集合补习经典Word文件下载.docx
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A∩A＝A；
A∩B＝B∩A；
A∩B＝A⇔A⊆B.
补集的性质：
A∪（∁UA）＝U；
A∩（∁UA）＝∅；
∁U（∁UA）＝A.
1．判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×
”）
（1）A＝{x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{（x，y）|y＝x2＋1}．（ ×
）
（2）{1,2,3}＝{3,2,1}．（ √ ）
（3）∅＝{0}．（ ×
（4）若A∩B＝A∩C，则B＝C.（ ×
（5）已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{2,3}，则M∩N＝N.（ √ ）
（6）若全集U＝{－1,0,1,2}，P＝{x∈Z|x2<
4}，则∁UP＝{2}．（ √ ）
2．（2013·
北京）已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{x|－1≤x<
1}，则A∩B等于（ ）
A．{0}B．{－1,0}
C．{0,1}D．{－1,0,1}
答案 B
解析 ∵－1,0∈B,1∉B，∴A∩B＝{－1,0}．
3．（2013·
山东）已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是（ ）
A．1B．3C．5D．9
答案 C
解析 x－y∈
.
4．（2013·
课标全国Ⅱ）已知集合M＝{x|（x－1）2<
4，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N等于（ ）
A．{0,1,2}B．{－1,0,1,2}
C．{－1,0,2,3}D．{0,1,2,3}
答案 A
解析 化简集合M得M＝{x|－1<
x<
3，x∈R}，则M∩N＝{0,1,2}．
5．设集合A＝{x|x2＋2x－3>
0}，集合B＝{x|x2－2ax－1≤0，a>
0}．若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是________．
答案
解析 A＝{x|x2＋2x－3>
0}＝{x|x>
1或x<
－3}，
因为函数y＝f（x）＝x2－2ax－1的对称轴为x＝a>
0，f（0）＝－1<
0，
根据对称性可知要使A∩B中恰含有一个整数，
则这个整数为2，
所以有f
（2）≤0且f（3）>
即
所以
≤a<
题型一 集合的基本概念
例1
（1）已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为（ ）
A．3B．6C．8D．10
（2）设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝
，则b－a＝________.
思维启迪 解决集合问题首先要理解集合的含义，明确元素的特征，抓住集合的“三性”．
答案
（1）D
（2）2
解析
（1）由x－y∈A，及A＝{1,2,3,4,5}得x>
y，
当y＝1时，x可取2,3,4,5，有4个；
当y＝2时，x可取3,4,5，有3个；
当y＝3时，x可取4,5，有2个；
当y＝4时，x可取5，有1个．
故共有1＋2＋3＋4＝10（个），选D.
（2）因为{1，a＋b，a}＝
，a≠0，
所以a＋b＝0，得
＝－1，
所以a＝－1，b＝1.所以b－a＝2.
思维升华
（1）用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条
件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合；
（2）集合中元素的互异性常常容易忽
略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．
（1）已知集合A＝{（x，y）|x，y∈R，且x2＋y2＝1}，B＝{（x，y）|x，y∈R，且y＝x}，则A∩B的元素个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
（2）若集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}的子集只有两个，则实数a＝________.
答案
（1）C
（2）0或
解析
（1）集合A表示的是圆心在原点的单位圆，集合B表示的是直线y＝x，据此画出图象，可得图象有两个交点，即A∩B的元素个数为2.
（2）∵集合A的子集只有两个，∴A中只有一个元素．
当a＝0时，x＝
符合要求．
当a≠0时，Δ＝（－3）2－4a×
2＝0，∴a＝
故a＝0或
题型二 集合间的基本关系
例2
（1）已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<
5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
（2）已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<
2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是________．
思维启迪 对于含有有限个元素的集合的子集，可按含元素的个数依次写出；
B⊆A不要忽略B＝∅的情形．
答案
（1）D
（2）（－∞，4]
解析
（1）用列举法表示集合A，B，根据集合关系求出集合C的个数．
由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．
由题意知B＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．
（2）当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2.
当B≠∅时，若B⊆A，如图．
则
，解得2<
m≤4.
综上，m的取值范围为m≤4.
思维升华
（1）空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解；
（2）已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系．常用数轴、Venn图来直观解决这类问题．
（1）设M为非空的数集，M⊆{1,2,3}，且M中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M共有（ ）
A．6个B．5个C．4个D．3个
（2）已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝（－∞，a），若A⊆B，则实数a的取值范围是（c，＋∞），其中c＝________.
