上海高考数学理科试卷答案解析.doc
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2012年上海高考数学(理科)试卷
一、填空题(本大题共有14题,满分56分)
1.计算:
=(i为虚数单位).
2.若集合,,则=.
3.函数的值域是.
4.若是直线的一个法向量,则的倾斜角的大小为(结果用反三角
函数值表示).
5.在的二项展开式中,常数项等于.
6.有一列正方体,棱长组成以1为首项,为公比的等比数列,体积分别记为
V1,V2,…,Vn,…,则.
7.已知函数(a为常数).若在区间[1,+¥)上是增函数,则a的取值范
围是.
8.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2p的半圆面,则该圆锥的体积为.
9.已知是奇函数,且.若,则.
x
O
M
l
a
O
M
x
l
a
10.如图,在极坐标系中,过点的直线与极轴的夹角
.若将的极坐标方程写成的形式,则
.
11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目,则有且仅有
两人选择的项目完全相同的概率是(结果用最简分数表示).
12.在平行四边形ABCD中,∠A=,边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分别
是边BC、CD上的点,且满足,则的取值范围是.
13.已知函数的图像是折线段ABC,若中A(0,0),B(,5),C(1,0).
函数的图像与x轴围成的图形的面积为.
A
B
C
D
14.如图,AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱,BC=2.
若AD=2c,且AB+BD=AC+CD=2a,其中a、c为
常数,则四面体ABCD的体积的最大值是.
二、选择题(本大题共有4题,满分20分)
15.若是关于x的实系数方程的一个复数根,则 ()
(A). (B). (C).(D).
16.在中,若,则的形状是 ()
(A)锐角三角形. (B)直角三角形. (C)钝角三角形. (D)不能确定.
17.设,.随机变量取值、、、、的
概率均为0.2,随机变量取值、、、、的概率也为0.2.
若记、分别为、的方差,则 ()
(A)>. (B)=. (C)<.
(D)与的大小关系与、、、的取值有关.
18.设,.在中,正数的个数是 ()
A
B
C
D
P
E
(A)25. (B)50. (C)75. (D)100.
三、解答题(本大题共有5题,满分74分)
19.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,
PA⊥底面ABCD,E是PC的中点.已知AB=2,
AD=2,PA=2.求:
(1)三角形PCD的面积;(6分)
(2)异面直线BC与AE所成的角的大小.(6分)
20.已知函数.
(1)若,求的取值范围;(6分)
(2)若是以2为周期的偶函数,且当时,有,求函数
的反函数.(8分)
21.海事救援船对一艘失事船进行定位:
以失事船的当前位置为原点,以正北方向为y轴
正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰在失事船的正南方向12海
x
O
y
P
A
里A处,如图.现假设:
①失事船的移动路径可视为抛物线
;②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救
援船出发小时后,失事船所在位置的横坐标为.
(1)当时,写出失事船所在位置P的纵坐标.若此时
两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向;(6分)
(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?
(8分)
22.在平面直角坐标系中,已知双曲线.
(1)过的左顶点引的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及x轴围成
的三角形的面积;(4分)
(2)设斜率为1的直线l交于P、Q两点,若l与圆相切,求证:
OP⊥OQ;(6分)
(3)设椭圆.若M、N分别是、上的动点,且OM⊥ON,
求证:
O到直线MN的距离是定值.(6分)
23.对于数集,其中,,定义向量集
.若对于任意,存在,使得,则称X
具有性质P.例如具有性质P.
(1)若x>2,且,求x的值;(4分)
(2)若X具有性质P,求证:
1ÎX,且当xn>1时,x1=1;(6分)
(3)若X具有性质P,且x1=1,x2=q(q为常数),求有穷数列的通
项公式.(8分)
2012年上海高考数学(理科)试卷解答
一、填空题(本大题共有14题,满分56分)
1.计算:
=1-2i(i为虚数单位).
2.若集合,,则=.
3.函数的值域是.
4.若是直线的一个法向量,则的倾斜角的大小为arctan2(结果用反三角
函数值表示).
5.在的二项展开式中,常数项等于-160.
6.有一列正方体,棱长组成以1为首项,为公比的等比数列,体积分别记为
V1,V2,…,Vn,…,则.
7.已知函数(a为常数).若在区间[1,+¥)上是增函数,则a的取值范
围是(-¥,1].
8.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2p的半圆面,则该圆锥的体积为.
x
O
M
l
a
9.已知是奇函数,且.若,则-1.
