高考数学试题分类汇编04三角函数.docx

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高考数学试题分类汇编04三角函数

三角函数

1.（2020·全国卷Ⅱ理2）若α为第四象限角，则（）

A.cos2α>0B.cos2α<0C.sin2α>0D.sin2α<0

2.（2020·全国卷Ⅲ文5）已知sinθ+sin⎛θ+π⎫=1，则sin⎛θ+π⎫=（）

ç3⎪ç6⎪

A.12

⎝⎭

B.

33

⎝⎭

C.23

D.

22

3.（2020·全国卷Ⅰ理7、文7）设函数f（x）=cos（ωx+π）在[-π,π]的图像大致如下图，则f（x）的最小正

6

周期为（）

A.

10π9

4π

7π

B.

6

3π

C.

D.

32

4.（2020·天津8）已知函数f（x）=sin⎛x+π⎫．给出下列结论：

ç3⎪

⎝⎭

①f（x）的最小正周期为2π；

ç2⎪

②f⎛π⎫是f（x）的最大值；

⎝⎭

③把函数y=sinx的图象上所有点向左平移π个单位长度，可得到函数y=f（x）的图象．

3

其中所有正确结论的序号是

A.①B.①③C.②③D.①②③

5.（2020·全国卷Ⅰ理9）已知α∈（0,π），且3cos2α-8cosα=5，则sinα=（）

A.5B.2

33

C.1D.5

3

6.（2020·全国卷Ⅲ理9）已知2tanθ–tan（θ+π

4

9

）=7，则tanθ=（）

A.–2B.–1C.1D.2

2

7.（2020·全国卷Ⅲ理7）在△ABC中，cosC=

3

，AC=4，BC=3，则cosB=（）

A.19

B.

13

C.

12

2

D.

23

8.（2020·全国卷Ⅲ文11）在△ABC中，cosC=

5

5

3

，AC=4，BC=3，则tanB=（）

5

5

A.B.2

C.4

D.8

9.（2020·山东10、海南11）（多选）下图是函数y=sin（ωx+φ）的部分图像，则sin（ωx+φ）=（）

A.sin（x+π）B.

3

sin（π-2x）3

C.cos（2x+π）D.

6

cos（5π-2x）6

10.（2020·江苏8）已知sin2（π

4

+α）

=2，则sin2α的值是.

3

π

11.（2020·浙江13）已知tanθ=2，则cos2θ=；tan（θ-

2

）=．

4

12.（2020·全国卷Ⅱ文13）若sinx=-，则cos2x=．

3

13.（2020·江苏10）将函数y=3sin（2xπ）的图象向右平移π个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近

﹢

46

的对称轴的方程是.

14.（2020·北京14）若函数f（x）=sin（x+ϕ）+cosx的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为．

3

15.（2020·全国卷Ⅰ理16）如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，AB=AD=，AB⊥

AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=.

16.（2020·山东15、海南16）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形

DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=3，BH∥DG，EF=12cm，DE=2cm，A到直线DE和

5

EF的距离均为7cm，圆孔半径为1cm，则图中阴影部分的面积为cm2．

7

17.（2020·全国卷Ⅰ文18）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.

（1）

3

若a=

c，b=2

，求ABC的面积；

（2）若sinA+

sinC=2，求C.

3

2

13

18.（2020·天津16）在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c．已知a=22,b=5,c=．

（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）求sinA的值；

（Ⅲ）求sin⎛2A+π⎫的值．

ç4⎪

⎝⎭

19.（2020·全国卷Ⅱ文17）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知

5

cos2（π+A）+cosA=．

24

（1）求A；

（2）若b-c=

3a，证明：

△ABC是直角三角形．

3

20.（2020·全国卷Ⅱ理17）ABC中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC.

（1）求A；

（2）若BC=3，求ABC周长的最大值.

