224 平面与平面平行的性质Word下载.docx
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平面α∥平面β,A,C∈α,B,D∈β,点E,F分别在线段AB,CD上,且
.求证:
EF∥β.
3.如图所示,AB与CD是夹在两个平行平面α与β之间的线段,且直线AB与CD是异面直线,M与P分别为线段AB与CD的中点.求证:
直线MP∥平面β.
已知:
如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,点D,D1分别为AC,A1C1上的点.若平面BC1D∥平面AB1D1,求
的值.
A组训练
1.α,β是两个不重合的平面,a,b是两条不同直线,在下列条件下,可判定α∥β的是( )
A.α,β都平行于直线a,b
B.α内有三个不共线的点到β的距离相等
C.a,b是α内的两条直线,且α∥β,b∥β
D.a,b是两条异面直线且a∥α,b∥α,a∥β,b∥β
2.如果平面α∥平面β,夹在α和β间的两线段相等,那么这两条线段所在直线的位置关系是( )
A.平行B.相交
C.异面D.平行,相交或异面
3.四棱台ABCD-A1B1C1D1上底面两条对角线AC,BD与下底面的两条对角线A1C1,B1D1的位置关系是( )
A.AC∥A1C1,BD∥B1D1
B.AC∥B1D1,BD∥A1C1
C.AC⊥A1C1,BD⊥B1D1
D.AC⊥B1D1,BD⊥A1C1
4.如图所示,P是三角形ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,α分别交线段PA、PB、PC于A′、B′、C′,若PA′∶AA′=2∶3,则S△A′B′C′∶S△ABC等于( )
A.2∶25B.4∶25
C.2∶5D.4∶5
5.已知两条直线m、n,两个平面α、β,给出下面四个命题:
①α∩β=a,b⊂α⇒a∥b或a,b相交;
②α∥β,m⊂α,n⊂β⇒m∥n;
③m∥n,m∥α⇒n∥α;
④α∩β=a,a∥b⇒b∥β或b∥α.
其中正确命题的序号是( )
A.①③B.②④
C.①④D.②③
6.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,过B1B的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于M,交BC于N,则MN=________AC.
7.设平面α∥平面β,A∈α,B∈β,C是AB的中点,当A,B分别在α,β内运动时,那么所有的动点C,
(1)不共面;
(2)当且仅当A,B在两条相交直线上移动时才共面;
(3)当且仅当A,B在两条给定的平行直线上移动时才共面;
(4)不论A,B如何移动都共面.
其中正确的结论为________(只填序号).
8.夹在两平行平面间的两条线段AB、CD相交于O(如图所示),已知AO=4,BO=2,CD=9,则线段CO,DO的长分别为________.
9.如图所示,平面α∥平面β,△ABC、△A′B′C′分别在α、β内,线段AA′、BB′、CC′共点于O,O在α、β之间,若AB=2,AC=1,∠BAC=90°
,OA∶OA′=3∶2.
求△A′B′C′的面积.
10.如图,设P为长方形ABCD所在平面外一点,M,N分别为AB,PD上的点,且
,求证:
直线MN∥平面PBC.
B组训练
1.已知l是过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点的平面AB1D1与下底面ABCD所在平面的交线,下列结论错误的是( )
A.D1B1∥平面ABCDB.BD∥平面AD1B1
C.l∥平面A1C1D.l⊥B1C1
2.如图,透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水(如图①),固定容器底面一边BC于地面上,再将容器倾斜(如图②),随着倾斜度的不同,有下面五个命题:
(1)有水的部分始终呈棱柱形;
(2)没有水的部分始终呈棱柱形;
(3)水面EFGH所在四边形的面积为定值;
(4)棱A1D1始终与水面所在平面平行;
(5)当容器倾斜如图③所示时,BE·
BF是定值.
其中所有正确命题的序号是________.
3.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是边长为2的正三角形,侧棱A1A⊥底面ABC,点E,F分别是棱CC1,BB1上的点,连接AE,AF,EF,点M是线段AC上的动点,连接BM,EC=2FB=2.当点M在何位置时,BM∥平面AEF?
4.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,M,N,G,H分别是AA1,CD,CB,CC1,BB1的中点,求证:
(1)MN∥B1D1;
(2)AC1∥平面EB1D1;
(3)平面EB1D1∥平面BDG.
2.2.4平面与平面平行的性质参考答案
[证明] 因为α∩γ=a,β∩γ=b,所以a⊂α,b⊂β,
又因为α∥β,所以a,b没有公共点.
又因为a,b同在平面γ内,
所以a∥B.
