线面面面平行的判定与性质随堂练习含答案.docx
《线面面面平行的判定与性质随堂练习含答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线面面面平行的判定与性质随堂练习含答案.docx（24页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
线面面面平行的判定与性质随堂练习含答案
线面、面面平行的判定与性质
基础巩固强化
1.（文）（2011北·京海淀期中）已知平面α∩β＝l，m是α内不同于l
的直线，那么下列命题中错误的是
．．（
）
A．若
C．若
m∥β，则m⊥β，则
m∥l
m⊥l
B．若
D．若
m∥l，则m⊥l，则
m∥β
m⊥β
[答案]
D
[解析]A符合直线与平面平行的性质定理；B符合直线与平面
平行的判定定理；C符合直线与平面垂直的性质；对于D，只有α⊥β
时，才能成立．
（理）（2011泰·安模拟）设m、n表示不同直线，α、β表示不同平面，
则下列命题中正确的是（）
A．若m∥α，m∥n，则n∥α
B．若m?
α，n?
β，m∥β，n∥α，则α∥β
C．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥β
D．若α∥β，m∥α，n∥m，n?
β，则n∥β
[答案]D
[解析]A选项不正确，n还有可能在平面α内，B选项不正确，平面α还有可能与平面β相交，C选项不正确，n也有可能在平面β内，选项D正确．
2．（文）（2011邯·郸期末）设m，n为两条直线，α，β为两个平面，
则下列四个命题中，正确的命题是（）
A．若m?
α，n?
α，且m∥β，n∥β，则α∥β
B．若m∥α，m∥n，则n∥α
C．若m∥α，n∥α，则m∥n
D．若m，n为两条异面直线，且
∥
∥
∥
∥
β，
m
α，n
α，m
β，n
则α∥β
[答案]
D
[解析]
选项A中的直线m，n可能不相交；选项B中直线n可
能在平面α内；选项C中直线m，n的位置可能是平行、相交或异面．
（理）（2011浙·江省温州市测试）已知m，n，l为三条不同的直线，α，
β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）
A．α∥β，m?
α，n?
β?
m∥n
B．l⊥β，α⊥β?
l∥α
C．m⊥α，m⊥n?
n∥α
D．α∥β，l⊥α?
l⊥β
[答案]D
[解析]对于选项A，m，n平行或异面；对于选项B，可能出现l?
α这种情形；对于选项C，可能出现n?
α这种情形．故选D.
3．（2011宁·波模拟）已知直线l、m，平面α、β，则下列命题中的
假命题是（）
A．若α∥β，l?
α，则l∥β
B．若α∥β，l⊥α，则l⊥β
C．若l∥α，m?
α，则l∥m
D．若α⊥β，α∩β＝l，m?
α，m⊥l，则m⊥β
[答案]
C
[解析]对于选项C，直线
l与m可能构成异面直线，故选C.
4．（2011广·东揭阳模拟）若a不平行于平面α，且a?
α，则下列结
论成立的是（）
A．α内的所有直线与a异面
B．α内与a平行的直线不存在
C．α内存在唯一的直线与a平行
D．α内的直线与a都相交
[答案]
B
[解析]
由条件知
a与α相交，故在平面α内的直线与
a相交或
异面，不存在与a平行的直线．
5．（2012·石家庄二模）三棱锥的三组相对的棱
（相对的棱是指三棱
锥中成异面直线的一组棱
）分别相等，且长分别为
2、m、n，其中
m2＋n2＝6，则该三棱锥体积的最大值为（
）
1
8
3
A.
2
B.27
3
2
C.
3
D.3
[答案]
D
[
解析
]
令＝，由
2＋n2＝6得m＝n＝
3，取AB的中点E，
m
n
m
2
10
10
则BE＝2
，PB＝
3，∴PE＝2，CE＝
2，∴EF＝2，
∴V－
ABC
＝1△
·＝1×（1×2×2）×2＝2，∵21，∴2
3，
P
3S
PECAB
32
33>23>
3
2
8
3
3>
27，故选D.
