第三章 电阻电路的一般分析Word文档下载推荐.docx

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注意：

在图的定义中，结点和支路各自为一个整体，但任意一条支路必须终止在结点上。

移去一条支路并不等于同时把它连接的结点也移去，所以允许有孤立结点存在。

若移去一个结点，则应当把与该结点连接的全部支路都同时移去。

电路的图是用以表示电路几何结构的图形，图中的支路和结点与电路的支路和结点一一对应，如图3.2所示，所以电路的图是点线的集合。

通常将电压源与无源元件的串联、电流源与无源元件的并联作为复合支路用一条支路表示。

如图3.2c所示。

a电路图

b电路的图

（一个元件作为一条支路）

c电路的图

（采用复合支路）

图3.2电路和电路的图

有向图――标定了支路方向（电流的方向）的图为有向图。

电流、电压取关联参考方向。

连通图――图G的任意两节点间至少有一条路经时称为连通图，非连通图至少存在

两个分离部分。

图3.3有向图

图3.4非连通图

图3.5连通图

　　子图――若图G1中所有支路和结点都是图G中的支路和结点，则称G1是图G的子图。

a电路的图（G）

bG图的子图

cG图的子图

图3.6

　　树（T）——树（T）是连通图G的一个子图，且满足下列条件：

（1）连通；

（2）包含图G中所有结点；

（3）不含闭合路径。

　　构成树的支路称树枝；

属于图G而不属于树（T）的支路称连支：

图3.7电路的图与树的定义

需要指出的是：

　　1）对应一个图有很多的树；

　　2）树支的数目是一定的为结点数减一：

bt=（n-1）

　　3）连枝数为bl=b-bt=b-（n-1）

　　回路――回路L是连通图G的一个子图，构成一条闭合路径，并满足条件：

（1）连通；

（2）每个节点关联2条支路。

　　需要指出的是：

　　1）对应一个图有很多的回路；

　　2）基本回路的数目是一定的，为连支数；

　　3）对于平面电路，网孔数为基本回路数l=bl=b-（n-1）

图3.8电路的图与回路定义

　　基本回路（单连支回路）――基本回路具有独占的一条连枝色，即基本回路具有别的回路所没有的一条支路。

图3.9电路的图及其基本回路

结论：

电路中结点、支路和基本回路关系为：

支路数＝树枝数＋连支数＝结点数－1＋基本回路数b=n+l-1

例3－1图示为电路的图，画出三种可能的树及其对应的基本回路。

　　解：

对应例图的三个树

对应三个树的基本回路

3－2　　KCL和KVL的独立方程数

1.KCL的独立方程数

　　对图中所示电路的图列出4个结点上的KCL方程（设流出结点的电流为正，流入为负）：

　　结点①

　　结点②

　　结点③

　　结点④

把以上4个方程相加，满足：

①＋②＋③＋④＝0

　　结论：

n个结点的电路,独立的KCL方程为n-1个，即求解电路问题时，

只需选取n－1个结点来列出KCL方程。

2.KVL的独立方程数

　　根据基本回路的概念，可以证明KVL的独立方程数=基本回路数=b－（n－1）

n个结点、b条支路的电路,独立的KCL和KVL方程数为：

（n-1）+b-（n-1）=b　　

3－3　　支路电流法

1.支路电流法

　　以各支路电流为未知量列写独立电路方程分析电路的方法称为支路电流法。

　　对于有n个节点、b条支路的电路，要求解支路电流,未知量共有b个。

只要列出b个独立的电路方程，便可以求解这b个变量。

2.支路电流方程的列写步骤

（1）标定各支路电流（电压）的参考方向；

（2）从电路的n个结点中任意选择n-1个结点列写KCL方程

　　（3）选择基本回路，结合元件的特性方程列写b-（n-1）个KVL方程

　　（4）求解上述方程，得到b个支路电流；

　　（5）进一步计算支路电压和进行其它分析。

　　需要注意的是：

　　支路电流法列写的是KCL和KVL方程，所以方程列写方便、直观，但方程数较多，宜于利用计算机求解。

人工计算时，适用于支路数不多的电路。

3.支路电流方程的应用

例3－2求图示电路的各支路电流及电压源各自发出的功率。

　解：

（1）对结点a列KCL方程：

-I1-I2+I3=0

（2）对两个网孔列KVL方程：

　　　（3）求解上述方程：

　I3=I1+I2=6-2=4

　　（4）电压源发出的功率：

　　P70=6×

70=420WP6=-2×

6=-12W

例3－3列写图示电路的支路电流方程（电路中含有理想电流源）

　解1:

