江苏数学高考真题含答案.doc
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2017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学I
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本试卷共4页，包含非选择题（第1题~第20题，共20题）.本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5.如需改动，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗
一、填空题：
本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上
1.已知集合，，若则实数a的值为________
2.已知复数z=（1+i）（1+2i）,其中i是虚数单位，则z的模是__________
3.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件.
4.右图是一个算法流程图，若输入x的值为，则输出的y的值是.
5.若tan,则tan=.
6.如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切。
记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2，则的值是
7.记函数的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x，则xD的概率是
8.在平面直角坐标系xoy中,双曲线的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q，其焦点是F1,F2,则四边形F1PF2Q的面积是
9.等比数列的各项均为实数，其前n项的和为Sn，已知，
则=
10.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则x的值是
11.已知函数，其中e是自然数对数的底数，若，则实数a的取值范围是。
12.如图，在同一个平面内，向量,,,的模分别为1,1，，与的夹角为，且tan=7，与的夹角为45°。
若=m+n（m，nR），则m+n=
13.在平面直角坐标系xOy中，A（-12,0），B（0,6），点P在圆O：
x2+y2=50上，若·20，则点P的横坐标的取值范围是
14.设f（x）是定义在R且周期为1的函数，在区间上，其中集合D=，则方程f（x）-lgx=0的解的个数是.
15.（本小题满分14分）
如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.
求证：
（1）EF∥平面ABC；
（2）AD⊥AC.
16.（本小题满分14分）
已知向量a=（cosx,sinx）,,.
（1）若a∥b，求x的值；
（2）记,求的最大值和最小值以及对应的x的值
17.（本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1,过点F2作直线PF2的垂线l2.
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标.
18.（本小题满分16分）
如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm.分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm.现有一根玻璃棒l，其长度为40cm.（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）
（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；
（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度.
19.（本小题满分16分）
对于给定的正整数k,若数列lanl满足
=2kan对任意正整数n（n>k）总成立，则称数列lanl是“P（k）数列”.学科@网
（1）证明：
等差数列lanl是“P（3）数列”；
（1）若数列lanl既是“P
（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：
lanl是等差数列.
20.（本小题满分16分）
已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点。
（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）
（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；
（2）证明：
b²>3a;
（3）若，这两个函数的所有极值之和不小于，求a的取值范围。
2017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学II（附加题）
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本试卷共2页，均为非选择题（第21题~第23题）。
本卷满分为40分，考试时间为30分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3.请认真核对监考员在答题上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5.如需改动，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗
21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答。
若多做，则按作答的前两小题评分。
解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
A.【选修4-1：
几何证明选讲】（本小题满分10分）
如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足。
求证：
（1）∠PAC=∠CAB;
（2）AC2=AP·AB。
B.[选修4-2：
矩阵与变换]（本小题满分10分）
已知矩阵A=，B=.
（1）求AB;
若曲线C1;在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程.
C.[选修4-4：
坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
在平面坐标系中xOy中，已知直线l的参考方程为（t为参数）,曲线C的参数方程为（s为参数）。
设p为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值学@科@网
Ｄ．［选修4-5：
不等式选讲］（本小题满分10分）
已知a,b,c,d为实数，且a2+b2=4,c2+d2=16,证明ac+bd8.
22.（本小题满分10分）
如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120º.
（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；
（2）求二面角B-A1D-A的正弦值。
23.（本小题满分10）
已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m,n,n2）,这些球除颜色外全部相同。
现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3，……，m+n的抽屉内，其中第k次取球放入编号为k的抽屉（k=1,2,3，……，m+n）.
（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p;
（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（x）是x的数学期望，证明
2017年高考江苏卷数学试题（标准答案）
一、填空题:
本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题5分，共计70分.
1.1 2. 3.18 4. 5.
6. 7. 8. 9.32 10.30
11. 12.3 13. 14.8
二、解答题
15.本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.
证明：
（1）在平面内，因为AB⊥AD，，所以.
又因为平面ABC，平面ABC，所以EF∥平面ABC.
（2）因为平面ABD⊥平面BCD，
平面平面BCD=BD，
平面BCD，，
所以平面.
因为平面，所以.
又AB⊥AD，，平面ABC，平面ABC，
所以AD⊥平面ABC，
又因为AC平面ABC，
所以AD⊥AC.
16.本小题主要考查向量共线、数量积的概念及运算，考查同角三角函数关系、诱导公式、两角和（差）的三角函数、三角函数的图像与性质，考查运算求解能力.学科.网满分14分.
解：
（1）因为，，a∥b，
所以.
若，则，与矛盾，故.
于是.
又，所以.
（2）.
因为，所以，
从而.
于是，当，即时，取到最大值3；
当，即时，取到最小值.
17.本小题主要考查直线方程、直线与直线的位置关系、椭圆方程、椭圆的几何性质等基础知识，考查分析问题能力和运算求解能力.满分14分.
解：
（1）设椭圆的半焦距为c.
因为椭圆E的离心率为，两准线之间的距离为8，所以，，
解得，于是，
因此椭圆E的标准方程是.
（2）由
（1）知，，.
设，因为点为第一象限的点，故.
当时，与相交于，与题设不符.
