时，可以得到同样的结果。

例10（1963年北京市中学生数学竞赛高二第二试试题）

已知多项式x3+bx2+cx+d的系数都是整数并且bd+cd，证明：

这多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积。

[解1]因为bd+cd=d（b+c）是奇数,故b+c和d都是奇数。

。

（A）若b是偶数，c是奇数。

设x3+bx2+cx+d可以分解成两个整系数多项式的乘积，显然一定有一个是一次因式，因为首项系数是1，不妨设

x3+bx2+cx+d=（x+p）（x2+qx+r）,其中p,q,r都是整数。

故有

x3+bx2+cx+d=x3+（p+q）x2+（pq+r）x+d

（1）

比较

（1）式两边的系数，得

pr=d为奇数

（2）

pq+r=c为奇数（3）

p+q=b为偶数（4）

由

（2）知p,r都是奇数，再由（3），q为偶数；

这样一来，（4）式就矛盾了。

（B）若b是奇数，c是偶数。

可以同样地推出矛盾来。

所以x3+bx2+cx+d不能分解为两个整系数多项式的乘积。

[解2]设x3+bx2+cx+d=（x+p）（x2+qx+r）,其中p,q,r都是整数

取x=1,上式左边=1+b+c+d是一个奇数，而右边的因式x+p=1+p是一个偶数。

矛盾。

故x3+bx2+cx+d不能分解为两个整系数多项式的乘积。

【拓展练习】

一．选择题

1．（2002年第13届“希望杯”数学竞赛试题）

下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是（）.

（A）x3-9x2+27x-27（B）x3-x2+27x-27（C）x4-x3+27x-27（D）x3-3x2+9x-27

2．（1985年上海市初中数学竞赛试题）

x2y-y2z+z2x-x2z+y2x+z2y-2xyz因式分解之后，正确的结果为（）.

（A）（y-z）（x+y）（x-z）（B）（y-z）（x-y）（x+z）

（C）（y+z）（x-y）（x+z）（D）（x+z）（x+y）（x-z）

3．（2002年北京市数学竞赛预赛试题）

a4+4分解因式的结果是（）.

（A）（a2+2a-2）（a2-2a+2）（B）（a2+2a-2）（a2-2a-2）

（C）（a2+2a+2）（a2-2a-2）（D）（a2+2a+2）（a2-2a+2）

4．（1997年第8届“希望杯”数学竞赛初二第二试试题）

把多项式x2-y2-2x-4y-3因式分解之后，正确的结果是（）.

（A）（x+y+3）（x-y-1）（B）（x+y-1）（x-y+3）

（C）（x+y-3）（x-y+1）（D）（x+y+1）（x-y-3）

5．（1990年“缙云杯”数学竞赛试题）

在1到100之间若存在整数n，使x2+x-n能分解为两个整系数一次式之积，这样的n有（）个.

（A）0（B）1（C）2（D）9

二填空题

1．（2000年第12届“五羊杯”数学竞赛试题）

（x–2）3–（y–2）3–（x–y）3=.

2．（2002年河南省数学竞赛试题）

x4+2x3+3x2+2x+1=.

3．（1998年第9届“希望杯”数学竞赛初二第二试试题）

把代数式（x+y-2xy）（x+y-2）+（xy-1）2分解成因式的乘积应当是.

4．（2000年第13届“五羊杯”数学竞赛试题）

（x4-4x2+1）（x4+3x2+1）+10x4=.