（1）对结点a列KCL方程：

-I1-I2+I3=0

（2）选两个网孔为独立回路，设电流源两端电压为U，列KVL方程：

　　　　　　　　7I1-11I2=70-U

11I2+7I3=U

　　　（3）由于多出一个未知量U，需增补一个方程：

I2=6A

　　求解以上方程可得各支路电流。

解2：

由于支路电流I2已知，故只需列写两个方程：

（1）对结点a列KCL方程：

　　　-I1-6+I3=0

（2）避开电流源支路取回路，如图b选大回路列KVL方程：

　　　7I1-7I3=70

解法2示意图

　　注：

本例说明对含有理想电流源的电路，列写支路电流方程有两种方法，一是设电流源两端电压，把电流源看作电压源来列写方程，然后增补一个方程，即令电流源所在支路电流等于电流源的电流即可。

另一方法是避开电流源所在支路例方程，把电流源所在支路的电流作为已知。

例3－4列写图示电路的支路电流方程（电路中含有受控源）

（2）选两个网孔为独立回路，列KVL方程：

7I1-11I2=70-5U

11I2+7I3=5U

　（3）由于受控源的控制量U是未知量，需增补一个方程：

U=7I3

　（4）整理以上方程，消去控制量U

　　　　-I1-I2+I3=0

　　　7I1-11I2+35I3=70

11I2-28I3=0

注：

本例求解过程说明对含有受控源的电路，方程列写需分两步：

（1）先将受控源看作独立源列方程；

（2）将控制量用支路电流表示，并代入所列的方程，消去控制变量。

3.4网孔电流法

1、网孔电流：

是假想沿着电路中网孔边界流动的电流，如图3-2所示电路中闭合虚线所示的电流Im1、Im2、Im3。

对于一个节点数为n、支路数为b的平面电路，其网孔数为（b−n+1）个，网孔电流数也为（b−n+1）个。

网孔电流有两个特点：

独立性：

网孔电流自动满足KCL，而且相互独立。

完备性：

电路中所有支路电流都可以用网孔电流表示。

图3-2网孔电流

2、网孔电流法：

以网孔电流作为独立变量，根据KVL列出关于网孔电流的电路方程，进行求解的过程。

3、建立方程步骤：

第一步，指定网孔电流的参考方向，并以此作为列写KVL方程的回路绕行方向。

第二步，根据KVL列写关于网孔电流的电路方程。

第三步，网孔电流方程的一般形式

式中，Rij（i=j）称为自电阻，为第

个网孔中各支路的电阻之和，值恒为正。

Rij（i≠j）称为互电阻，为第

个与第

个网孔之间公共支路的电阻之和，值可正可负；

当相邻网孔电流在公共支路上流向一致时为正，不一致时为负。

不含受控源的电路系数矩阵为对称阵。

——为第

个网孔中的等效电压源。

其值为该网孔中各支路电压源电压值的代数和。

当电压源方向与绕行方向一致时取负，不一致时取正。

4、电路中仅含电压源的网孔法

第一步,选取各网孔电流绕行方向；

第二步,利用直接观察法形成方程；

第三步,求解。

5、电路中含电流源时的网孔法

第一类情况：

含实际电流源：

作一次等效变换。

第二类情况：

含理想电流源支路。

①理想电流源位于边沿支路，如图3-3

图3-3

ａ：

选取网孔电流绕行方向，其中含理想电流源支路的网孔电流为已知量

Im2＝－IS

ｂ：

对不含有电流源支路的网孔根据直接观察法列方程

（R1＋R3）Im1－R3Im2＝US

ｃ：

求解。

②位于公共支路，如图3-4

选取网孔电流绕行方向，虚设电流源电压U。

利用直接观察法列方程

图3-4

添加约束方程：

ｄ：

6、电路中含受控源时的网孔法（如图3-5）

图3-5

第一步，选取网孔电流方向；

第二步，先将受控源作独立电源处理，利用直接观察法列方程；

第三步，再将控制量用未知量表示

第四步，整理求解。

（注意：

R12≠R21）

可见，当电路中含受控源时，

应用：

例1、用网孔法求各支路电流。

3－4　　回路电流法

回路电流法的基本思想：

　　为减少未知量（方程）的个数，假想每个基本回路中有一个回路电流沿着构成该回路的各支路流动。

各支路电流用回路电流的线性组合表示。

来求得电路的解。

1.回路电流法

　　以基本回路中的回路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。

当取网孔电流为未知量时，称网孔法。

1）支路电流与回路电流的关系

　　上图所示电路有两个独立回路，选两个网孔为独立回路，设网孔电流沿顺时针方向流动，如图所示。

可以清楚的看出，当某支路只属于某一回路（或网孔），那么该支路电流就等于该回路（网孔）电流，如果某支路属于两个回路（或网孔）所共有，则该支路电流就等于流经该支路两回路（网孔）电流的代数和。

