2014年天津市高考数学试卷(理科).doc

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2014年天津市高考数学试卷（理科）

一、选择题（共8小题，每小题5分）

1．（5分）i是虚数单位，复数=（　　）

A．1﹣i B．﹣1+i C．+i D．﹣+i

2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

3．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（　　）

A．15 B．105 C．245 D．945

4．（5分）函数f（x）=log（x2﹣4）的单调递增区间为（　　）

A．（0，+∞） B．（﹣∞，0） C．（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2）

5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：

y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（　　）

A．﹣=1 B．﹣=1

C．﹣=1 D．﹣=1

6．（5分）如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：

①BD平分∠CBF；

②FB2=FD•FA；

③AE•CE=BE•DE；

④AF•BD=AB•BF．

所有正确结论的序号是（　　）

A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④

7．（5分）设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

8．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上，=λ，=μ，若•=1，•=﹣，则λ+μ=（　　）

A． B． C． D．

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）

9．（5分）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：

5：

5：

6，则应从一年级本科生中抽取　　名学生．

10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：

m），则该几何体的体积为　　m3．

11．（5分）设{an}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为　　．

12．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为　　．

13．（5分）在以O为极点的极坐标系中，圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A、B两点，若△AOB是等边三角形，则a的值为　　．

14．（5分）已知函数f（x）=|x2+3x|，x∈R，若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为　　．

三、解答题（共6小题，共80分）

15．（13分）已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+，x∈R．

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）求f（x）在闭区间[﹣，]上的最大值和最小值．

16．（13分）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．

（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；

（Ⅱ）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．

17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．

（Ⅰ）证明：

BE⊥DC；

（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；

（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．

18．（13分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|F1F2|．

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．

19．（14分）已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，…，q﹣1}，集合A={x|x=x1+x2q+…+xnqn﹣1，xi∈M，i=1，2，…n}．

（Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；

（Ⅱ）设s，t∈A，s=a1+a2q+…+anqn﹣1，t=b1+b2q+…+bnqn﹣1，其中ai，bi∈M，i=1，2，…，n．证明：

若an＜bn，则s＜t．

20．（14分）设f（x）=x﹣aex（a∈R），x∈R，已知函数y=f（x）有两个零点x1，x2，且x1＜x2．

（Ⅰ）求a的取值范围；

（Ⅱ）证明：

随着a的减小而增大；

（Ⅲ）证明x1+x2随着a的减小而增大．

2014年天津市高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共8小题，每小题5分）

1．（5分）（2014•天津）i是虚数单位，复数=（　　）

A．1﹣i B．﹣1+i C．+i D．﹣+i

【分析】将复数的分子与分母同时乘以分母的共轭复数3﹣4i，即求出值．

【解答】解：

复数==，

故选A．

2．（5分）（2014•天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．

【解答】解：

作出不等式对应的平面区域，

由z=x+2y，得y=﹣，

平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点B（1，1）时，直线y=﹣的截距最小，此时z最小．

此时z的最小值为z=1+2×1=3，

故选：

B．

3．（5分）（2014•天津）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（　　）

A．15 B．105 C．245 D．945

【分析】算法的功能是求S=1×3×5×…×（2i+1）的值，根据条件确定跳出循环的i值，计算输出S的值．

【解答】解：

由程序框图知：

算法的功能是求S=1×3×5×…×（2i+1）的值，

∵跳出循环的i值为4，

∴输出S=1×3×5×7=105．

故选：

B．

4．（5分）（2014•天津）函数f（x）=log（x2﹣4）的单调递增区间为（　　）

A．（0，+∞） B．（﹣∞，0） C．（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2）

【分析】令t=x2﹣4＞0，求得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），且函数f（x）=g（t）=logt．根据复合函数的单调性，本题即求函数t在（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）上的减区间．再利用二次函数的性质可得，函数t在（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）上的减区间．