10.如图,在极坐标系中,过点的直线与极轴的夹角
.若将的极坐标方程写成的形式,则
.
11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目,则有且仅有
两人选择的项目完全相同的概率是(结果用最简分数表示).
12.在平行四边形ABCD中,∠A=,边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分别
是边BC、CD上的点,且满足,则的取值范围是[2,5].
A
B
C
D
13.已知函数的图像是折线段ABC,若中A(0,0),B(,5),C(1,0).
函数的图像与x轴围成的图形的面积为.
14.如图,AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱,BC=2.
若AD=2c,且AB+BD=AC+CD=2a,其中a、c为
常数,则四面体ABCD的体积的最大值是.
二、选择题(本大题共有4题,满分20分)
15.若是关于x的实系数方程的一个复数根,则 (B)
(A). (B). (C).(D).
16.在中,若,则的形状是 (C)
(A)锐角三角形. (B)直角三角形. (C)钝角三角形. (D)不能确定.
17.设,.随机变量取值、、、、的
概率均为0.2,随机变量取值、、、、的概率也为0.2.
若记、分别为、的方差,则 (A)
(A)>. (B)=. (C)<.
(D)与的大小关系与、、、的取值有关.
18.设,.在中,正数的个数是 (D)
A
B
C
D
P
E
(A)25. (B)50. (C)75. (D)100.
三、解答题(本大题共有5题,满分74分)
19.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,
PA⊥底面ABCD,E是PC的中点.已知AB=2,
AD=2,PA=2.求:
(1)三角形PCD的面积;(6分)
(2)异面直线BC与AE所成的角的大小.(6分)
[解]
(1)因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥CD,又AD⊥CD,所以CD⊥平面PAD,
从而CD⊥PD.……3分
A
B
C
D
P
E
x
y
z
因为PD=,CD=2,
所以三角形PCD的面积为.……6分
(2)[解法一]如图所示,建立空间直角坐标系,
则B(2,0,0),C(2,2,0),E(1,,1),
,.……8分
设与的夹角为q,则
,q=.
A
B
C
D
P
E
F
由此可知,异面直线BC与AE所成的角的大小是……12分
[解法二]取PB中点F,连接EF、AF,则
EF∥BC,从而∠AEF(或其补角)是异面直线
BC与AE所成的角……8分
在中,由EF=、AF=、AE=2
知是等腰直角三角形,
所以∠AEF=.
因此异面直线BC与AE所成的角的大小是……12分
20.已知函数.
(1)若,求的取值范围;(6分)
(2)若是以2为周期的偶函数,且当时,有,求函数
的反函数.(8分)
[解]
(1)由,得.
由得.……3分
因为,所以,.
由得.……6分
(2)当xÎ[1,2]时,2-xÎ[0,1],因此
.……10分
由单调性可得.
因为,所以所求反函数是,.……14分
21.海事救援船对一艘失事船进行定位:
以失事船的当前位置为原点,以正北方向为y轴
x
O
y
P
A
正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰在失事船的正南方向12海
里A处,如图.现假设:
①失事船的移动路径可视为抛物线
;②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救
援船出发小时后,失事船所在位置的横坐标为.
(1)当时,写出失事船所在位置P的纵坐标.若此时
两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向;(6分)
(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?
(8分)
[解]
(1)时,P的横坐标xP=,代入抛物线方程
中,得P的纵坐标yP=3.……2分
由|AP|=,得救援船速度的大小为海里/时.……4分
由tan∠OAP=,得∠OAP=arctan,故救援船速度的方向
为北偏东arctan弧度.……6分
(2)设救援船的时速为海里,经过小时追上失事船,此时位置为.
由,整理得.……10分
因为,当且仅当=1时等号成立,
所以,即.
因此,救援船的时速至少是25海里才能追上失事船.……14分
22.在平面直角坐标系中,已知双曲线.
(1)过的左顶点引的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及x轴围成
的三角形的面积;(4分)
(2)设斜率为1的直线l交于P、Q两点,若l与圆相切,求证:
OP⊥OQ;(6分)
(3)设椭圆.若M、N分别是、上的动点,且OM⊥ON,
求证:
O到直线MN的距离是定值.(6分)
[解]
(1)双曲线,左顶点,渐近线方程:
.
过点A与渐近线平行的直线方程为,即.
解方程组,得.……2分
所以所求三角形的面积1为.……4分
(2)设直线PQ的方程是.因直线与已知圆相切,
故,即.……6分
由,得.