21.（2020·浙江18）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bsinA=

3a．

（I）求角B；

（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围．

22.（2020·江苏16）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3,c=

（1）求sinC的值；

（2）在边BC上取一点D，使得cos∠ADC=-4，求tan∠DAC的值．

5

2,B=45︒．

23.（2020·北京17）在ABC中，a+b=11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：

（Ⅰ）a的值：

1

（Ⅱ）sinC和ABC的面积．

条件①：

c=7,cosA=-；

7

19

条件②：

cosA=

cosB=．

816

注：

如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

3

24.（2020·山东17、海南17）在①ac=，②csinA=3，③c=

3b这三个条件中任选一个，补充在下

面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．

问题：

是否存在ABC，它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且sinA

?

注：

如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

π

3sinB，C=6，

三角函数参考答案

1.【答案】D

【解析】方法一：

由α为第四象限角，可得3π

2

所以3π+4kπ<2α<4π+4kπ,k∈Z

+2kπ<α<2π+2kπ,k∈Z，

此时2α的终边落在第三、四象限及y轴的非正半轴上，所以sin2α<0

故选：

D.

方法二：

当α

π时，cos2α=cos⎛-π⎫>0，选项B错误；

=-6ç3⎪

⎝⎭

π

当α时，cos2α=cos⎛-2π⎫<0，选项A错误；

=-3ç3⎪

⎝⎭

由α在第四象限可得：

sinα<0,cosα>0，则sin2α=2sinαcosα<0，选项C错误，选项D正确；故选：

D.

2.【答案】B

【解析】由题意可得：

sinθ+1sinθ+

3cosθ=1，

22

则：

3sinθ+3cosθ=1，3sinθ+1cosθ=3，

22223

从而有：

sinθcosπ+cosθsinπ=3，

663

⎛π⎫3

6

即sinçθ+⎪=.

⎝⎭3

故选：

B.

3.【答案】C

【解析】由图可得：

函数图象过点⎛-4π,0⎫，

ç9⎪

⎝⎭

将它代入函数f（x）可得：

cos⎛-4π⋅ω+π⎫=0

ç96⎪

⎝⎭

又⎛-4π,0⎫是函数f（x）图象与x轴负半轴的第一个交点，

ç9⎪

⎝⎭

4πππ3

所以-⋅ω+=-，解得：

ω=

962

2

T=2π=2π=4π

所以函数f（x）的最小正周期为

故选：

C

ω33

2

4.【答案】B

【解析】因为f（x）=sin（x+

π2π

π

3），所以周期T=ω=2，故①正确；

πππ5π1

f（）=sin（+）=sin=≠1，故②不正确；

22362

将函数y=sinx的图象上所有点向左平移π个单位长度，得到y=sin（x+π）的图象，

33

故③正确.故选：

B.

5.【答案】A

【解析】3cos2α-8cosα=5，得6cos2α-8cosα-8=0，

即3cos2α-4cosα-4=0，解得cosα=-2或cosα=2（舍去），

3

又α∈（0,π）,∴sinα=

=5.

1-cos2α

3

故选：

A.

6.【答案】D

【解析】2tanθ-tan⎛θ+π⎫=7，∴2tanθ-tanθ+1=7，

ç4⎪

1-tanθ

⎝⎭

1+t

令t=tanθ,t≠1，则2t-=7，整理得t2-4t+4=0，解得t=2，即tanθ=2.

1-t

故选：

D.

7.【答案】A

2

【解析】在ABC中，cosC=，AC=4，BC=3

3

根据余弦定理：

AB2=AC2+BC2-2AC⋅BC⋅cosC

AB2=42+32-2⨯4⨯3⨯2

3

可得AB2=9，即AB=3

AB2+BC2-AC29+9-161

由cosB===



2AB⋅BC2⨯3⨯39

1

故cosB=.

9

故选：

A.

8.【答案】C

【解析】设AB=c,BC=a,CA=b

c2=a2+b2-2abcosC=9+16-2⨯3⨯4⨯2=9∴c=3

3

1-

（1）2

9

45

a2+c2-b21

5

cosB==∴sinB==∴tanB=4

2ac99

故选：

C

9.【答案】BC

T2ππ

2π2π

【解析】由函数图像可知：

=π-=，则ω===2，所以不选A,

2π+π

2362Tπ

5π3π

当x=36

=5π时，y=-1∴2⨯12+ϕ=

+2kπ（k∈Z），

2

212

2

解得：

ϕ=2kπ+

π（k∈Z），

3

即函数的解析式为：

y=sin⎛2x+2π+2kπ⎫=sin⎛2x

ππ⎫=cos⎛2x+π⎫=sin⎛π-2x⎫.