【解答】解：

令t=x2﹣4＞0，可得x＞2，或x＜﹣2，

故函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），

当x∈（﹣∞，﹣2）时，t随x的增大而减小，y=logt随t的减小而增大，

所以y=log（x2﹣4）随x的增大而增大，即f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增．

故选：

D．

5．（5分）（2014•天津）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：

y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（　　）

A．﹣=1 B．﹣=1

C．﹣=1 D．﹣=1

【分析】先求出焦点坐标，利用双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：

y=2x+10，可得=2，结合c2=a2+b2，求出a，b，即可求出双曲线的方程．

【解答】解：

∵双曲线的一个焦点在直线l上，

令y=0，可得x=﹣5，即焦点坐标为（﹣5，0），∴c=5，

∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：

y=2x+10，

∴=2，

∵c2=a2+b2，

∴a2=5，b2=20，

∴双曲线的方程为﹣=1．

故选：

A．

6．（5分）（2014•天津）如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：

①BD平分∠CBF；

②FB2=FD•FA；

③AE•CE=BE•DE；

④AF•BD=AB•BF．

所有正确结论的序号是（　　）

A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④

【分析】本题利用角与弧的关系，得到角相等，再利用角相等推导出三角形相似，得到边成比例，即可选出本题的选项．

【解答】解：

∵圆周角∠DBC对应劣弧CD，圆周角∠DAC对应劣弧CD，

∴∠DBC=∠DAC．

∵弦切角∠FBD对应劣弧BD，圆周角∠BAD对应劣弧BD，

∴∠FBD=∠BAF．

∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠BAF=∠DAC．

∴∠DBC=∠FBD．即BD平分∠CBF．即结论①正确．

又由∠FBD=∠FAB，∠BFD=∠AFB，得△FBD～△FAB．

由，FB2=FD•FA．即结论②成立．

由，得AF•BD=AB•BF．即结论④成立．

正确结论有①②④．

故答案为D

7．（5分）（2014•天津）设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【分析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．

【解答】解：

若a＞b，

①a＞b≥0，不等式a|a|＞b|b|等价为a•a＞b•b，此时成立．

②0＞a＞b，不等式a|a|＞b|b|等价为﹣a•a＞﹣b•b，即a2＜b2，此时成立．

③a≥0＞b，不等式a|a|＞b|b|等价为a•a＞﹣b•b，即a2＞﹣b2，此时成立，即充分性成立．

若a|a|＞b|b|，

①当a＞0，b＞0时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a﹣b）（a+b）＞0，因为a+b＞0，所以a﹣b＞0，即a＞b．

②当a＞0，b＜0时，a＞b．

③当a＜0，b＜0时，a|a|＞b|b|去掉绝对值得，（a﹣b）（a+b）＜0，因为a+b＜0，所以a﹣b＞0，即a＞b．即必要性成立，

综上“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的充要条件，

故选：

C．

8．（5分）（2014•天津）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上，=λ，=μ，若•=1，•=﹣，则λ+μ=（　　）

A． B． C． D．

【分析】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义由•=1，求得4λ+4μ﹣2λμ=3①；再由•=﹣，求得﹣λ﹣μ+λμ=﹣②．结合①②求得λ+μ的值．

【解答】解：

由题意可得若•=（+）•（+）=+++

=2×2×cos120°++λ•+λ•μ=﹣2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°

=4λ+4μ﹣2λμ﹣2=1，

∴4λ+4μ﹣2λμ=3①．

•=﹣•（﹣）==（1﹣λ）•（1﹣μ）=（1﹣λ）•（1﹣μ）

=（1﹣λ）（1﹣μ）×2×2×cos120°=（1﹣λ﹣μ+λμ）（﹣2）=﹣，

即﹣λ﹣μ+λμ=﹣②．

由①②求得λ+μ=，

故答案为：

．

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）

9．（5分）（2014•天津）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：

5：

5：

6，则应从一年级本科生中抽取　60　名学生．

【分析】先求出一年级本科生人数所占总本科生人数的比例，再用样本容量乘以该比列，即为所求．

【解答】解：

根据分层抽样的定义和方法，一年级本科生人数所占的比例为=，

故应从一年级本科生中抽取名学生数为300×=60，

故答案为：

60．

10．（5分）（2014•天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：

m），则该几何体的体积为　　m3．

【分析】几何体是圆锥与圆柱的组合体，判断圆柱与圆锥的高及底面半径，代入圆锥与圆柱的体积公式计算．

【解答】解：

由三视图知：

几何体是圆锥与圆柱的组合体，

其中圆柱的高为4，底面直径为2，圆锥的高为2，底面直径为4，

∴几何体的体积V=π×12×4+×π×22×2=4π+π=π．

故答案为：

．

11．（5分）（2014•天津）设{an}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为　﹣　．

【分析】由条件求得，Sn=，再根据S1，S2，S4成等比数列，可得=S1•S4，由此求得a1的值．

【解答】解：

由题意可得，an=a1+（n﹣1）（﹣1）=a1+1﹣n，Sn==，

再根据若S1，S2，S4成等比数列，可得=S1•S4，即=a1•（4a1﹣6），

解得a1=﹣，

故答案为：

﹣．

12．（5分）（2014•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b﹣c=a，2sinB=3sinC，则cosA的值为　﹣　．