解析:
(1)正确.证明如下:
如图,
在平面α内取两条相交直线a,b,分别过a,b作平面δ,φ,使它们分别与平面β交于两相交直线a′,b′.
因为α∥β,所以a∥a′,b∥b′.
又因为β∥γ,同理在平面γ内存在两相交直线a″,b″,使得a′∥a″,b′∥b″,所以a∥a″,b∥b″,所以α∥γ.
(2)正确.若直线a与平面β平行或直线a⊂β,则由平面α∥平面β知a与α无公共点或a⊂α,这与直线a与α相交矛盾,所以a与β相交.
(3)正确.如图,过直线PQ作平面γ,γ∩α=a,γ∩β=b,由α∥β得a∥B.
因为PQ∥β,PQ⊂γ,所以PQ∥B.
因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,所以直线a与直线PQ重合.
因为a⊂α,所以PQ⊂α.
(4)错误.若直线a∥平面β,直线b∥平面α,且α∥β,则a与b平行、相交和异面都有可能.
答案:
(1)
(2)(3)
[证明]
因为AB∥CD,所以过AB、CD可作平面γ,
且平面γ与平面α和β分别相交于AC和BD.
因为α∥β,所以BD∥AC.
因此,四边形ABDC是平行四边形.
所以AB=CD.
证明:
连接AF,交β与G,
连接BG,EG,则β∥γ,
得
由α∥β,得
,
所以
(1)当AB,CD共面时,
∵α∥β,且平面ABDC∩α=AC,平面ABDC∩β=BD,∴AC∥BD,
∴ABDC是梯形或平行四边形.
由
,得EF∥BD.
又BD⊂β,EF⊄β,∴EF∥β.
(2)当AB,CD异面时,
作AH∥CD交β于点H,连接BH,DH,则四边形AHDC是平行四边形,作FG∥DH交AH于点G,连接EG,于是
∵
,∴
于是EG∥BH.
又BH⊂β,EG⊄β,∴EG∥β.
又FG∥DH,DH⊂β,而FG⊄β,
∴FG∥β.又EG∩FG=G,
∴平面EFG∥β,而EF⊂平面EFG,
∴EF∥β.
如图所示,过点A作AE∥CD,且AE交平面β于E,连接DE与BE.
∵AE∥CD,∴由AE与CD可以确定一个平面γ,
则α∩γ=AC,β∩γ=DE.
∵α∥β,∴AC∥DE.
取AE的中点N,连接NP与MN,如图所示.
∵M与P分别为线段AB与CD的中点,
∴NP∥DE,MN∥BE.
又∵NP⊄平面β,DE⊂平面β,MN⊄平面β,BE⊂平面β,∴NP∥平面β,MN∥平面β.
∵NP∩MN=N,∴平面MNP∥平面β.
∵MP⊂平面MNP,∴MP∥平面β.
[解] 如图,连接A1B交AB1于点O,连接OD1.①2分
由棱柱的性质,知四边形A1ABB1为平行四边形,所以点O为A1B的中点.3分
因为平面BC1D∥平面AB1D1,
且平面A1BC1∩平面BDC1=BC1,
平面A1BC1∩平面AB1D1=D1O,
所以BC1∥D1O,所以D1为线段A1C1的中点.7分
所以D1C1=
A1C1.
且平面AA1C1C∩平面BDC1=DC1,
平面AA1C1C∩平面AB1D1=AD1,
所以AD1∥DC1.10分
又因为AD∥D1C1,
所以ADC1D1是平行四边形,②
所以AD=C1D1=
A1C1=
AC,
=1.12分
选D.A中α,β有可能相交;
B中α内有三个不共线的点到β的距离相等,则α与β有可能相交;
C中因为a和b不一定相交,则α与β就不一定平行;
D中因为a和b是异面直线,可以在α内作a和b的平行线a′和b′,则a′和b′相交,在β内作a和b的平行线c和d,则c和d相交,再利用面面平行可以得α∥β.
选D.
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,AA1∥BB1,A1D∩A1B=A1,AD1与A1B是异面直线.故选D.
选A.对角面AA1C1C和BB1D1D分别交上下两个平行的底面为对角线,于是AC∥A1C1,BD∥B1D1.
选B.平面α∥平面ABC,平面PAB与它们的交线分别为A′B′,AB,∴AB∥A′B′,同理B′C′∥BC,易得△ABC∽△A′B′C′,
S△A′B′C′∶S△ABC=
5.(2014·
六安高一评估检测)已知两条直线m、n,两个平面α、β,给出下面四个命题:
选C.对于②,α∥β,m⊂α,n⊂β可能得到m∥n,还有可能是直线m,n异面;
对于③,m∥n,m∥α,当直线n不在平面α内时,可以得到n∥α,但是当直线n在平面α内时,n不平行于平面α.故选C.