答案
（1）A
（2）4
解析
（1）集合{1,2,3}的所有子集共有23＝8（个），集合{2}的所有子集共有2个，故满足要求的集合M共有8－2＝6（个）．
（2）由log2x≤2，得0<
x≤4，
即A＝{x|0<
x≤4}，
而B＝（－∞，a），
由于A⊆B，如图所示，则a>
4，即c＝4.
题型三 集合的基本运算
例3
（1）（2013·
湖北）已知全集为R，集合A＝
，B＝
，则A∩（∁RB）等于（ ）
A．{x|x≤0}
B．{x|2≤x≤4}
C．{x|0≤x<
2或x>
4}
D．{x|0<
x≤2或x≥4}
（2）（2012·
天津）已知集合A＝{x∈R||x＋2|<
3}，集合B＝{x∈R|（x－m）（x－2）<
0}，且A∩B＝（－1，n），则m＝________，n＝________.
思维启迪 集合的运算问题可先对集合进行化简，然后结合数轴或Venn图计算．
答案
（1）C
（2）－1 1
解析
（1）A＝{x|x≥0}，B＝{x|2≤x≤4}
∴A∩（∁RB）＝{x|x≥0}∩{x|x>
4或x<
2}
＝{x|0≤x<
4}．
（2）先求出集合A，再根据集合的交集的特点求解．
A＝{x|－5<
1}，因为A∩B＝{x|－1<
n}，
B＝{x|（x－m）（x－2）<
0}，所以m＝－1，n＝1.
思维升华
（1）一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；
集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．
（2）运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．
（1）设集合A＝
，B＝{x∈Z|x－2>
0}，则A∩B＝（ ）
A．{x|2<
x≤3}B．{3}
C．{2,3}D．{x|－1≤x<
（2）设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋（m＋1）x＋m＝0}．若（∁UA）∩B＝∅，则m的值是________．
答案
（1）B
（2）1或2
解析
（1）A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x∈Z|x>
2}，
∴A∩B＝{x∈Z|2<
x≤3}＝{3}．
（2）A＝{－2，－1}，由（∁UA）∩B＝∅，得B⊆A，
∵方程x2＋（m＋1）x＋m＝0的判别式Δ＝（m＋1）2－4m＝（m－1）2≥0，∴B≠∅.
∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．
①若B＝{－1}，则m＝1；
②若B＝{－2}，则应有－（m＋1）＝（－2）＋（－2）＝－4，且m＝（－2）·
（－2）＝4，这两式不能同时成立，∴B≠{－2}；
③若B＝{－1，－2}，则应有－（m＋1）＝（－1）＋（－2）＝－3，且m＝（－1）·
（－2）＝2，由这两式得m＝2.
经检验知m＝1和m＝2符合条件．
∴m＝1或2.
题型四 集合中的新定义问题
例4
在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：
①2014∈[4]；
②－3∈[3]；
③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；
④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
思维启迪 解答本题要充分理解[k]的意义，然后对选项逐一验证．
解析 因为2014＝402×
5＋4，
又因为[4]＝{5n＋4|n∈Z}，
所以2014∈[4]，故①正确；
因为－3＝5×
（－1）＋2，所以－3∈[2]，故②不正确；
因为所有的整数Z除以5可得的余数为0,1,2,3,4，所以③正确；
若a，b属于同一“类”，则有a＝5n1＋k，b＝5n2＋k，
所以a－b＝5（n1－n2）∈[0]，
反过来，如果a－b∈[0]，
也可以得到a，b属于同一“类”，故④正确．
故有3个结论正确．
思维升华 解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：
（1）紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；
（2）用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．
设U为全集，对集合X，Y，定义运算“”，满足XY＝（∁UX）∪Y，则对于任意集合X，Y，Z，X（YZ）＝（ ）
A．（X∪Y）∪（∁UZ）
B．（X∩Y）∪（∁UZ）
C．[（∁UX）∪（∁UY）]∩Z
D．（∁UX）∪（∁UY）∪Z
答案 D
解析 因为XY＝（∁UX）∪Y，所以YZ＝（∁UY）∪Z，
所以X（YZ）＝（∁UX）∪（YZ）＝（∁UX）∪（∁UY）∪Z，故选D.
