高考理科全国1卷数学.docx
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高考理科全国1卷数学
2019年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷共4页，23小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡的相应位置上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的
答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
答案不能答
在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目
指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；
不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：
本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合
2
Mxx，Nxxx，则MN=
42{60
A.{x4x3B.{x4x2C.{x2x2D.
{x2x3
【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数
形结合的思想解题．
【详解】由题意得，Mx4x2,Nx2x3，则
MNx2x2．故选C．
【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括
二者部分．
2.设复数z满足zi=1，z在复平面内对应的点为（x，y），则
A.
22
（x+1）y1B.
22
（x1）y1C.
2
（1）21
xyD.
2（y+1）21
x
【答案】C
【解析】
【分析】
本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点
（0，1）之间的距离为1，可选正确答案C．
【详解】zxyi,zix（y1）i,zix2（y1）21,则
2
（1）21
xy．故选C．
【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式
法或几何法，利用方程思想解题．
3.已知
0.20.3
alog0.2,b2,c0.2，则
2
A.abcB.acbC.cabD.
bca
【答案】B
【解析】
【分析】
运用中间量0比较a,c，运用中间量1比较b,c
【详解】alog20.2log210,
b
0.20
221,
0.30
00.20.21,则
0c1,acb．故选B．
【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量
法，利用转化与化归思想解题．
4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是
51
2
（51
2
≈0.61，8称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体
的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是51
2
．若某人满足上述两个黄金分割
比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是
A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm
【答案】B
【解析】
【分析】
理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解．
【详解】设人体脖子下端至腿根的长为xcm，肚脐至腿根的长为ycm，则
2626x51
，得x42.07cm,y5.15cm．又其腿长为105cm，头顶至脖子下xy1052
端的长度为26cm，所以其身高约为42．07+5．15+105+26=178．22，接近175cm．故选B．
【点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取类比法，利
用转化思想解题．
sinxx
函数f（x）=2
cosxx
在[—π，π的]图像大致为
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先判断函数的奇偶性，得f（x）是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正
确答案．
sin（x）（x）sinxx
【详解】由22
f（x）f（x）
cos（x）（x）cosxx
，得f（x）是奇函数，其图象关
于原点对称．又
f
1242
（）1,
2
2（）
2
2
f（）0．故选D．
2
1
【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性
质法或赋值法，利用数形结合思想解题．
5.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻
组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重
卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是
A.
5
16
B.
11
32
C.
21
32
D.
11
16
【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算
等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳
爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．
【详解】由题知，每一爻有2中情况，一重卦的6爻有26情况，其中6爻中恰有3个阳爻
情况有
3
C，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为
6
3
6
C
6
2
=
5
16
，故选A．
【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排
列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，
满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．
6.已知非零向量a，b满足a=2b，且（a–b）b，则a与b的夹角为
A.
π
6
B.
π
3
C.
2π
3
D.
5π
6
【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查利用平面向量数量积数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化
归、数学计算等数学素养．先由（ab）b得出向量a,b的数量积与其模的关系，再利用向
量夹角公式即可计算出向量夹角．
【详解】因为（ab）b，所以（ab）babb2=0，所以
abb2，所以cos=
2
ab|b|1
2
ab2|b|2
，所以a与b的夹角为
，故选B．
3
【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式
求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]．
1
7.如图是求
2
2
1
1
2
的程序框图，图中空白框中应填入
A.A=
1
2A
B.A=
2
1
A
C.A=
1
12A
D.A=
1
1
2A
【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查算法中的程序框图，渗透阅读、分析与解决问题等素养，认真分析式子结构特
征与程序框图结构，即可找出作出选择．
1
A,k12是，因为第一次应该计算
2
2
1
1
2
=
1
2A
【详解】执行第1次，，kk1
1
=2，循环，执行第2次，k22，是，因为第二次应该计算
2
2
1
1
2
=
1
2A
，kk1
=3，循环，执行第3次，k22，否，输出，故循环体为
A
1
2A
，故选A．
1
A【点睛】秒杀速解认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为．
2A
8.记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S40，a55，则
A.an2n5B.an3n10C.
2
SnnD.
28
n
1
2
Sn2n
n
2
【答案】A
【解析】
【分析】
等差数列通项公式与前n项和公式．本题还可用排除，对B，a55，
4（72）
2
S100，排除B，对C，S40,a5S5S425850105，
4
2
排除C．对D，
15
2
S0,aSS52505，排除D，故选A．
4554
22
【详解】由题知，
d
S4a430
41
2
aa4d5
51
，解得
a
13
d2
，∴25
an，故选A．
n
【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素
养．利用等差数列通项公式与前n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，
在适当计算即可做了判断．
9.已知椭圆C的焦点为F1（1,0），F2（1,0），过F2的直线与C交于A，B两点.若
│AF│22│F2B│，│AB││BF│1，则C的方程为
A.
2
x
2
21
yB.
22
xy
32
1
C.
22
xy
43
1
D.
