函数的单调性教学设计Word下载.docx
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三、教学建议分析
研究著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”问题,充分调动学生积极性,营造亲切活跃的课堂氛围;
渗透建模思想,培养学生应用数学的意识,通过实例使学生感受单调性的内涵,缩短心理距离,降低理解难度。
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四、教学目标
(1)知识目标:
使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念,初
步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方
法(
(2)能力目标:
通过对函数单调性定义的探究,渗透数形结合的数
学思想和方法,培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达
能力;
通过对函数单调性的证明,提高学生的推理论证能力((3)情感目标:
通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、
严谨论证的良好思维习惯;
让学生经历从具体到抽象,从特殊
到一般,从感性到理性的认知过程(
五、教学重点、难点
重点:
函数单调性的定义;
判断、证明函数的单调性.难点:
归纳并抽象函数单调性的定义.
六、学法、教法分析
对学生来说,函数的单调性早已有所了解,然而没有给出过定义,只是从直观上接触过这一性质。
学生对此有一定的感性认识,对概念的理解有一定好处,但另一方面学生也会觉得是已经学过的知识,常感到乏味。
因此,在设计教案时,引导学生经历直观感知、观察发现、归纳类比的思维过程,发展数学思维能力。
探究时先以基本初等函数
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22y,xy,xy,x,2y,,x,2x,0为载体,针对、,()、、
x,0()的图象,依据循序渐进原则,设计几个问题,学生直接回答的同时教师利用多媒体的优势,展示图象及动画,使学生理解增减函数定义。
加强了对概念的分析,希望能够使学生认识到看似简单的定义中有不少值得去推敲、去琢磨的东西,其中甚至包含着辩证法的原理。
七、教学过程
(一)课前探究
德国有一名著名的心理学家艾宾浩斯,对人类的记忆牢固程度进行了有关研究,他经过测试,得到了以下数据:
时间刚记忆20分60分8—9小1天2天6天一个
t完毕钟后钟后时后后后后月后间隔
记忆量
10058.244.235.833.727.825.421.1(百分比)y
y以上数据表明,记忆量是时间
t间隔的函数,艾宾浩斯根据这
些数据描绘出了著名的“艾宾浩
斯遗忘曲线”,如图:
t问题1:
当时间间隔逐渐增大,
y你能看出对应的函数值有什么
变化趋势,通过这个试验,你打
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算如果对待刚学过的知识,
问题2:
“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的,对此,我们如何用数学观点进行解释,
(二)新课导入
知识探究一:
2y,xy,x,2x,0问题1:
分别作出函数,,(),的图像,这两个函数图像分别是什么,二者有何共同特征,
x问题2:
如果一个函数图象,从左自右逐渐上升,那么当自变量从
y小到大依次取值时,函数值的变化情况如何,
问题3:
如图,函数在定义域I内某个区间D上的图像,对于该f(x)
区间上任意两个自变量和,当<
时,与的大小关系xxxxf(x)f(x)111222
如何,
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(三)教学过程
问题4:
我们把具有上述特点的函数称为增函数,那么怎样定义“函数在区间上是增函数”?
Df(x)
定义:
一般的,设函数的定义域为,If(x)
如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,,当IDxx12<
时,都有<
那么就说函数在区间上是增函数;
Df(x)xxf(x)f(x)1122
(3)知识探究二:
2y,xy,,x,2x,0问题1:
考察下列两个函数,,(),这两个函数图像分别是什么,二者有何共同特征,
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我们把具有上述特点的函数定义为减函数,那么怎样定义“函数在区间上是减函数”Df(x)
如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,IDx1,当<
时,都有>
那么就说函数在区间上是减函Df(x)xxxf(x)f(x)11222
数.
y,f(x)定义:
如果函数在区间上是增函数或减函数,则称函数Df(x)在这区间具有(严格的)单调性,区间叫做的单调区间Df(x)
2y,x思考:
如图,是函数的图像,我们
能说该函数在R上的单调的吗,为什么,
从中你又悟出了什么,(单调性是曲线的
局部性质)
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y,f(x)(4)例题讲解例1:
如图是定义在闭区间[—5,5]上的函数的
y,f(x)单调区间,以及在每一区间上,函数是增函数还是减函数,(根据图像说明一个函数的单调区间,单调区间的写法)
2y,x例2:
如何从解析说明式的角度说明函数在[0,,,)上是增函数,(利用定义确定或证明函数的单调性)
0,x,x解:
任意取,12
22x,x,(x,x)(x,x),0有,121212
22x,x即,12
2f(x),x[0,,,)所以在为增函数
思考:
1
y,画出反比例函数的图像.这个函数x
II的定义域是什么,它在定义域上的单
调性是怎样的,证明你的结论。
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能否将证明过程归结成几个步骤,
(指导学生学会归纳总结,形成一种技能)
f(x)利用定义确定或证明函数在给定的区间上的单调性的一般步D
骤:
分析:
实质就是比较大小
证明步骤:
xxxx1.取值:
任取,,且<
;
D1122
f(x)f(x)2.作差:
>
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3.变形:
通常是因式分解和配方;
f(x)f(x)4.定号:
判断差—的正负;
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f(x)5.结论:
指出函数在给定的区间上的单调性.D
(四)小结:
这节课我们学习了函数单调性的定义,要特别注意定义中“给定区间”、“属于”、“任意”、“都有”这几个关键词语;
在写单调区间时不经轻易用并集的符号连结;
最后在用定义证明函数的单调性时,应该注意证明的四个步骤。
(五)作业
1.课本P60页练习第1,2,3,4题。
2y,x[,,,0)2.证明函数在上是减函数。
八、教学后论
总的来说,本堂课是以学生为主体的。
给学生以较多的活动机会,可总结为四给:
(一)给学生以看的机会;
(二)给学生以想的机会;
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(三)给学生以说的机会;
(四)给学生以练的机会。
这样,既调动了学生的积极性,又培养学生的观察,归纳,抽象的能力,同时渗透数形结合,从特殊到一般的数学思想。
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