【分析】由条件利用正弦定理求得a=2c，b=，再由余弦定理求得cosA=的值．

【解答】解：

在△ABC中，

∵b﹣c=a①，2sinB=3sinC，

∴2b=3c②，

∴由①②可得a=2c，b=．

再由余弦定理可得cosA===﹣，

故答案为：

﹣．

13．（5分）（2014•天津）在以O为极点的极坐标系中，圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A、B两点，若△AOB是等边三角形，则a的值为　3　．

【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出B的坐标的值，代入x2+（y﹣2）2=4，可得a的值．

【解答】解：

直线ρsinθ=a即y=a，（a＞0），曲线ρ=4sinθ，

即ρ2=4ρsinθ，即x2+（y﹣2）2=4，表示以C（0，2）为圆心，以2为半径的圆，

∵△AOB是等边三角形，∴B（a，a），

代入x2+（y﹣2）2=4，可得（a）2+（a﹣2）2=4，

∵a＞0，∴a=3．

故答案为：

3．

14．（5分）（2014•天津）已知函数f（x）=|x2+3x|，x∈R，若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为　（0，1）∪（9，+∞）　．

【分析】由y=f（x）﹣a|x﹣1|=0得f（x）=a|x﹣1|，作出函数y=f（x），y=a|x﹣1|的图象利用数形结合即可得到结论．

【解答】解：

由y=f（x）﹣a|x﹣1|=0得f（x）=a|x﹣1|，

作出函数y=f（x），y=g（x）=a|x﹣1|的图象，

当a≤0，两个函数的图象不可能有4个交点，不满足条件，

则a＞0，此时g（x）=a|x﹣1|=，

当﹣3＜x＜0时，f（x）=﹣x2﹣3x，g（x）=﹣a（x﹣1），

当直线和抛物线相切时，有三个零点，

此时﹣x2﹣3x=﹣a（x﹣1），

即x2+（3﹣a）x+a=0，

则由△=（3﹣a）2﹣4a=0，即a2﹣10a+9=0，解得a=1或a=9，

当a=9时，g（x）=﹣9（x﹣1），g（0）=9，此时不成立，∴此时a=1，

要使两个函数有四个零点，则此时0＜a＜1，

若a＞1，此时g（x）=﹣a（x﹣1）与f（x），有两个交点，

此时只需要当x＞1时，f（x）=g（x）有两个不同的零点即可，

即x2+3x=a（x﹣1），整理得x2+（3﹣a）x+a=0，

则由△=（3﹣a）2﹣4a＞0，即a2﹣10a+9＞0，解得a＜1（舍去）或a＞9，

综上a的取值范围是（0，1）∪（9，+∞），

方法2：

由f（x）﹣a|x﹣1|=0得f（x）=a|x﹣1|，

若x=1，则4=0不成立，

故x≠1，

则方程等价为a===||=|x﹣1++5|，

设g（x）=x﹣1++5，

当x＞1时，g（x）=x﹣1++5≥，当且仅当x﹣1=，即x=3时取等号，

当x＜1时，g（x）=x﹣1++5=5﹣4=1，当且仅当﹣（x﹣1）=﹣，即x=﹣1时取等号，

则|g（x）|的图象如图：

若方程f（x）﹣a|x﹣1|=0恰有4个互异的实数根，

则满足a＞9或0＜a＜1，

故答案为：

（0，1）∪（9，+∞）

三、解答题（共6小题，共80分）

15．（13分）（2014•天津）已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+，x∈R．

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）求f（x）在闭区间[﹣，]上的最大值和最小值．

【分析】（Ⅰ）根据两角和差的正弦公式、倍角公式对解析式进行化简，再由复合三角函数的周期公式求出此函数的最小正周期；

（Ⅱ）由（Ⅰ）化简的函数解析式和条件中x的范围，求出的范围，再利用正弦函数的性质求出再已知区间上的最大值和最小值．

【解答】解：

（Ⅰ）由题意得，f（x）=cosx•（sinxcosx）

=

=

=

=

所以，f（x）的最小正周期=π．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=，

由x∈[﹣，]得，2x∈[﹣，]，则∈[，]，

∴当=﹣时，即=﹣1时，函数f（x）取到最小值是：

，

当=时，即=时，f（x）取到最大值是：

，

所以，所求的最大值为，最小值为．

16．（13分）（2014•天津）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．

（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；

（Ⅱ）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．

【分析】（Ⅰ）利用排列组合求出所有基本事件个数及选出的3名同学是来自互不相同学院的基本事件个数，代入古典概型概率公式求出值；

（Ⅱ）随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，（k=0，1，2，3）列出随机变量X的分布列求出期望值．