遗忘空集致误
典例：
（5分）若集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，S＝{x|ax＋1＝0}，且S⊆P，则由a的可取值组成的集合为__________．
易错分析 从集合的关系看，S⊆P，则S＝∅或S≠∅，易遗忘S＝∅的情况．
规范解答
解析 P＝{－3,2}．当a＝0时，S＝∅，满足S⊆P；
当a≠0时，方程ax＋1＝0的解集为x＝－
，
为满足S⊆P可使－
＝－3或－
＝2，
即a＝
或a＝－
.故所求集合为
温馨提醒
（1）根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容．解答此类问题的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征．
（2）在解答本题时，存在两个典型错误．一是忽略对空集的讨论，如a＝0时，S＝∅；
二是易忽略对字母的讨论．如－
可以为－3或2.因此，在解答此类问题时，一定要注意分类讨论，避免漏解.
方法与技巧
1．集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到．解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化．
2．对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；
对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号．
3．对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图．这是数形结合思想的又一体现．
失误与防范
1．集合问题解题中要认清集合中元素的属性（是数集、点集还是其他类型集合），要对集合进行化简．
2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解．
3．解题时注意区分两大关系：
一是元素与集合的从属关系；
二是集合与集合的包含关系．
4．Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．
5．要注意A⊆B、A∩B＝A、A∪B＝B、∁UA⊇∁UB、A∩（∁UB）＝∅这五个关系式的等价性.
A组 专项基础训练
一、选择题
1．（2013·
重庆）已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U（A∪B）等于（ ）
A．{1,3,4}B．{3,4}
C．{3}D．{4}
解析 因为A∪B＝{1,2,3}，全集U＝{1,2,3,4}，所以∁U（A∪B）＝{4}，故选D.
2．下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．M＝{（3,2）}，N＝{（2,3）}
B．M＝{2,3}，N＝{3,2}
C．M＝{（x，y）|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}
D．M＝{2,3}，N＝{（2,3）}
解析 选项A中的集合M表示由点（3,2）所组成的单点集，集合N表示由点（2,3）所组成的单点集，故集合M与N不是同一个集合．选项C中的集合M表示由直线x＋y＝1上的所有点组成的集合，集合N表示由直线x＋y＝1上的所有点的纵坐标组成的集合，即N＝{y|x＋y＝1}＝R，故集合M与N不是同一个集合．选项D中的集合M有两个元素，而集合N只含有一个元素，故集合M与N不是同一个集合．对选项B，由集合元素的无序性，可知M，N表示同一个集合．
3．已知全集S＝{1,2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}，∁SA＝{3}，则实数a等于（ ）
A．0或2B．0
C．1或2D．2
解析 由题意，知
则a＝2.
4．设集合P＝{3，log2a}，Q＝{a，b}，若P∩Q＝{0}，则P∪Q等于（ ）
A．{3,0}B．{3,0,2}
C．{3,0,1}D．{3,0,1,2}
解析 由P∩Q＝{0}，得log2a＝0，所以a＝1，从而b＝0，
P∪Q＝{3,0,1}．
5．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有（ ）
A．2个B．4个C．6个D．8个
解析 ∵M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，∴M∩N＝{1,3}．
∴M∩N的子集共有22＝4个．
6．已知集合A＝{x|x2－x－2<
0}，B＝{x|－1<
1}，则（ ）
A．ABB．BA
C．A＝BD．A∩B＝∅
解析 因为A＝{x|x2－x－2<
0}，
所以A＝{x|－1<
2}．
又B＝{x|－1<
1}，画出数轴，可得BA.
7．（2013·
辽宁）已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|x≤2}，则A∩B等于（ ）
A．（0,1）B．（0,2]C．（1,2）D．（1,2]
解析 A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x≤2}，∴A∩B＝{x|1＜x≤2}．
8．设全集U为整数集，集合A＝{x∈N|y＝
}，B＝{x∈Z|－1<
x≤3}，则右图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为（ ）
A．3B．4C．7D．8
解析 因为A＝{x∈N|y＝
}＝{x∈N|7x－x2－6≥0}＝{x∈N|1≤x≤6}，
由题意，知题图中阴影部分表示的集合为A∩B＝{1,2,3}，
所以其真子集有：
∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，共7个．
二、填空题
9．已知集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且B⊆A，则a＝__________.
