学年人教版九年级上册数学把关提分类专练四223 实际问题与二次函数解答题专练.docx

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学年人教版九年级上册数学把关提分类专练四223实际问题与二次函数解答题专练

22.3实际问题与二次函数（解答题专练）（四）

1．有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m．

（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式；

（2）设正常水位时桥下的水深为2m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．

2．如图，在△ABC中，BC＝7cm，AC＝24cm，AB＝25cm，P点在BC上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为2cm/s；Q点在AC上从C点运动到A点（不包括A点），速度为5cm/s．若点P、Q分别从B、C同时运动，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程：

（1）经过多少时间后，P、Q两点的距离为5

cm2？

（2）经过多少时间后，S△PCQ的面积为15cm2？

（3）请用配方法说明，何时△PCQ的面积最大，最大面积是多少？

3．商场销售一批衬衫，每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，减少库存，决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果一件衬衫每降价1元，每天可多售出2件．

（1）若商场每天要盈利1200元，每件应降价多少元？

（2）设每件降价x元，每天盈利y元，则每件降价多少元时，商场每天的盈利达到最大？

盈利最大是多少元？

4．某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元．市场调查发现，在一段时间内，销售量w（千克）随销售单价x（元/千克）的变化而变化，具体关系式为：

w＝﹣2x+240，且物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y（元），解答下列问题：

（1）求y与x的关系式；

（2）当x取何值时，y的值最大？

（3）如果公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为多少元？

5．某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据试销得知：

这种服装每天的销售量t（件），与每件的销售价x（元/件）可看成是一次函数关系：

t＝﹣3x+204

（1）写出商场卖这种服装每天的销售利润y（元）与每件的销售价x（元）之间的函数关系式（每天的销售利润是指所卖出服装的销售价与购进价的差）；

（2）通过对所得函数关系式进行配方，指出：

商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适；最大销售利润为多少？

6．如图，矩形的长是4cm，宽是3cm，如果将长和宽都增加xcm，那么面积增加ycm2．

（1）求y与x的函数表达式；

（2）求当边长增加多少时，面积增加8cm2．

7．施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米，现在O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图所示）．

（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；

（2）求出这条抛物线的函数解析式；

（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A、D点在抛物线上，B、C点在地面OM上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少？

请你帮施工队计算一下．

8．2009年度东风公司神鹰汽车改装厂开发出A型农用车，其成本价为每辆2万元，出厂价为每辆2.4万元，年销售价为10000辆，2010年为了支援西部大开发的生态农业建设，该厂抓住机遇，发展企业，全面提高A型农用车的科技含量，每辆农用车的成本价增长率为x，出厂价增长率为0.75x，预测年销售增长率为0.6x．（年利润＝（出厂价﹣成本价）×年销售量）

（1）求2010年度该厂销售A型农用车的年利润y（万元）与x之间的函数关系．

（2）该厂要是2010年度销售A型农用车的年利润达到4028万元，该年度A型农用车的年销售量应该是多少辆？

9．3月国际风筝节在铜仁市万山区举办，王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：

蝙蝠型风筝进价每个为10元，当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，请回答以下问题：

（1）用表达式表示蝙蝠型风筝销售量y（个）与售价x（元）之间的函数关系（12≤x≤30）；

（2）王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？

（3）当售价定为多少时，王大伯获得利润最大，最大利润是多少？

10．凯里市某文具店某种型号的计算器每只进价12元，售价20元，多买优惠，优惠方法是：

凡是一次买10只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每只就降价0.1元，例如：

某人买18只计算器，于是每只降价0.1×（18﹣10）＝0.8（元），因此所买的18只计算器都按每只19.2元的价格购买，但是每只计算器的最低售价为16元．

（1）求一次至少购买多少只计算器，才能以最低价购买？

（2）求写出该文具店一次销售x（x＞10）只时，所获利润y（元）与x（只）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）一天，甲顾客购买了46只，乙顾客购买了50只，店主发现卖46只赚的钱反而比卖50只赚的钱多，请你说明发生这一现象的原因；当10＜x≤50时，为了获得最大利润，店家一次应卖多少只？