【解答】（Ⅰ）解：

设“选出的3名同学是来自互不相同学院”为事件A，

则，

所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为．

（Ⅱ）解：

随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，（k=0，1，2，3）

所以随机变量X的分布列是

X

0

1

2

3

P

随机变量X的数学期望．

17．（13分）（2014•天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．

（Ⅰ）证明：

BE⊥DC；

（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；

（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．

【分析】（I）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出BE，DC的方向向量，根据•=0，可得BE⊥DC；

（II）求出平面PBD的一个法向量，代入向量夹角公式，可得直线BE与平面PBD所成角的正弦值；

（Ⅲ）根据BF⊥AC，求出向量的坐标，进而求出平面FAB和平面ABP的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角F﹣AB﹣P的余弦值．

【解答】证明：

（I）∵PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，

以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

∵AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．

∴B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（1，1，1）

∴=（0，1，1），=（2，0，0）

∵•=0，

∴BE⊥DC；

（Ⅱ）∵=（﹣1，2，0），=（1，0，﹣2），

设平面PBD的法向量=（x，y，z），

由，得，

令y=1，则=（2，1，1），

则直线BE与平面PBD所成角θ满足：

sinθ===，

故直线BE与平面PBD所成角的正弦值为．

（Ⅲ）∵=（1，2，0），=（﹣2，﹣2，2），=（2，2，0），

由F点在棱PC上，设=λ=（﹣2λ，﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1），

故=+=（1﹣2λ，2﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1），

由BF⊥AC，得•=2（1﹣2λ）+2（2﹣2λ）=0，

解得λ=，

即=（﹣，，），

设平面FBA的法向量为=（a，b，c），

由，得

令c=1，则=（0，﹣3，1），

取平面ABP的法向量=（0，1，0），

则二面角F﹣AB﹣P的平面角α满足：

cosα===，

故二面角F﹣AB﹣P的余弦值为：

18．（13分）（2014•天津）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|=|F1F2|．

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．

【分析】（Ⅰ）设椭圆的右焦点为F2（c，0），由|AB|=|F1F2|．可得，再利用b2=a2﹣c2，e=即可得出．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b2=c2．可设椭圆方程为，设P（x0，y0），由F1（﹣c，0），B（0，c），可得，．利用圆的性质可得，于是=0，得到x0+y0+c=0，由于点P在椭圆上，可得．联立可得=0，解得P．设圆心为T（x1，y1），利用中点坐标公式可得T，利用两点间的距离公式可得圆的半径r．设直线l的方程为：

y=kx．利用直线与圆相切的性质即可得出．

【解答】解：

（Ⅰ）设椭圆的右焦点为F2（c，0），

由|AB|=|F1F2|，可得，化为a2+b2=3c2．

又b2=a2﹣c2，∴a2=2c2．

∴e=．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b2=c2．因此椭圆方程为．

设P（x0，y0），由F1（﹣c，0），B（0，c），可得=（x0+c，y0），=（c，c）．

∵，

∴=c（x0+c）+cy0=0，

∴x0+y0+c=0，

∵点P在椭圆上，∴．

联立，化为=0，

∵x0≠0，∴，

代入x0+y0+c=0，可得．

∴P．

设圆心为T（x1，y1），则=﹣，=．

∴T，

∴圆的半径r==．

设直线l的斜率为k，则直线l的方程为：

y=kx．

∵直线l与圆相切，

∴，

整理得k2﹣8k+1=0，解得．

∴直线l的斜率为．

19．（14分）（2014•天津）已知q和n均为给定的大于1的自然数，设集合M={0，1，2，…，q﹣1}，集合A={x|x=x1+x2q+…+xnqn﹣1，xi∈M，i=1，2，…n}．

（Ⅰ）当q=2，n=3时，用列举法表示集合A；

（Ⅱ）设s，t∈A，s=a1+a2q+…+anqn﹣1，t=b1+b2q+…+bnqn﹣1，其中ai，bi∈M，i=1，2，…，n．证明：

若an＜bn，则s＜t．

【分析】（Ⅰ）当q=2，n=3时，M={0，1}，A={x|，xi∈M，i=1，2，3}．即可得到集合A．

（Ⅱ）由于ai，bi∈M，i=1，2，…，n．an＜bn，可得an﹣bn≤﹣1．

由题意可得