设P(x1,y1)、Q(x2,y2),则.
又2,所以
,
故OP⊥OQ.……10分
(3)当直线ON垂直于x轴时,
|ON|=1,|OM|=,则O到直线MN的距离为.
当直线ON不垂直于x轴时,
设直线ON的方程为(显然),则直线OM的方程为.
由,得,所以.
同理.……13分
设O到直线MN的距离为d,因为,
所以,即d=.
综上,O到直线MN的距离是定值.……16分
23.对于数集,其中,,定义向量集
.若对于任意,存在,使得,则称X
具有性质P.例如具有性质P.
(1)若x>2,且,求x的值;(4分)
(2)若X具有性质P,求证:
1ÎX,且当xn>1时,x1=1;(6分)
(3)若X具有性质P,且x1=1,x2=q(q为常数),求有穷数列的通
项公式.(8分)
[解]
(1)选取,Y中与垂直的元素必有形式.……2分
所以x=2b,从而x=4.……4分
(2)证明:
取.设满足.
由得,所以、异号.
因为-1是X中唯一的负数,所以、中之一为-1,另一为1,
故1ÎX.……7分
假设,其中,则.
选取,并设满足,即,
则、异号,从而、之中恰有一个为-1.
若=-1,则2,矛盾;
若=-1,则,矛盾.
所以x1=1.……10分
(3)[解法一]猜测,i=1,2,…,n.……12分
记,k=2,3,…,n.
先证明:
若具有性质P,则也具有性质P.
任取,、Î.当、中出现-1时,显然有满足;
当且时,、≥1.
因为具有性质P,所以有,、Î,使得,
从而和中有一个是-1,不妨设=-1.
假设Î且Ï,则.由,得,与
Î矛盾.所以Î.从而也具有性质P.……15分
现用数学归纳法证明:
,i=1,2,…,n.
当n=2时,结论显然成立;
假设n=k时,有性质P,则,i=1,2,…,k;
当n=k+1时,若有性质P,则
也有性质P,所以.
取,并设满足,即.由此可得s与t中有且只有一个为-1.
若,则1,不可能;
所以,,又,所以.
综上所述,,i=1,2,…,n.……18分
[解法二]设,,则等价于.
记,则数集X具有性质P当且仅当数集B关于
原点对称.……14分
注意到-1是X中的唯一负数,共有n-1个数,
所以也只有n-1个数.
由于,已有n-1个数,对以下三角数阵
……
注意到,所以,从而数列的通项公式为
,k=1,2,…,n.……18分
2012上海高考数学试题(理科)答案与解析
一.填空题
1.计算:
(为虚数单位).
【答案】
【解析】.
【点评】本题着重考查复数的除法运算,首先,将分子、分母同乘以分母的共轭复数,将分母实数化即可.
2.若集合,,则.
【答案】
【解析】根据集合A,解得,由,所以
.
【点评】本题考查集合的概念和性质的运用,同时考查了一元一次不等式和绝对值不等式的解法.解决此类问题,首先分清集合的元素的构成,然后,借助于数轴或韦恩图解决.
3.函数的值域是.
【答案】
【解析】根据题目,因为,所以.
【点评】本题主要考查行列式的基本运算、三角函数的范围、二倍角公式,属于容易题,难度较小.考纲中明确要求掌握二阶行列式的运算性质.
4.若是直线的一个法向量,则的倾斜角的大小为(结果用反三角函数值表示).
【答案】
【解析】设直线的倾斜角为,则.
【点评】本题主要考查直线的方向向量、直线的倾斜角与斜率的关系、反三角函数的表示.直线的倾斜角的取值情况一定要注意,属于低档题,难度较小.
5.在的二项展开式中,常数项等于.
【答案】
【解析】根据所给二项式的构成,构成的常数项只有一项,就是.
【点评】本题主要考查二项式定理.对于二项式的展开式要清楚,特别注意常数项的构成.属于中档题.
6.有一列正方体,棱长组成以1为首项、为公比的等比数列,体积分别记为,则.
【答案】
【解析】由正方体的棱长组成以为首项,为公比的等比数列,可知它们的体积则组成了一个以1为首项,为公比的等比数列,因此,.
【点评】本题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定义.考查知识较综合.
7.已知函数(为常数).若在区间上是增函数,则的取值范围是.
【答案】
【解析】根据函数看出当时函数增函数,而已知函数在区间上为增函数,所以的取值范围为:
.