答案 －1或2
解析 由a2－a＋1＝3，得a＝－1或a＝2，经检验符合．由a2－a＋1＝a，得a＝1，由于集合中不能有相同元素，所以舍去．故a＝－1或2.
10．已知集合A＝{（0,1），（1,1），（－1，2）}，B＝{（x，y）|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，则A∩B＝__________.
答案 {（0,1），（－1,2）}
解析 A、B都表示点集，A∩B即是由A中在直线x＋y－1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可．
11．已知集合A＝{x||x|≤2}，B＝{x|x≤1}，则A∩B＝________.
答案 {x|－2≤x≤1}
解析 易知A＝{x|－2≤x≤2}，∴A∩B＝{x|－2≤x≤1}．
12．已知集合A＝{x|1≤x<
5}，C＝{x|－a<
x≤a＋3}．若C∩A＝C，则a的取值范围是________．
答案 （－∞，－1]
解析 因为C∩A＝C，所以C⊆A.
①当C＝∅时，满足C⊆A，此时－a≥a＋3，得a≤－
；
②当C≠∅时，要使C⊆A，则
解得－
<
a≤－1.
B组 专项能力提升
1．设集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{4,5,6,7,8}，则满足S⊆A且S∩B≠∅的集合S的个数是（ ）
A．57B．56C．49D．8
解析 集合S的个数为26－23＝64－8＝56.
2．已知集合M＝{x|
≥0，x∈R}，N＝{y|y＝3x2＋1，x∈R}，则M∩N等于（ ）
A．∅B．{x|x≥1}
C．{x|x>
1}D．{x|x≥1或x<
0}
解析 由
≥0，得
∴x>
1或x≤0，∴M＝{x|x>
1或x≤0}，N＝{y|y≥1}，
M∩N＝{x|x>
1}．
3．已知U＝{x∈Z|y＝ln
}，M＝{x∈Z||x－4|≤1}，N＝{x∈N|
∈Z}，则集合{4,5}等于
（ ）
A．M∩NB．M∩（∁UN）
C．N∩（∁UM）D．（∁UM）∪（∁UN）
解析 集合U为函数y＝ln
的定义域内的整数集，
由
－1>
0，即
>
0，解得0<
9，
又x∈Z，所以x可取1,2,3,4,5,6,7,8，
故U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}．
集合M为满足不等式|x－4|≤1的整数集，
解|x－4|≤1，得3≤x≤5，
又x∈Z，
所以x可取3,4,5，故M＝{3,4,5}．
集合N是使
为整数的自然数集合，
显然当x＝1时，
＝6；
当x＝2时，
＝3；
当x＝3时，
＝2；
当x＝6时，
＝1.
所以N＝{1,2,3,6}．
显然M⊆U，N⊆U.
而4∈M,4∈U,4∉N,5∈M,5∈U,5∉N，
所以4∈M,4∈∁UN,5∈M,5∈∁UN，
即{4,5}＝M∩（∁UN）．
4．已知U＝{y|y＝log2x，x>
1}，P＝{y|y＝
，x>
2}，则∁UP＝________.
解析 ∵U＝{y|y＝log2x，x>
1}＝{y|y>
P＝{y|y＝
2}＝{y|0<
y<
}，
∴∁UP＝{y|y≥
}＝
5．已知集合A＝{x|y＝lg（x－x2）}，B＝{x|x2－cx<
0，c>
0}，若A⊆B，则实数c的取值范围是________．
答案 [1，＋∞）
解析 A＝{x|y＝lg（x－x2）}＝{x|x－x2>
0}＝（0,1），B＝{x|x2－cx<
0}＝（0，c），
因为A⊆B，画出数轴，如右图所示，得c≥1.
6．已知集合A＝{（x，y）|y＝a}，B＝{（x，y）|y＝bx＋1，b>
0，b≠1}，若集合A∩B只有一个真子集，则实数a的取值范围是________．
答案 （1，＋∞）
解析 由于集合B中的元素是指数函数y＝bx的图象向上平移一个单位长度后得到的函数图象上的所有点，要使集合A∩B只有一个真子集，那么y＝bx＋1（b>
0，b≠1）与y＝a的图象只能有一个交点，所以实数a的取值范围是（1，＋∞）．
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