6．（2011苏·州模拟）下列命题中，是假命题的是（）
A．三角形的两条边平行于一个平面，则第三边也平行于这个平
面
B．平面α∥平面β，a?
α，过β内的一点B有唯一的一条直线b，
使b∥a
C．α∥β，γ∥δ，α、β与γ、δ的交线分别为a、b和c、d，则a
∥b∥c∥d
D．一条直线与两个平面成等角是这两个平面平行的充要条件
[答案]D
[解析]三角形的任意两边必相交，故三角形所在的平面与这个
平面平行，从而第三边也与这个平面平行，∴A真；假设在β内经过
B点有两条直线b、c都与a平行，则b∥c，与b、c都过B点矛盾，
故B真；∵γ∥δ，α∩γ＝a，α∩δ＝b，∴a∥b，同理c∥d；又α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝c，∴a∥c，∴a∥b∥c∥d，故C真；正方体ABCD
－A1B1C1D1中，AC与平面AA1D1D和平面CC1D1D所成角相等，但平面AA1D1D∩平面CC1D1D＝DD1，故D假．
7．（2012北·京东城区综合练习）在空间中，有如下命题：
①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行
的两条直线；
②若平面α∥平面β，则平面α内任意一条直线m∥平面β；③若平面α与平面β的交线为m，平面α内的直线n⊥直线m，
则直线n⊥平面β；
④若平面α内的三点A、B、C到平面β的距离相等，则α∥β.其中正确命题的序号为________．
[答案]②
[解析]①中，互相平行的两条直线的射影可能重合，①错误；②正确；③中，平面α与平面β不一定垂直，所以直线n就不一定垂直于平面β，③错误；④中，若平面α内的三点A、B、C在一条直线上，则平面α与平面β可以相交，④错误．
8．（2011福·建文，15）如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．
[答案]2
[解析]∵EF∥平面AB1C，
平面ABCD经过直线EF与平面AB1C相交于AC，
∴EF∥AC，
∵E为AD的中点，∴F为CD的中点，
11
∴EF＝2AC＝2×22＝2.
9．（2011郑·州一检）已知两条不重合的直线m、n，两个不重合的
平面α、β，有下列命题：
①若m∥n，n?
α，则m∥α；
②若n⊥α，m⊥β，且n∥m，则α∥β；③若m?
α，n?
α，m∥β，n∥β，则α∥β；④若α⊥β，α∩β＝m，n?
β，n⊥m，则n⊥α.其中正确命题的序号是________．
[答案]
②④
[解析]
对于①，直线
m可能位于平面α内，此时不能得出
m∥
α，因此①不正确；对于②，由n⊥α，m∥n，得m⊥α，又m⊥β，所
以α∥β，因此②正确；对于③，直线m，n可能是两条平行直线，此时不一定能得出α∥β，因此③不正确；对于④，由“如果两个平面相互垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面”可知，④正确．综上所述，其中正确命题的序号是②④.
10．（文）（2012辽·宁文，18）如图，直三棱柱ABC－A′B′C′，
∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA′＝1，点M、N分别为A′B和B′C′
的中点．
（1）证明：
MN∥平面A′ACC′；
1
（2）求三棱锥A′－MNC的体积（锥体体积公式V＝3Sh，其中S为底面面积，h为高）．
[分析]
（1）欲证MN∥平面A′ACC′，须在平面A′ACC′内找到一条直线与MN平行，由于M、N分别为A′B，B′C′的中点，B′C′与平面A′ACC′相交，又M为直三棱柱侧面ABB′A′的对角线A′B的中点，从而M为AB′的中点，故MN为△AB′C′的
中位线，得证．
（2）欲求三棱锥A′－MNC的体积，注意到直三棱柱的特殊性和点M、N为中点，可考虑哪一个面作为底面有利于问题的
11
解决，视A′MC为底面，则S△A′MC＝2S△A′BC，∴VA′－MNC＝2VN－A′BC，
又VN－A′BC＝VA′－NBC，易知A′N为三棱锥A′－NBC的高，于是易得待求体积．
[解析]
（1）连结AB′，AC′，由已知∠BAC＝90°，AB＝AC，三棱柱ABC－A′B′C′为直三棱柱，
所以M为AB′中点．
又因为N为B′C′的中点，
所以MN∥AC′.