ç3⎪ç

+6+2⎪ç

6⎪ç3⎪

⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

而cos⎛2x+π⎫=-cos（5π-2x）

ç6⎪6

⎝⎭

故选：

BC.

1

10.【答案】

3

【解析】

sin2（π+α）=（

2

cosα+

2sinα）2=1（1+sin2α）

4222

∴1（1+sin2α）=2∴sin2α=1233

1

故答案为：

3

22cos2θ-sin2θ

1-tan2θ

1-223

11.【解析】cos2θ=cos

θ-sin

θ=cos2θ+sin2θ=1+tan2θ=1+22=-5，

tan（θ-π

）=tanθ-1=2-1=1，

41+tanθ

31

1+23

故答案为：

-,

53

1

12.【答案】

9

【解析】cos2x=1-2sin2x=1-2⨯（-2）2=1-8=1.

399

1

故答案：

.

9

5π

13.【答案】x=-

24

πππ

【解析】y=3sin[2（x-）+]=3sin（2x-）

6412

2x-ππ

7πkπ

=+kπ（k∈Z）∴x=+

122242

5π

当k=-1时x=-

24

5π

故答案为：

x=-

24

（k∈Z）

p

14.【答案】

2

（2kπ+π

2

k∈Z均可）

cos2ϕ+（sinϕ+1）2

【解析】因为f（x）=cosϕsinx+（sinϕ+1）cosx=sin（x+θ），

所以

p

故答案为：

2

（2kπ+π

2

1

=2，解得sinϕ=1，故可取ϕ=π.

cos2ϕ+（sinϕ+1）2

2

k∈Z均可）.

15.【答案】-

4

3

【解析】AB⊥AC，AB=，AC=1，

AB2+AC2

由勾股定理得BC=

=2，

6

6

同理得BD=，∴BF=BD=，

3

在△ACE中，AC=1，AE=AD=，∠CAE=30

=1+

由余弦定理得CE2=AC2+AE2-2AC⋅AEcos30

∴CF=CE=1，

6

在BCF中，BC=2，BF=，CF=1，

，

3-2⨯1⨯

3⨯3=1，

2

CF2+BC2-BF21+4-61

由余弦定理得cos∠FCB===-.

1

故答案为：

-.

4

2CF⋅BC

2⨯1⨯24

16.【解析】设OB=OA=r，由题意AM=AN=7，EF=12，所以NF=5，因为AP=5,所以∠AGP=45︒，

因为BH//DG，所以∠AHO=45︒，

因为AG与圆弧AB相切于A点，所以OA⊥AG，即△OAH为等腰直角三角形；

在直角△OQD中，OQ=5-

2r，DQ=7-

2

2r，

2

因为tan∠ODC=OQ=3，所以21-32r=25-52r，

DQ522

解得r=22；

2

1

2

等腰直角△OAH的面积为S1=2⨯22⨯2

=4；

（）2

13π

扇形AOB的面积S=⨯⨯22

24

=3π，

15π

所以阴影部分的面积为S1+S2-2π=4+2.

5π

故答案为：

4+.

2

17.【解析】

（1）由余弦定理可得b2=28=a2+c2-2ac⋅cos150︒=7c2，

3

1

∴c=2,a=23,∴△ABC的面积S=2acsinB=；

A+C=

（2）30︒，

∴sinA+

3sinC=sin（30︒-C）+

3sinC

=1cosC+3sinC=sin（C+30︒）=2，

222

0︒

∴C+30︒=45︒,∴C=15︒.

18.

13

【解析】（Ⅰ）在ABC中，由a=22,b=5,c=及余弦定理得

2

a2+b2-c28+25-13

2⨯22⨯5

cosC===，

2ab2

π

4

又因为C∈（0,π），所以C；

asinC

22⨯2

π

4

13

（Ⅱ）在ABC中，由C，a=22,c=及正弦定理，可得sinA==2=

213；

13

（Ⅲ）由a

13

c13

1-sin2A

=313，

13

进而sin2A=2sinAcosA=12,cos2A=2cos2A-1=5，

1313

所以sin（2A+π）=sin2Acosπ+cos2Asinπ

=12⨯

2+5⨯

2=172.