5．（1999年天津市数学竞赛试题）

k为时，多项式x2-2xy+ky2+3x-5y+2能分解为两个一次因式的乘积

三解答题

1．（1998年天津市数学竞赛试题）

（x+1）（x+2）（x+3）（x+6）+x2

2．（1992年沈阳市数学竞赛试题）

x4+y4+z4-2x2y2-2y2z2-2z2x2

3．（1996年北京市数学竞赛试题）

一个自然数a恰好等于另一个自然数b的平方，则称自然数a为完全平方数，如64=82，64就是一个完全平方数，若a=19952+19952×

19962+19962，求证：

a是一个完全平方数。

4．（1994年“祖冲之杯”数学邀请赛试题）

已知乘法公式a5+b5=（a+b）（a4-a3b+a2b2-ab3+b4），a5-b5=（a-b）（a4+a3b+a2b2+ab3+b4）,利用或不利用上述公式，分解因式：

x8+x6+x4+x2+1.

5．.（第17届江苏省初二数学竞赛第二试试题）

多项式x2-（a+5）x+5a-1能分解为两个一次因式（x+b）,（x+c）的乘积,,则a的值应为多少？

【拓展练习答案】

一．选择题

1.D.易知x3-3x2+9x-27=（x-3）3,而其它三式中都含有二次因式。

2.A.x2y-y2z+z2x-x2z+y2x+z2y-2xyz=（y-z）x2+（y2-2yz+z2）x-yz（y-z）

=（y-z）[x2+（y-z）x-yz]=（y-z）（x+y）（x-z）

3.D.a4+4=（a4+4a2+4）-4a2=（a2+2）2-（2a）2=（a2+2a+2）（a2-2a+2）

4.D.x2-y2-2x-4y-3=（x2-2x+1）–（y2+4y+4）=（x-1）2-（y+2）2=（x+y+1）（x-y-3）

5．D.设x2+x-n=（x-a）（x+b）=x2-（a-b）x-ab,故a-b=-1,ab=n.于是n为两个连续整数之积，在1到100之间，有2，6，12，20，30，42，56，72，90共9个。

二．填空题

1．3（x-2）（y-2）（x-y）.仿例2的方法解.

2．（x2+x+1）2.仿例4的方法解.

3．（x-1）2（y-1）2.仿例3的方法解.

4．（x2+1）2（x2+x+1）（x2-x+1）.设x4-4x2+1=t,

（x4-4x2+1）（x4+3x2+1）+10x4=t（t+7x2）+10x4

=（t+2x2）（t+5x2）=（x4+2x2+1）（x4+x2+1）=（x2+1）2（x2+x+1）（x2-x+1）

5．-3.因x2+3x+2=（x+1）（x+2）,故可设x2-2xy+ky2+3x-5y+2=（x+my+1）（x+ny+2）,

即x2-2xy+ky2+3x-5y+2=x2+（m+n）xy+mny2+3x+（2m+n）y+2.比较对应项系数得：

m+n=-2,2m+n=-5,mn=k.解得k=-3。

三．解答题

1．原式=（x2+5x+6）（x2+7x+6）+x2,设x2+5x+6=y,原式=y（y+2x）+x2=（x+y）2=

（x2+6x+6）2

2．原式=（x4-2x2y2+y4）-2z2（x2-y2）+z4-4y2z2=（x2-y2-z2）2-（2yz）2

=（x2-y2-z2+2xy）（x2-y2-z2-2xy）=[x2-（y-z）2][x2-（y+z）2]

=（x+y-z）（x-y+z）（x+y+z）（x-y-z）

3．设1995=x,则a=x2+x2（x+1）2+（x+1）2=x2（x+1）2+2x（x+1）+1=[x（x+1）+1]2

=（1995×

1996+1）2,故a是一个完全平方数。

4．x8+x6+x4+x2+1.=（x10-1）÷

（x2-1）=[（x5+1）（x5-1）]÷

[（x+1）（x-1）]

=（x4-x3+x2-x+1）（x4+x3+x2+x+1）

5．因x2-（a+5）x+5a-1=（x+b）（x+c）=x2+（b+c）x+bc

故有b+c=-a-5,bc=5a-1

消去a,变形得（b+5）（c+5）=-1

因b，c是整数，故有b=-4,c=-6或b=-6,c=-4。

于是a=5