高中数学人教a版选修44学案第二讲 一 2 圆的参数方程 含答案文档格式.docx
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圆的参数方程
(1)在t时刻,圆周上某点M转过的角度是θ,点M的坐标是(x,y),那么θ=ωt(ω为角速度).设|OM|=r,那么由三角函数定义,有cosωt=
,sinωt=
,即圆心在原点O,半径为r的圆的参数方程为
(t为参数).其中参数t的物理意义是:
质点做匀速圆周运动的时间.
(2)若取θ为参数,因为θ=ωt,于是圆心在原点O,半径为r的圆的参数方程为
(θ为参数).其中参数θ的几何意义是:
OM0(M0为t=0时的位置)绕点O逆时针旋转到OM的位置时,OM0转过的角度.
(3)若圆心在点M0(x0,y0),半径为R,则圆的参数方程为
(0≤θ<2π).
求圆的参数方程
[例1] 圆(x-r)2+y2=r2(r>0),点M在圆上,O为原点,以∠MOx=φ为参数,求圆的参数方程.
[思路点拨] 根据圆的特点,结合参数方程概念求解.
[解] 如图所示,
设圆心为O′,连O′M,∵O′为圆心,
∴∠MO′x=2φ.
∴
(1)确定圆的参数方程,必须根据题目所给条件,否则,就会出现错误,如本题容易把参数方程写成
(2)由于选取的参数不同,圆有不同的参数方程.
1.已知圆的方程为x2+y2=2x,写出它的参数方程.
解:
x2+y2=2x的标准方程为(x-1)2+y2=1,
设x-1=cosθ,y=sinθ,则
参数方程为
2.已知点P(2,0),点Q是圆
上一动点,求PQ中点的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.
设中点M(x,y).则
即
(θ为参数)
这就是所求的轨迹方程.
它是以(1,0)为圆心,以
为半径的圆.
圆的参数方程的应用
[例2] 若x,y满足(x-1)2+(y+2)2=4,求2x+y的最值.
[思路点拨] (x-1)2+(y+2)2=4表示圆,可考虑利用圆的参数方程将求2x+y的最值转化为求三角函数最值问题.
[解] 令x-1=2cosθ,y+2=2sinθ,则有