又MN?
平面A′ACC′，
AC′?
平面A′ACC′，
因此MN∥平面A′ACC′.
（2）连结BN，由题意A′N⊥B′C′，平面A′B′C′∩平面
B′BCC′＝B′C′，所以A′N⊥平面NBC.
1
又A′N＝2B′C′＝1，
11
故VA′－MNC＝VN－A′MC＝2VN－A′BC＝2VA′－
1
NBC＝6.
[点评]本题考查了线面平行的证明，锥体的体积两方面的问
题，对于
（1）还可以利用面面平行（平面MPN∥平面A′ACC′，其中
P为A′B′的中点）来证明；
（2）还可利用割补法求解．
（理）（2012浙·江文，20）如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD－
A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝2，AD＝2，BC＝4，AA1＝2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点．
（1）证明：
①EF∥A1D1；
②BA1⊥平面B1C1EF；
（2）求BC1与平面B1C1EF所成角的正弦值．
[分析]
（1）①欲证EF∥A1D1，∵B1C1∥A1D1，∴只需证EF∥
B1C1，故由线面平行的性质定理“线面平行?
线线平行”可推证．
②要证BA1⊥平面B1C1EF，需证BA1⊥B1C1，BA1⊥B1F，要证
1
⊥B11，只需证B11⊥平面AA11，要证
1⊥B1，通过在侧
BA
C
C
BB
BAF
面正方形AA1B1B中计算证明即可．
（2）
设
BA
1与B1
F
交于点
H
，连结
1，则∠
1就是所求的角．
CH
BCH
[解析]
（1）①∵C1B1∥A1D1，C1B1?
平面ADD1A1，
∴C1B1∥平面A1D1DA.
又∵平面B1C1EF∩平面A1D1DA＝EF，
∴C1B1∥EF，∴A1D1∥EF.
②∵BB1⊥平面A1B1C1D1，∴BB1⊥B1C1，
又∵B1C1⊥B1A1，∴B1C1⊥平面ABB1A1.∴B1C1⊥BA1.
在矩形ABB1A1中，F是AA1的中点，
2
tan∠A1B1F＝tan∠AA1B＝2，即
∠A1B1F＝∠AA1B，
∴BA1⊥B1F.又∵BA1⊥B1C1，所以BA1⊥平面B1C1EF.
（2）设BA1与B1F交点为H，连结C1H.
由
（1）知BA1⊥平面B1C1EF，所以∠BC1H是BC1与平面B1C1EF
所成的角．
在矩形AA1B1B中，由AB＝2，AA1＝2，得BH＝4.6
4
在Rt△BHC1中，由BC1＝25，BH＝6得，
BH30
sin∠BC1H＝BC1＝15.
30
所以BC1与平面B1C1EF所成角的正弦值是15.
[点评]本题主要考查空间点、线、面的位置关系，线面角等基
础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力.
能力拓展提升
11.（文）（2011北·京模拟）给出下列关于互不相同的直线l、m、n和
平面α、β、γ的三个命题：
①若l与m为异面直线，l?
α，m?
β，则α∥β；
②若α∥β，l?
α，m?
β，则l∥m；
③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.
其中真命题的个数为（）
A．3
B．2
C．1
D．0
[答案]
C
[解析]
①设α∩β＝a，当
l，m都与
a相交且交点不重合时，满
足①的条件，故①假；②中分别在两个平行平面内的两条直线可能平
行，也可能异面，故②假；由三棱柱知③真；故选C.