44413213226

19.【解析】

（1）因为cos2⎛π+A⎫+cosA=5，所以sin2A+cosA=5，

ç2⎪44

⎝⎭

即1-cos2A+cosA=5，

4

1

解得cosA=，又0

2

p

所以A=；

3

πb2+c2-a21

（2）因为A=，所以cosA==，

3

即b2+c2-a2=bc①，

2bc2

又b-c=

3a②，将②代入①得，b2+c2-3（b-c）2=bc，

3

即2b2+2c2-5bc=0，而b>c，解得b=2c，

所以a=

3c，

故b2=a2+c2，

即ABC是直角三角形．

20.【解析】

（1）由正弦定理可得：

BC2-AC2-AB2=AC⋅AB，

AC2+AB2-BC21

∴cosA==-，

2AC⋅AB2

A∈（0,π），∴A=2π

3

（2）由余弦定理得：

BC2=AC2+AB2-2AC⋅ABcosA=AC2+AB2+AC⋅AB=9，即（AC+AB）2-AC⋅AB=9.

AC⋅AB≤⎛

ç

⎝

AC+AB⎫2

2

⎪（当且仅当AC=AB时取等号），

⎭

22⎛AC+AB⎫232

⎪

∴9=（AC+AB）-AC⋅AB≥（AC+AB）-ç

=（AC+AB），

24

解得：

AC+AB≤2

⎝⎭

3

（当且仅当AC=AB时取等号），

3

∴ABC周长L=AC+AB+BC≤3+2

，∴ABC周长的最大值为3+23.

21.【解析】（I）由2bsinA=

3a结合正弦定理可得：

2sinBsinA=

p

3

sinA,∴sinB=3

2

△ABC为锐角三角形，故B=.

3

（II）结合

（1）的结论有：

cosA+cosB+cosC=cosA+1+cos⎛2π-A⎫

2ç3⎪

⎝⎭

=cosA-1cosA+3sinA+1=3sinA+1cosA+1

222

=sin⎛A+π⎫+1.

222

ç6⎪2

⎝⎭

⎧0<2π-A<π



⎪32

π

由⎨

⎪0

⎪⎩2

ππππ2π

可得：

62363

sin⎛A+π⎫∈⎛3⎤

⎛π⎫1

⎛3+13⎤

则ç3⎪ç

2,1⎥，sinçA+3⎪+2∈ç

2,2⎥.

⎝⎭⎝⎦⎝⎭⎝⎦

即cosA+cosB+cosC的取值范围是⎛3+1,3⎤.

ç22⎥

⎝⎦

22.【解析】

（1）由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=9+2-2⨯3⨯

2⨯2=5，所以b=.

5

2

由正弦定理得c

=b⇒sinC=csinB=5.

sinCsinBb5

（2）由于cos∠ADC=-4，∠ADC∈⎛π,π⎫，所以sin∠ADC=

=3.

1-cos2∠ADC

5ç2⎪5

⎝⎭

1-sin2C

25

由于∠ADC∈⎛π,π⎫，所以C∈⎛0,π⎫，所以cosC==

ç2⎪ç2⎪

⎝⎭⎝⎭5

所以sin∠DAC=sin（π-∠DAC）=sin（∠ADC+∠C）

=sin∠ADC⋅cosC+cos∠ADC⋅sinC=3⨯25+⎛-4⎫⨯



5=25.

55ç5⎪525

由于∠DAC∈⎛0,π⎫，所以cos∠DAC=

⎝⎭

1-sin2∠DAC

15

=1.

ç2⎪

⎝⎭25

sin∠DAC2

所以tan∠DAC==.

cos∠DAC11

23.【解析】选择条件①（Ⅰ）

c=7,cosA=-1，a+b=11

7

∴a=8

+c2-2bccosA∴a2=（11-a）2+72-2（11-a）⋅7⋅（-1）

a2=b2

7

（Ⅱ）

cosA=-1，A∈（0,π）∴sinA=

=43

1-cos2A

77

a

由正弦