22
xy
54
1
【答案】B
【解析】
【分析】
可以运用下面方法求解：
如图，由已知可设F2Bn，则AF22n,BF1AB3n，
由椭圆的定义有2aBF1BF24n,AF12aAF22n．在
△AFF和△BF1F2中，
12
由余弦定理得
22
4n422n2cosAFF4n,
21
22
n42n2cosBFF9n
21
，又AF2F1,BF2F1互补，
cosAFFcosBFF0，两式消去cosAF2F1,cosBF2F1，得3n2611n2，
2121
解得
3
n．
2
222
2a4n23,a3,bac312,所求椭圆方程为
22
xy
32
1，故选B．
【详解】如图，由已知可设F2Bn，则AF22n,BF1AB3n，由椭圆的定义有
2aBFBF4n,AF2aAF2n．在△AF1B中，由余弦定理推论得
1212
cos
FAB
1
222
4n9n9n1
22n3n3
．在△AF1F2中，由余弦定理得
221
4n4n22n2n4，
3
解得3
n．
2
222
2a4n23,a3,bac312,所求椭圆方程为
22
xy
32
1
，
故选B．
【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，
很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．
10.关于函数f（x）sin|x||sinx|有下述四个结论：
①f（x）是偶函数②f（x）在区间（
）单调递增
2
③f（x）在[,]有4个零点④f（x）的最大值为2
其中所有正确结论的编号是
A.①②④B.②④C.①④D.①③
【答案】C
【解析】
【分析】
化简函数fxsinxsinx，研究它的性质从而得出正确答案．
【详解】fxsinxsinxsinxsinxfx,fx为偶函数，故①
正确．当
2
x时，fx2sinx，它在区间,
2
单调递减，故②错误．当0x
时，fx2sinx，它有两个零点：
0；当x0时，
fxsinxsixn，它2有x一s个i零n点：
，故fx在,有3个零点：
0，故③错误．当x2k,2kkN时，fx2sinx；当
xkkkN时，fxsinxsinx，0又fx为偶函数，
2,22
fx的最大值为2，故④正确．综上所述，①④正确，故选C．
【点睛】画出函数fxsinxsinx的图象，由图象可得①④正确，故选C．
11.已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三
角形，E，F分别是PA，PB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为
A.86B.46C.26D.6
【答案】D
【解析】
【分析】
先证得PB平面PAC，再求得PAPBPC2，从而得PABC为正方体一部分，
进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解.
【详解】解法一:
PAPBPC,ABC为边长为2的等边三角形，PABC为正三
棱锥，
PBAC，又E，F分别为PA、AB中点，
EF//PB，EFAC，又EFCE，CEACC,EF平面PAC，PB
平面PAC，PABPAPBPC2，PABC为正方体一部分，
2R2226，即
64466
3
R,VR6，故选D．
2338
解法二:
设PAPBPC2x，E,F分别为PA,AB中点，
EF//PB，且
1
EFPBx，ABC为边长为2的等边三角形，
2
CF又CEF90
3
21
CE3x,AEPAx
2
AEC中余弦定理
cosEAC
2432
xx
22x
，作PDAC于D，PAPC，
QD为AC中点，cos
EAC
AD1
PA2x
，
24321
xx
4x2x
，
2212
212
xxx，PAPBPC2，又AB=BC=AC=2，
22
PAPBPC两两垂直，2R2226，
,
6
R，
2
4466
3
VR6，故选D.
338
【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到
三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．
二、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分。
12.曲线
2x
yxx在点（0,0）处的切线方程为__________．_
3（）e
【答案】3xy0.
【解析】
【分析】
本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得
切线方程
【详解】详解：
/3（21）3
（2）3（231）,
xxx
yxexxexxe
所以，
/
ky
|x3
0
所以，曲线
2x
yxx在点（0,0）处的切线方程为y3x，即3xy0．
3（）e
【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计
算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．
13.记Sn为等比数列{an}的前n项和．若
1
2
a，aa，则S5=___________．_
146
3
【答案】
121
3
.
【解析】
【分析】
本题根据已知条件，列出关于等比数列公比q的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到
S．题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
5
1
【详解】设等比数列的公比为q，由已知2
a,aa，所以
146
3
11
325
（）,
33
qq又q0，
所以q3,所以
S
5
1
5
5
（13）
a（1q）3121
1
1q133
．
【点睛】准确计算，是解答此类问题基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式
分式计算，部分考生易出现运算错误．
14.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛
的结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜
的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概
率是___________．_
【答案】0.216.
【解析】
【分析】
本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求
解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查．
【详解】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4:
1获胜的概率是
3
0.30.50.520.108,
22
前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以4:
1获胜的概率是0.40.60.520.072,
综上所述，甲队以4:
1获胜的概率是q0.1080.0720.18.
【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点
之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以4:
1获胜的两种情况；易错点之三是是否能够
准确计算．
15.已知双曲线C：
22
xy
221（0,0）
ab
ab
的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的
两条渐近线分别交于A，B两点．若
FAAB，F1BF2B0，则C的离心率为____________．
1
【答案】2.
【解析】
【分析】
通过向量关系得到F1AAB和OAF1A，得到AOBAOF1，结合双曲线的渐近线
可得BOF2AOF1,
0
BOF2AOF1BOA60,从而由
b
a
0
tan603
可求
离心率.
【详解】如图，
由
FAAB得F1AAB.又OF1OF2,得OA是三角形F1F2B的中位线，即
1,
BF2//OA,BF22OA.由
F1BF2B0，得F1BF2B,OAF1A,则OBOF1有
AOBAOF，
1
又OA与OB都是渐近线，得BOF2AOF1,又BOF2AOBAOF1，得
0
BOF2AOF1BOA60,．又渐近线OB的斜率为
b
a
0
tan603
，所以该双曲
线的离心率为
e
cb
22
1（）1（3）2
aa
．
【点睛】本题考查平面向量结合双曲线的渐进线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数
学运算素养．采取几何法，利用数形结合思想解题．
三、解答题：
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21
题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求
作答。
（一）必考题：
共60分。
16.VABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设
22
（sinBsinC）sinAsinBsinC．
（1）求A；
（2）若2ab2c，求sinC．
【答案】
（1）
A；
（2）
3
sin
62
C.
4
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理化简已知边
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