（理）
如图，在三棱柱ABC－A′B′C′中，点E、F、H、K分别为
AC′、CB′、A′B、B′C′的中点，G为△ABC的重心．从K、H、
G、B′中取一点作为P，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，
则P为（
）
A．K
B．H
C．G
D．B′
[答案]
C
[解析]
假如平面
PEF
与侧棱
BB′平行则和三条侧棱都平行，
不满足题意，而FK∥BB′，排除A；假如P为B′点，则平面PEF即平面A′B′C，此平面只与一条侧棱AB平行，排除D.
若P为H点，则HF为△BA′C′的中位线，∴HF∥A′C′；
EF为△ABC′的中位线，∴EF∥AB，HE为△AB′C′的中位线，∴HE∥B′C′，显然不合题意，排除B.
[点评]此题中，∵EF是△ABC′的中位线，∴EF∥AB∥A′B′，故点P只要使得平面PEF与其他各棱均不平行即可，故选
G点．
12．（文）（2012江·西文，7）若一个几何体的三视图如图所示，则此
几何体的体积为（）
11
A.2
B．5
9
C.2
D．4
[答案]
D
1
[解析]由三视图知该几何体为直六棱柱．其底面积为S＝2×[2
×（1＋3）×1]＝4，高为1.所以体积V＝4.
（理）（2012四·川文，6）下列命题正确的是（）
A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个
平面平行
C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面
的交线平行
D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
[答案]C
[解析]本题考查了线面角，面面垂直，线面平行，面面平行等
位置关系的判定与性质，
对于A选项，两条直线也可相交，B选项若三点在同一条直线上，
平面可相交．D选项这两个平面可相交（可联系墙角），而C项可利用
线面平行的性质定理，再运用线面平行的判定与性质可得．
本题需要我们熟练掌握各种位置关系的判定与性质．
13．（2012南·昌二模）若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则下列命题中假命题的序号是________．
①过点P有且仅有一条直线与l，m都平行；②过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直；③过点P有且仅有一条直线与l，m都相交；④过点P有且仅有一条直线与l，m都异面．
[答案]①③④
[解析]①是假命题，因为过点P不存在一条直线与l，m都平行；②是真命题，因为过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直，这
条直线与两异面直线的公垂线平行或重合；③是假命题，因为过点P
也可能没有一条直线与l，m都相交；④是假命题，因为过点P可以作出无数条直线与l，m都异面，这无数条直线在过点P且与l，m都平行的平面上．
[点评]第③个命题易判断错误．当点P与l确定的平面α∥m时，或点P与m确定的平面β∥l时，过点P与l、m都相交的直线
不存在．
14．（2012佛·山一模）过两平行平面α、β外的一点P作两条直线，分别交α于A、C两点，交β于B、D两点，若PA＝6，AC＝9，PB
＝8，则BD＝________.
[答案]
12
[解析]
由面面平行的性质定理可知
AC∥BD，又由平行线分线
段成比例定理可得
PAAC69
PB＝BD，即8＝BD，得
BD＝12.
15．（文）如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AB⊥BB1，AC＝BC＝BB1＝2，D为AB的中点，且CD⊥DA1.
（1）求证：
BB1⊥平面ABC；
（2）求证：
BC1∥平面CA1D；
（3）求三棱锥B1－A1DC的体积．
[解析]
（1）∵AC＝BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB，又∵CD⊥DA1，∴CD⊥平面ABB1A1，∴CD⊥BB1，
又BB1⊥AB，AB∩CD＝D，∴BB1⊥平面ABC.
（2）连接BC1，连接AC1交CA1于E，连接DE，易知E是AC1的中点，又D是AB的中点，则DE∥BC1，又DE?
平面CA1D，BC1?
平面CA1D，
∴BC1∥平面CA1D.
