数列求和及极限Word文档下载推荐.doc
《数列求和及极限Word文档下载推荐.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数列求和及极限Word文档下载推荐.doc（26页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
（6）猜想、证明（数学归纳法）。
2、能运用数列极限的四则运算法则求数列的极限；
求无穷等比数列各项的和。
【学法指导】
1、在公式法求和中，除等差、等比的求和公式外，还应掌握自然数方幂数列的求和公式，如：
+++…+=；
2、对于形式比较复杂而又不能直接用公式求和的数列，可通过对数列通项结构特点的分析研究，将2其分解为若干个易求和的新数列的和、差；
3、将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余的项易求和，这样的数列常用倒序相加，如课本中等差数列的求和公式就是用这种办法得到；
4、利用裂项变换改写数列的通项公式，通过消去中间项达到求和的目的；
5、若通项是由一个等差数列与一个等比数列相乘而得的数列，其求和的方法类似于推导等比数列前n项和公式的方法，通过乘于等比数列的公比，在错位相减，转化为等比数列的求和问题；
6、通过对、、…进行归纳，分析，寻求规律，猜想出，然后再用数学归纳法给予证明。
【典型例题】
例1求和：
+++…+
【分析】这是一个通项为的数列求前n项和，对通项公式展开可得：
=，所以对原数列求和分解为3个新数列求和，可用方法2求和。
【简解】+++…+=（）+（）+…+（）=4（+++…+）–4·
（1+2+3+…+n）+n=4。
。
例2求和：
…+
【分析】这是一个通项为的数列求前n项和，观察通项，不难发现它是一个等差数列与一个等比数列的积，可用方法5求和。
【简解】设=…+，则=+…+，所以=1++…+=1+…）–=1+–=，所以=。
例3求，…的前n项和
【分析】先写出此数列的通项==，它属于用方法4，即裂项求和。
【简解】因为==，所以=6[（1-）+（-）+…+（-）]=。
例4若=，求
【分析】由于所求的和与n的奇偶有关，所以按n的奇偶分两类分别求和。
【简解】=–2+7–12+17–22+27–…+，当n为奇数时，=–5n+3=,当n为偶数时，==。
例5在等比数列{}中,=（）=,则的取值范围是多少？
【分析】无穷等比数列的各项和是指前n项和的极限。
当|q|＜1时，=；
当|q|≥1时，这一极限不存在。
即在无穷等比数列中，|q|＜1（q≠0）是存在的充要条件。
所以特别要注意公式S==的含义及适用范围。
因此由=可得：
q=1-4，因为0＜|q|＜1，所以0＜|1-4|＜1，即：
0＜＜，且≠。
【简解】得的取值范围是（0，）∪（，）。
【复习练习】
一、选择题
1、等差数列{}、{}的前n项和分别为与，若，则等于（）
A、1B、C、D、
2、等差数列{}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A、130B、170C、210D、260
3、等比数列{}中，＞1，且前n项和满足=，则的取值范围是（）
A、（1、+∞）B、（1、4）C、（1、2）D、（1、）
4、根据时常调查结果，预测某种家用商品从年初开始的几个月内累积的需求量（万件）近似地满足=（n=1，2，…，12）。
按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是（）
A、5月、6月B、6月、7月C、7月、8月D、8月、9月
5、若一个等差数列的前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（）
A、13项B、12项C、11项D、10项
二、填空题
1、设a＞1，则=。
2、已知等差数列{}的公差d＞0，首项＞0，=，则=。
3、已知等比数列{}（∈R），=9，=27，且=（n=1、2…），则=。
4、设0＜a＜b，则=。
5、若数列{}的通项为（n∈N），则（）=。
三、解答题
1、已知数列，，…，，…为其前n项的和，计算得=，=，=，=。
观察上述结果，推测计算的公式，并用数学归纳法证明。
2、设数列{}的前n项和为，若对所有的正自然数n，都有=。
证明：
{}是等差数列。
3、{}是正数组成的数列，前n项和为，且对所有n∈，与2的等差中项等于与2的等比中项。
（1）写出数列{}的前3项；
（2）求数列{}的通项公式（写出推证过程）；
（3）令=（+）（n∈）,求lim（++…+-n）。
4、设{}是正数组成的等比数列，前n项和为。
（1）证明：
＜；
（2）是否存在常数c＞0，使得=成立？
并证明你的结论。
5、设{}为等比数列，=，已知=1，=4。
（1）求数列{}的首项和公比；
（2）求数列{}的通项公式。
6、已知{}是首项为2，公比为的等比数列，前n项和为。
（1）用表示；
（2）是否存在自然数c和k，使得＞2成立。
升级会员 