如上图电路中：

2）回路电流法列写的方程

　　回路电流在独立回路中是闭合的，对每个相关节点回路电流流进一次，必流出一次，所以回路电流自动满足KCL。

因此回路电流法是对基本回路列写KVL方程，方程数为：

b-（n-1）与支路电流法相比，方程数减少n-1个。

2.方程的列写

　　应用回路法分析电路的关键是如何简便、正确地列写出以回路电流为变量的回路电压方程。

以上图电路为例列写网孔的KVL方程，并从中归纳总结出简便列写回路KV方程的方法。

　　按网孔列写KVL方程如下：

网孔1：

R1il1+R2（il1-il2）-us1+us2=0

网孔2：

　　将以上方程按未知量顺序排列整理得：

（R1+R2）il1-R2il2=us1-us2

-R2il1+（R2+R3）il2=us2

观察方程可以看出如下规律：

　　第一个等式中，il1前的系数（R1+R2）是网孔1中所有电阻之和，称它为网孔1的自电阻，用R11表示；

il2前的系数-R2是网孔1和网孔2公共支路上的电阻，称它为两个网孔的互电阻，用R12表示，由于流过R2的两个网孔电流方向相反，故R2前为负号；

等式右端us1-us2表示网孔1中电压源的代数和，用us11表示，us11中各电压源的取号法则是，电压源的电压降落分向与回路电流方向一致的取负号，反之取正号。

用同样的方法可以得出等式2中的自电阻、互电阻和等效电压源分别为：

自电阻

R22=（R2+R3）

互电阻

R21=-R2

等效电压源

由此得回路（网孔）电流方程的标准形式：

R11il1+R12il2=us11

R21il1+R22il2=us22

对于具有l=b-（n-1）个基本回路的电路，回路（网孔）电流方程的标准形式:

R11il1+R12il2+·

·

R1lill=us11

R21il1+R22il2+·

R2lill=us22

·

Rl1il1+Rl2il2+·

Rllill=usll

其中:

自电阻Rkk为正；

　互电阻Rjk＝Rkj可正可负，当流过互电阻的两回路电流方向相同时为正，反之为负；

　等效电压源uSkk中的电压源电压方向与该回路电流方向一致时，取负号；

反之取正号。

当电路不含受控源时，回路电流方程的系数矩阵为对称阵。

回路法的一般步骤：

（1）选定l=b-（n-1）个基本回路，并确定其绕行方向；

（2）对l个基本回路，以回路电流为未知量，列写KVL方程；

　　（3）求解上述方程，得到l个回路电流；

　　（4）求各支路电流（用回路电流表示）；

　　（5）其它分析。

电路中含有理想电流源和受控源时，回路方程的列写参见例题。

3.回路法的应用

例3－5列写如下电路的回路电流方程，说明如何求解电流i.