（3）由
（1）知CD⊥平面AA1B1B，
故CD是三棱锥C－A1B1D的高，
在Rt△ACB中，AC＝BC＝2，∴AB＝22，CD＝2，
又BB＝2，∴VB1－A1DC＝C－A1B1D＝1△A1B1D·CD
1
V
3S
1
1
4
＝A1B1×B1B×CD＝×22×2×
2＝.
6
6
3
（理）如图，PO⊥平面ABCD，点O在AB上，EA∥PO，四边形
1
ABCD为直角梯形，BC⊥AB，BC＝CD＝BO＝PO，EA＝AO＝2CD.
（1）求证：
BC⊥平面ABPE；
（2）直线PE上是否存在点M，使DM∥平面PBC，若存在，求出点M；若不存在，说明理由．
[解析]
（1）∵PO⊥平面ABCD，
BC?
平面ABCD，∴BC⊥PO，
又BC⊥AB，AB∩PO＝O，AB?
平面ABP，PO?
平面ABP，∴
BC⊥平面ABP，
又EA∥PO，AO?
平面ABP，
∴EA?
平面ABP，∴BC⊥平面ABPE.
（2）点E即为所求的点，即点M与点E重合．
取PO的中点N，连结EN并延长交PB于F，
∵EA＝1，PO＝2，∴NO＝1，
又EA与PO都与平面ABCD垂直，∴EF∥AB，
1
∴F为PB的中点，∴NF＝2OB＝1，∴EF＝2，
又CD＝2，EF∥AB∥CD，
∴四边形DCFE为平行四边形，∴DE∥CF，
∵CF?
平面PBC，DE?
平面PBC，∴DE∥平面PBC.
∴当M与E重合时，DM∥平面PBC.
16.
（2012·京海淀区二模北）在正方体ABCD－A′B′C′D′中，棱
AB、BB′、B′C′、C′D′的中点分别为E、F、G、H，如图所示．
（1）求证：
AD′∥平面EFG；
（2）求证：
A′C⊥平面EFG；
（3）判断点A、D′、H、F是否共面，并说明理由．
[解析]
（1）证明：
连结BC′.
在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝C′D′，AB∥C′D′.
所以四边形ABC′D′是平行四边形．
所以AD′∥BC′.
因为F、G分别是BB′、B′C′的中点，
所以FG∥BC′，所以FG∥AD′.
因为EF、AD′是异面直线，所以AD′?
平面EFG.
因为FG?
平面EFG，所以AD′∥平面EFG.
（2）证明：
连结B′C.
在正方体ABCD－A′B′C′D′中，A′B′⊥平面BCC′B′，
BC′?
平面BCC′B′，
所以A′B′⊥BC′.
在正方体BCC′B′中，B′C⊥BC′，
因为A′B′?
平面A′B′C，
B′C′?
平面A′B′C，A′B′∩B′C′＝B′，
所以BC′⊥平面A′B′C.
因为A′C?
平面A′B′C，所以BC′⊥A′C.
因为FG∥BC′，所以A′C⊥FG.
同理可证：
A′C⊥EF.
因为EF?
平面EFG，FG?
平面EFG，EF∩FG＝F，
所以A′C⊥平面EFG.
（3）点A、D′、H、F不共面．理由如下：
假设A、D′、H、F共面．连结C′F、AF、HF.
由
（1）知，AD′∥BC′，
因为BC′?
平面BCC′B′，AD′?
平面BCC′B′.
所以AD′∥平面BCC′B′.
因为C′∈D′H，所以平面AD′HF∩平面BCC′B′＝C′F.
因为AD′?
平面AD′HF，所以AD′∥C′F.
所以C′F∥BC′，而C′F与BC′相交，矛盾．
所以A，D′、H、F点不共面．
1．设m、l是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确
的是（）
A．若l⊥m，m?
α，则l⊥α
B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，m?
α，则l∥m
D．若l∥α，m∥α，则l∥m
[答案]B
[解析]两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于
这个平面，故选B.
2.
如图，在底面是菱形的四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝60°，PA
＝AC＝a
升级会员 