三角函数ysinx的图象与性质Word格式文档下载.docx
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kπ－
，kπ＋
π为增
增；
2π＋
，2π＋
π－π，2
π]为增
为减
对称中心
（kπ，0）
kπ
kπ＋，0
，0
对称轴
x＝kπ
无
x＝kπ＋
与三角函数有关的定义域和值域问题
【例1】?
（1）函数y＝sin
x－cos
x的定义域为________．
f
x
（2）函数
（
）＝2cos
（sin
－cos
）＋1在∈
，
上的最大值为________，最小值为________．
8
4
解析
（1）sin
x＝2sin
x－π
≥0，
所以定义域为
x2k
5π
π＋≤x≤2kπ＋
，k∈Z
（2）f（x）＝2cos
xsin
2x－
x－2cosx＋1＝sin2x－cos2x＝2sin
∵x∈8，4
，∴2x－4
∈0，4
，∴sin2x－4
∈－2，1
故f（x）max＝2，f（x）min＝－1.
答案
（1）
kπ＋
≤x
≤2kπ＋
，k∈Z
（2）2
－1
1
【训练1】
（1）
函数y＝tan
x－1的定义域为________；
（2）当x∈
7π时，函数y＝3－sinx－2cos2x的最小值为________，最大值为________．
6
解析
（1）
由题意知：
tanx≠1，即x
x≠＋kπ，k∈Z
..
又x
x≠＋kπ，
故函数的定义域为：
＋kπ，k∈Z
x≠
＋kπ且x≠
（2）
＝3－sin
－2cos
＝3－sin
－2（1－sin
）＝2sin
－sin
＋1＝2sin
－
7
y
＋.
又x∈
7π
，∴sin
x∈
－，1，
∴当sin
；
当sin
ymax＝2.
x＝时，ymin＝
＝－时，
答案
（1）
＋kπ且x≠
＋kπ，k∈Z
三角函数的单调性
sin
－cos
sin2
【例2】?
（2012·
北京）已知函数f（x）＝
（1）求f（x）的定义域及最小正周期；
（2）求f（x）的单调递增区间．
解
由sin
≠0，得
≠π（∈Z），故
）的定义域为{
∈R|
≠
π，
∈Z}，
kk
因为f（x）＝
x－cos
x＝2cos
x（sinx－cos
x）＝sin2
x－cos2x－1＝2sin
－1，
所以
）的最小正周期
＝
2π＝π.
T
（2）函数y＝sin
x的单调递增区间为
2kπ－
，2kπ＋
（k∈Z）．
由2
π－π≤2－
π≤2π＋π，
π（∈Z），得
π－
π≤
≤π＋3π，
π（∈Z）．
所以f（x）的单调递增区间为
，kπ
和kπ，kπ＋
（k∈Z）．
【训练2】求下列函数的单调递增区间：
（2）
y＝3sin
－x.
（1）y＝cos2x＋
3
将2x＋
看做一个整体，根据
y＝cosx的单调递增区间列不等式求解．函数
y＝cosx的单调
递增区间为[2
π]，
∈Z.由2
π－π≤2
＋π
≤2π，
∈Z，得
≤
≤π－π
12
k∈Z.
故
＝cos
2＋
的单调递增区间为
π（
∈Z）．
＝3sin
＝－3sin
＋2
≤2
，得4π＋
≤4π＋
，∴由
π≤－
11π
3，k∈Z.
故y＝3sin
－x
4π＋
，4π＋11π
3（k∈Z）．三角函数的奇偶性、周期性
及对称性
＋
【例3】?
（1）若0＜
＜
，（
）＝sin
是偶函数，则
的值为________．
α
gx
（2）函数y＝2sin（3
x＋φ）
的一条对称轴为
|φ|＜
x＝
，则φ＝________.
要使g（x）＝sin
2x＋
＋α＝kπ＋π，α＝kπ＋
，k∈Z，∵
＋α为偶函数，则需π
ππ
0<
α<
2，∴α＝4.
（2）由y＝sinx的对称轴为x＝kπ＋2（k∈Z），
即3×
12＋φ＝kπ＋2（k∈Z），得φ＝kπ＋4（k∈Z），又|φ|＜2，∴k＝0，故φ＝4.
4
（2）
函数
）＝sin（
）（
≠0），
（1）函数
）为奇函数的充要条件为
φ
π（∈Z）；
A
ωxφω
为偶函数的充要条件为
π（
∈Z）．
（2）求
（）＝sin（
ω
≠0）的对称轴，只需令
ωx
ωxφ
＋φ＝2＋kπ（k∈Z），求x；
如要求f（x）的对称中心的横坐标，只需令
ωx＋φ＝kπ（k∈Z）即可．
【训练3】（2013·
银川联考）已知函数f（x）＝sin
（x∈R），下面结论错误的是（
）．
A．函数f（x）的最小正周期为π
B
．函数f（x）是偶函数
C．函数
）的图象关于直线
D
．函数
）在区间
上是增函数
对称
0，
解析f（
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