　解1：

独立回路有三个。

选网孔为独立回路如图所示，回路方程为：

（Rs+R1+R4）i1-R1i2–R4i3=Us

-R1i1–（R2+R1+R5）i2–R5i3=0

-R4i1–R5i2+（R2+R1+R5）i3–=0

　　从以上方程中解出网孔电流1和网孔电流2，

则电流i=i2–i3

选网孔为独立回路

本题结果说明：

（1）不含受控源的线性网络，回路方程的系数矩阵为对称阵，满足Rjk=Rkj。

（2）当网孔电流均取顺时针或逆时针方向时，Rkj均为负。

　解2：

为了减少计算量，可以只让一个回路电流经过R5支路如图所示。

此时回路方程为：

（Rs+R1+R4）i1-R1i2–（R1+R4）i3=Us

-R1i1–（R2+R1+R5）i2–（R1+R2）i3=0

-R4i1+（R1+R2）i2+（R2+R1+R3+R4）i3–=0

从以上方程中解出网孔电流2，则电流i=i2

一个回路电流经过R5支路

解法2的特点是计算量减少了，但互有电阻的识别难度加大，易遗漏互有电阻。

本题也说明独立回路的选取有多种方式，如何选取要根据所求解的问题具体分析。

例3－6列写图中所示电路的回路电流方程（电路中含有无伴理想电流源）。

解1：

选取网孔为独立回路如图所示，

引入电流源电压U，则回路方程为：

-R1i1–（R2+R1）i2=U

-R4i1+（R3+R4）i3–=-U

　由于多出一个未知量U，需增补一个方程，

即增加回路电流和电流源电流的关系方程：

　　is=i2–i3

选取网孔为独立回路

选取独立回路，使理想电流源支路仅仅属于一个回路如图所示,该回路电流等于IS。

回路电流方程为：

　（Rs+R1+R4）i1-R1i2–（R1+R4）i3=Us

is=i2

电流源支路仅属于一个回路

　注：

本题说明对含有无伴理想电流源的电路，回路电流方程的列写有两种方式：

　　•引入电流源电压U，把电流源看作电压源列写方程，然后增补回路电流和电流源电流的关系方程，从而消去中间变量U。

这种方法比较直观，但需增补方程，往往列写的方程数多。

　　•使理想电流源支路仅仅属于一个回路，该回路电流等于已知的电流源电流IS。

这种方法列写的方程数少。

　　在一些有多个无伴电流源问题中，以上两种方法往往并用。

例3－７列写图示电路的回路电流方程（电路中含有受控源）。

解：

选网孔为独立回路如图所示，把受控电压源看作独立电压源列方程：

回路1　（Rs+R1+R4）i1-R1i2–R4i3=Us

回路2　-R1i1+（R2+R1）i2=5U

回路3　-R4i1+（R3+R4）i3–=-5U

由于受控源的控制量U是未知量，需增补一个方程：

　　　U=R3i3

整理以上方程消去控制量U得：

回路1（Rs+R1+R4）i1-R1i2–R4i3=Us

回路2　-R1i1+（R2+R1）i2-5R3i3=0

回路3-R4i1+（R3+R4+5R3）i3–=0

例3－8列写图示电路的回路电流方程

　　解1：

选网孔为独立回路如图所示，设电流源和受控电流源两端的电压分别为U2和U3，则回路电流方程为：

回路1（R1+R3）i1–R3i3=-U2

回路2R2i2=U2–U3

回路3-R3i1+（R3+R4+R5）i3–R5i4=0

回路4–R5i3+R5i4=U3–μU1

方程中多出U1、U2和U3三个变量，

需增补三个方程：

is=i1–i2　–R1i1=U1i4–i2=gU1　　

独立回路的选取如图所示，回路方程为：

回路1is=i1

回路2R1i1+（R1+R4+R2）i2+R4i3=–μU1

回路3-R3i1+R4i2+（R3+R4+R5）i2–R5i4=0

回路4i4=gU1　

增补方程：

–R1（i1–i2）=U1

解法2中的回路选取

例3－9求电路中电压U，电流I和电压源产生的功率。

独立回路的选取如图所示，回路方程为：

回路1i1=2A

回路2i2=2A

回路3i3=3A

回路46i4–3i1+i2–4i3=-4

从中解得：

i4=（6-2+12-4/6）=2A

则所求电流I=I1+I3-I4=2+3-2=3A

电压2i4+4=U=8V

电压源产生的功率P=4×

i4=-8W　　　

选取的独立回路

3-5结点电压法

　　结点电压法的基本思想：

　　选结点电压为未知量，可以减少方程个数。

结点电压自动满足KVL，仅列写KCL方程就可以求解电路。

各支路电流、电压可视为结点电压的线性组合。

求出结点电压后，便可方便地得到各支路电压、电流。

　　1.结点电压法

　　以结点电压为未知量列写电路方程分析电路的方法。

适用于结点较少的电路。

　　1）结点电压与支路电压的关系

　　在电路中，任选一结点作参考点：

其余各结点与参考点之间的电压差称为相应各结点的电压（位），方向为从独立结点指向参考结点。

如下图示电路，选下部结点为参考结点，设结点1，2，3的电位分别为un1，un2，un3。

则支路1的电压为结点1的电压un1，支路2的电压为结点1和结点2的电压差，依此类推，任一支路电压都可以用结点电压表示。

如图所示电路中各支路电压分别为：

u1=un1u2=un1-un2

u3=un2-un3u4=un2

u5=un3u6=un1-un3

各支路电流通过支路电压可以求出。

如支路电流：

　　2）结点电压法列写的方程

　　观察上图可见，对电路中任何一个回路利用结点电压列KVL方程，每一个结点电压一定出现一次正号和一次负号。

如支路1，2，4构成的回路，KVL方程为：

　　　-un1+（un1-un2）+un2=0

　　以上说明结点电压自动满足KVL。

因此结点电压法是对结点列写KCL方程，方程数为（n-1）。

　　应用结点法分析电路的关键是如何简便、正确地列写出以结点电压为变量的方程。

以上页电路图为例列写结点上的KCL方程，并归纳总结出简便列写结点电压方程的方法。

　　对各结点列KCL方程：

结点①

i1+i2=is1+is6

结点②

-i1+i3+i4=o

结点③

-i3+i5=-is6

把各支路电流用结点电压表示：

　　令Gk=1/Rk，k=1,2,3,4,5。

上式简记为：

（G1+G2）un1-G2un2=is1+is2

-G2un1+（G3+G2+G4）un2-G3un3=0

-G3un2+（G3+G5）un3=-is2+us/R5

　　观察方程可以看出如下规律：

　　等式1中：

　G1+G2为接在结点1上所有支路的电导之和，称结点1的自电导，用G11表示。

　-G2为结点1与结点2之间的互电导，应等于接在结点1与结点2之间的所有支路的电导之和，始终为负值，用G12表示。

　iS1+iS2为流入结点1的电流源电流的