这时的售价是多少？

参考答案

1．解：

（1）设该抛物线的解析式是y＝ax2，

结合图象，把（10，﹣4）代入，得

100a＝﹣4，

a＝﹣

，

则该抛物线的解析式是y＝﹣

x2．

（2）当x＝9时，则有y＝﹣

×81＝﹣3.24，

4+2﹣3.24＝2.76（米）．

所以水深超过2.76米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．

2．解：

（1）设经过ts后，P、Q两点的距离为5

cm，

ts后，PC＝7﹣2tcm，CQ＝5tcm，

根据勾股定理可知PC2+CQ2＝PQ2，

代入数据

；

解得t＝1或t＝﹣

（不合题意舍去）；

（2）设经过ts后，S△PCQ的面积为15cm2

ts后，PC＝7﹣2tcm，CQ＝5tcm，

S△PCQ＝

＝

×（7﹣2t）×5t＝15

解得t1＝2，t2＝1.5，

经过2或1.5s后，S△PCQ的面积为15cm2

（3）设经过ts后，△PCQ的面积最大，

ts后，PC＝7﹣2tcm，CQ＝5tcm，

S△PCQ＝

×PC×CQ＝

×（7﹣2t）×5t＝

×（﹣2t2+7t）

当t＝﹣

时，即t＝

＝1.75s时，△PCQ的面积最大，

即S△PCQ＝

×PC×CQ＝

×（7﹣2×1.75）×5×1.752＝

当时间为1.75秒时，最大面积为

．

3．解：

（1）设每件降价x元，则销售了（20+2x）件，

（40﹣x）（20+2x）＝1200，

解得x1＝10，x2＝20，

因为要减少库存，x＝20．即降价20元；

（2）y＝（40﹣x）（20+2x）

＝﹣2x2+60x+800

当x＝15元时，有最大值y＝1250，

答：

降价20元时可降低库存，并使每天盈利1200元；每件降价15元时商场每天的盈利达到最大1250元．

4．解：

（1）y＝（x﹣50）•w＝（x﹣50）•（﹣2x+240）＝﹣2x2+340x﹣12000，

因此y与x的关系式为：

y＝﹣2x2+340x﹣12000．

（2）y＝﹣2x2+340x﹣12000＝﹣2（x﹣85）2+2450，

∴当x＝85时，在50＜x≤90内，y的值最大为2450．

（3）当y＝2250时，可得方程﹣2（x﹣85）2+2450＝2250，

解这个方程，得x1＝75，x2＝95；

根据题意，x2＝95不合题意应舍去．

答：

当销售单价为75元时，可获得销售利润2250元．

5．解：

（1）由题意，销售利润y（元）与每件的销售价x（元）之间的函数关系为

y＝（x﹣42）（﹣3x+204），

即y＝﹣3x2+330x﹣8568．

故商场卖这种服装每天的销售利润y（元）与每件的销售价x（元）之间的函数关系式为y＝﹣3x2+330x﹣8568；

（2）配方，得y＝﹣3（x﹣55）2+507．

故当每件的销售价为55元时，可取得最大利润，每天最大销售利润为507元．

6．解：

（1）由题意可得：

（4+x）（3+x）﹣3×4＝y，

化简得：

y＝x2+7x；

（2）把y＝8代入解析式y＝x2+7x中得：

x2+7x﹣8＝0，

解之得：

x1＝1，x2＝﹣8（舍去）．

∴当边长增加1cm时，面积增加8cm2

7．解：

（1）M（12，0），P（6，6）

（2）∵顶点坐标（6，6）

∴设y＝a（x﹣6）2+6（a≠0）

又∵图象经过（0，0）

∴0＝a（0﹣6）2+6

∴

∴这条抛物线的函数解析式为y＝﹣

（x﹣6）2+6，即y＝﹣

x2+2x；

（3）设A（x，y）

∴A（x，﹣

（x﹣6）2+6）

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB＝DC＝﹣

（x﹣6）2+6，

根据抛物线的轴对称性，可得：

OB＝CM＝x，

∴BC＝12﹣2x，即AD＝12﹣2x，

∴令L＝AB+AD+DC＝2[﹣

（x﹣6）2+6]+12﹣2x＝﹣

x2+2x+12＝﹣

（x﹣3）2+15．

∴当x＝3，L最大值为15

∴AB、AD、DC的长度之和最大值为15米．

8．解：

（1）由题意得：

y＝[2.4×（1+0.75x）﹣2（1+x）]×10000×（1+0.6x）＝﹣1200x2+400x+4000；

（2）由y＝4028，即﹣1200x2+400x+4000＝4028，

解得x1＝0.1，x2＝

．

该年度A型农用车的年销售量＝10000（1+0.6x）

将x1＝0.1，x2＝

代入得10600辆或11400辆．

9．解：

（1）设蝙蝠型风筝售价为x元时，销售量为y个，

根据题意可知：

y＝180﹣10（x﹣12）＝﹣10x+300（12≤x≤30）．

（2）设王大伯获得的利润为W，则W＝（x﹣10）y＝﹣10x2+400x﹣3000，

令W＝840，则﹣10x2+400x﹣3000＝840，

解得：

x1＝16，x2＝24，

答：

王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为16元．

（3）∵W＝﹣10x2+400x﹣3000＝﹣10（x﹣20）2+1000，

∵a＝﹣10＜0，

∴当x＝20时，W取最大值，最大值为1000．

答：

当售价定为20元时，王大伯获得利润最大，最大利润是1000元．

10．解：

（1）设一次购买x只，

则20﹣0.1（x﹣10）＝16，

解得：

x＝50．

答：

一次至少买50只，才能以最低价购买；

（2）当10＜x≤50时，

y＝[20﹣0.1（x﹣10）﹣12]x＝﹣0.1x2+9x，

当x＞50时，y＝（16﹣12）x＝4x；

综上所述：

y＝

；

（3）y＝﹣0.1x2+9x＝﹣0.1（x﹣45）2+202.5，

①当10＜x≤45时，y随x的增大而增大，即当卖的只数越多时，利润更大．

②当45＜x≤50时，y随x的增大而减小，即当卖的只数越多时，利润变小．

且当x＝46时，y1＝202.4，

当x＝50时，y2＝200．

y1＞y2．

即出现了卖46只赚的钱比卖50只赚的钱多的现象．

当x＝45时，最低售价为20﹣0.1（45﹣10）＝16.5（元），此时利润最大．