当时，直线的斜率为，直线的斜率为.
因为，，所以直线的斜率为，直线的斜率为，
从而直线的方程：
，①
直线的方程：
.②
由①②，解得，所以.
因为点在椭圆上，由对称性，得，即或.
又在椭圆E上，故.
由，解得；，无解.
因此点P的坐标为.
18.本小题主要考查正棱柱、正棱台的概念，考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查空间想象能力和运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力.满分16分.
解:
（1）由正棱柱的定义，平面，所以平面平面，.
记玻璃棒的另一端落在上点处.
因为，
所以，从而 ，
记与水面的焦点为,过作P1Q1⊥AC,Q1为垂足，
则P1Q1⊥平面ABCD，故P1Q1=12，
从而AP1=.
答：
玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm.
（如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶，则结果为24cm）
（2）如图，O，O1是正棱台的两底面中心.
由正棱台的定义，OO1⊥平面EFGH，所以平面E1EGG1⊥平面EFGH，O1O⊥EG.
同理，平面E1EGG1⊥平面E1F1G1H1，O1O⊥E1G1.
记玻璃棒的另一端落在GG1上点N处.学科&网
过G作GK⊥E1G，K为垂足，则GK=OO1=32.
因为EG=14，E1G1=62，
所以KG1=，从而.
设则.
因为，所以.
在中，由正弦定理可得，解得.
因为，所以.
于是.
记EN与水面的交点为P2，过P2作P2Q2⊥EG，Q2为垂足，则P2Q2⊥平面EFGH，故P2Q2=12，从而EP2=.
答:
玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm.
（如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶，则结果为20cm）
19.本小题主要考查等差数列的定义、通项公式等基础知识,考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力.满分16分.
证明:
（1）因为是等差数列，设其公差为，则，
从而，当时，
，
所以，
因此等差数列是“数列”.
（2）数列既是“数列”，又是“数列”，因此，
当时，，①
当时，.②
由①知，，③
，④
将③④代入②，得，其中，
所以是等差数列，设其公差为.
在①中，取，则，所以，
在①中，取，则，所以，
所以数列是等差数列.
20.本小题主要考查利用导数研究初等函数的单调性、极值及零点问题,考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力.满分16分.
解：
（1）由，得.
当时，有极小值.
因为的极值点是的零点.
所以，又，故.
因为有极值，故有实根，从而，即.
时，，故在R上是增函数，没有极值；
时，有两个相异的实根，.
列表如下
x
+
0
–
0
+
极大值
极小值
故的极值点是.
从而，
因此，定义域为.
（2）由
（1）知，.
设，则.
当时，，从而在上单调递增.
因为，所以，故，即.
因此.
（3）由
（1）知，的极值点是，且，.
从而
记，所有极值之和为，
因为的极值为，所以，.
因为，于是在上单调递减.
因为，于是，故.
因此a的取值范围为.
21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.[选修4-1：
几何证明选讲]
本小题主要考查圆与相似三角形等基础知识,考查推理论证能力.满分10分.
证明：
（1）因为切半圆O于点C，
所以，
因为为半圆O的直径，
所以,
因为AP⊥PC，所以，
所以.
（2）由
（1）知，故，
所以.
B.[选修4-2：
矩阵与变换]
本小题主要考查矩阵的乘法、线性变换等基础知识,考查运算求解能力.满分10分.
解：
（1）因为A=，B=，
所以AB==.
（2）设为曲线上的任意一点，
它在矩阵AB对应的变换作用下变为,
则，即，所以.
因为在曲线上，所以，
从而，即.
因此曲线在矩阵AB对应的变换作用下得到曲线.
C.[选修4-5：
坐标系与参数方程]
本小题主要考查曲线的参数方程及互化等基础知识,考查运算求解能力.满分10分.
解：
直线的普通方程为.
因为点在曲线上，设，
从而点到直线的的距离，
当时，.
因此当点的坐标为时，曲线上点到直线的距离取到最小值.
D.[选修4-5：
不等式选讲]
本小题主要考查不等式的证明,考查推理论证能力.满分10分.
证明：
由柯西不等式可得：
，
因为
所以，
因此.
22.【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和二面角等基础知识,考查运用空间向量解决问题的能力.满分10分.
解：
在平面ABCD内，过点A作AEAD，交BC于点E.
因为AA1平面ABCD，
所以AA1AE，AA1AD.
如图，以为正交基底，建立空间直角坐标系A-xyz.
因为AB=AD=2，AA1=，.
则.
（1），
则.
因此异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为.
（2）平面A1DA的一个法向量为.
设为平面BA1D的一个法向量，
又，
则即
不妨取x=3，则，
所以为平面BA1D的一个法向量，
从而,
设二面角B-A1D-A的大小为，则.
因为，所以.
因此二面角B-A1D-A的正弦值为.
23.【必做题】本小题主要考查古典概率、随机变量及其分布、数学期望等基础知识, 考查组合数及其性质, 考查运算求解能力和推理论证能力.满分10分.
解:
（1） 编号为2的抽屉内放的是黑球的概率为:
.
（2） 随机变量 X 的概率分布为:
X
…
…
P
…
…
随机变量 X 的期望为：
.
所以
.
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