由面面平行的性质定理可得,
AB1∥ME,B1C∥EN.
又因为E为BB1的中点,
所以M为AB的中点,
N为BC的中点,
所以MN綊
AC.
根据平面平行的性质,不论A,B如何运动,动点C均在过C且与α,β都平行的平面上.
(4)
∵AC∥BD,∴
则
,∴CO=6,OD=3.
6,3
解:
相交直线AA′,BB′所在平面和两平行平面α、β分别相交于AB、A′B′,由面面平行的性质定理可得AB∥A′B′.
同理相交直线BB′、CC′确定的平面和平行平面α、β分别相交于BC、B′C′,从而BC∥B′C′.同理易证AC∥A′C′.
∴∠BAC与∠B′A′C′的两边对应平行且方向相反.
∴∠BAC=∠B′A′C′.
同理∠ABC=∠A′B′C′,∠BCA=∠B′C′A′.
∴△ABC与△A′B′C′的三内角分别相等,
∴△ABC∽△A′B′C′.∵AB∥A′B′,AA′∩BB′=O,
∴在平面ABA′B′中,△AOB∽△A′OB′.
∴
而S△ABC=
AB·
AC=
×
2×
1=1,
∴S△A′B′C′=
S△ABC=
1=
过N作NR∥DC交PC于点R,连接RB.
依题意得,
⇒NR=MB.
因为NR∥DC∥AB,
所以四边形MNRB是平行四边形,
所以MN∥RB.
又因为RB⊂平面PBC,
所以直线MN∥平面PBC.
选D.A可由上底面与下底面平行的性质定理判定正确,B,C可由线面平行的判定定理判定正确.D错在D1B1∥l,l与B1C1所成角是45°
(1)∵AD∥BC,BC固定于地面上,
∴AD与地面平行,从而AD与水平面平行.
AD∥FG∥EH.
又∵AA1∥BB1∥CC1∥DD1,
∴四边形BCGF,FGHE,HEAD和ABCD均为平行四边形.
∵平面ABFE∥平面DCGH,
∴有水的部分始终成棱柱形(四棱柱或三棱柱).
(2)同理可证没有水的部分始终呈棱柱形.
(3)当底面ABCD放置在地面上时,水面面积与上、下底面面积相等,在倾斜过程中,水面的面积可能变大,也可能变小,因此命题(3)不正确.
(4)∵棱A1D1∥AD,AD平行于水面,
∴棱A1D1始终与水面所在平面平行.
(5)∵水的体积不变,而棱柱BEF-CHG的高不变,
∴柱的底面积不变,从而BE·
EF为定值.
(1)
(2)(4)(5)
如图,取EC的中点P,AC的中点Q,连接PQ,PB,BQ,则PQ∥AE.
∵EC=2FB=2,∴PE綊BF,
∴四边形BPEF为平行四边形,
∴PB∥EF.
又AE⊂平面AEF,EF⊂平面AEF,
PQ⊄平面AEF,PB⊄平面AEF,
∴PQ∥平面AEF,PB∥平面AEF.
又PQ∩PB=P,
∴平面PBQ∥平面AEF.
又BQ⊂平面PBQ,
∴BQ∥平面AEF.
故点Q即为所求的点M,
即点M为AC的中点时,BM∥平面AEF.
(1)因为M,N分别是CD,CB的中点,
所以MN∥BD.又因为BB1綊DD1,所以四边形BB1D1D是平行四边形,所以BD∥B1D1,
从而MN∥B1D1.
(2)连接A1C1,交B1D1于点O,连接OE.
因为四边形A1B1C1D1为平行四边形,则O点是A1C1的中点.因为E是AA1的中点,所以EO是△AA1C1的中位线,所以EO∥AC1.
又AC1⊄平面EB1D1,EO⊂平面EB1D1,
所以AC1∥平面EB1D1.
(3)连接GH,因为EA綊B1H,则四边形EAHB1是平行四边形,所以EB1∥AH.因为AD綊HG,则四边形ADGH是平行四边形,所以DG∥AH,所以EB1∥DG.
又因为BB1綊DD1,所以四边形BB1D1D是平行四边形,
所以BD∥B1D1.
因为BD∩DG=D,
所以平面EB1D1∥平面BDG.