【点评】本题主要考查指数函数单调性,复合函数的单调性的判断,分类讨论在求解数学问题中的运用.本题容易产生增根,要注意取舍,切勿随意处理,导致不必要的错误.本题属于中低档题目,难度适中.
8.若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面,则该圆锥的体积为.
【答案】
【解析】根据该圆锥的底面圆的半径为,母线长为,根据条件得到,解得母线长,所以该圆锥的体积为:
.
【点评】本题主要考查空间几何体的体积公式和侧面展开图.审清题意,所求的为体积,不是其他的量,分清图形在展开前后的变化;其次,对空间几何体的体积公式要记准记牢,属于中低档题.
9.已知是奇函数,且,若,则.
【答案】
【解析】因为函数为奇函数,所以.
【点评】本题主要考查函数的奇偶性.在运用此性质解题时要注意:
函数为奇函数,所以有这个条件的运用,平时要加强这方面的训练,本题属于中档题,难度适中.
10.如图,在极坐标系中,过点的直线与极轴的夹角,
若将的极坐标方程写成的形式,则.
【答案】
【解析】根据该直线过点,可以直接写出代数形式的方程为:
,将此化成极坐标系下的参数方程即可,化简得.
【点评】本题主要考查极坐标系,本部分为选学内容,几乎年年都有所涉及,题目类型以小题为主,复习时,注意掌握基本规律和基础知识即可.对于不常见的曲线的参数方程不作要求.本题属于中档题,难度适中.
11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛,若每人都选择其中两个项目,则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是(结果用最简分数表示).
【答案】
【解析】一共有27种取法,其中有且只有两个人选择相同的项目的取法共有18种,所以根据古典概型得到此种情况下的概率为.
【点评】本题主要考查排列组合概率问题、古典概型.要分清基本事件数和基本事件总数.本题属于中档题.
12.在平行四边形中,,边、的长分别为2、1,若、分别是边、上的点,且满足,则的取值范围是.
【答案】
【解析】以向量所在直线为轴,以向量所在直线为轴建立平面直角坐标系,如图所示,因为,所以设根据题意,有.
所以,所以
【点评】本题主要考查平面向量的基本运算、概念、平面向量的数量积的运算律.做题时,要切实注意条件的运用.本题属于中档题,难度适中.
13.已知函数的图象是折线段,其中、、,
函数()的图象与轴围成的图形的面积为.
【答案】
【解析】根据题意得到,从而得到所以围成的面积为,所以围成的图形的面积为.
【点评】本题主要考查函数的图象与性质,函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的运用.突出体现数形结合思想,本题综合性较强,需要较强的分析问题和解决问题的能力,在以后的练习中加强这方面的训练,本题属于中高档试题,难度较大.
14.如图,与是四面体中互相垂直的棱,,若,
且,其中、为常数,则四面体的体积的最
大值是.
【答案】
【解析】据题,也就是说,线段的长度是定值,因为棱与棱互相垂直,当时,此时有最大值,此时最大值为:
.
【点评】本题主要考查空间四面体的体积公式、空间中点线面的关系.本题主要考虑根据已知条件构造体积表达式,这是解决问题的关键,本题综合性强,运算量较大.属于中高档试题.
二、选择题(20分)
15.若是关于的实系数方程的一个复数根,则()
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】根据实系数方程的根的特点也是该方程的另一个根,所以
,即,,故答案选择B.
【点评】本题主要考查实系数方程的根的问题及其性质、复数的代数形式的四则运算,属于中档题,注重对基本知识和基本技巧的考查,复习时要特别注意.
16.在中,若,则的形状是()
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定
【答案】C
【解析】由正弦定理,得代入得到,
由余弦定理的推理得,所以C为钝角,所以该三角形为钝角三角形.故选择A.
【点评】本题主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用.主要抓住所给式子的结构来选择定理,如果出现了角度的正弦值就选择正弦定理,如果出现角度的余弦值就选择余弦定理.本题属于中档题.
17.设,,随机变量取值的概率均为,随机变量取值的概率也均为,若记分别为的方差,则()
A.B.
C.D.与的大小关系与的取值有关
【答案】A
【解析】由随机变量的取值情况,它们的平均数分别为:
,
且随机变量的概率都为,所以有>.故选择A.
【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差公式.记牢公式是解决此类问题的前提和基础,本题属于中档题.
18.设,,在中,正数的个数是()
A.25B.50