第3章习题解求下列周期信号的基波角频率和周期13.docx
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第3章习题解求下列周期信号的基波角频率和周期13
第3章习题解求下列周期信号的基波角频率和周期。
（1）；（3
第3章习题解
3-1．求下列周期信号的基波角频率和周期。
T0
t5t
（1），，ft,Acos，Bsin；（3）；，，ft,Acos4t，Bsin6t46
（2）；，，ft,Acos2,t,Bsin3,t，Csin5,t
2j10t（4）；（5）；，，，，，，ft,eft,sin,t
2,jt（6）；（7）；，，，，，，ft,Ae，Bsin6tft,Acos2t,Bsin5t
2,t5,t,,,,3-2：
已知连续时间周期信号，，。
将其表示成复指ft,2，cos，4sin,,,,33,,,,
数傅立叶级数形式，求，并画出双边幅度谱和相位谱。
Fn
解：
由于，，ft为连续的时间周期信号。
由于题易知T=6=,13
2,t5,t,,,,又，，ft,2，cos，4sin,,,,33,,,,31,
即有a,1a,2b,4205
111，，，，F,a,jb,F,a,jb,,j2F,a,222255500222
46
（1）（）,ftAcos4tB，sin6tXt,，（）（Xt）
12
2,,
,对为Xt（）周期信号,T,
11
w2
1
2,
对也Xt（）为周期信号,T,,.
22
w3
2
T,,,3
1
,因是有理数,则X（t）是周期信号,TT,,23T,,.
12
T,,,2
2
2
XtT,,
（2）（）,8,,
11
w
1
212
,
XtT（）,,,.
22
5w
2
F,F,F134Fn
t,t23jj135故，，ft,2，e,2je22FFF0,55又其双边幅F,Fn,n1FF,22
度谱如图3-2-1所示
0w,5w,2w2w5w1111
图3-2-1易知,,,,,,,,,,01234n
,,,,,,,5,5222其相位谱如图3-2-2所示
w05w,5w11
,2
图3-2-2相位谱
3-3已知周期电压
,,,,,,,,，，ftttt,2，2cos，,sin2，，cos3，,,,,,,cn443,,,,,,
2
cc01，试画其单边，双边幅度谱和相位
1cc32谱。
0ww3w2wT,2,解：
由题易知w,11111
图3-3-1单边幅度谱a,a,2b,a,10123
故c,c,2c,c,1F0123n
F其单边幅度谱如图3-3-110
j1F,,F,F,1F,20.5231022
F,Fn,n-3wwwwww-2-023w111111
图3-3-2双边幅度谱故双边幅度谱如图3-3-2所示
47
4
,,，，ft,2，2cos（t，），cos（2t,），cos（3t，）,n443
,,,,,,故有,,,,1234433
04其相位谱如图3-3-3所示
ww2w3w111
,4
图3-3-3相位谱
3-4如题图3-4所示信号，求指数形式和三角形式的傅里叶级数。
，，ft1
，，ft2E1
0T/2T
t,E2TT,T，，at，，b0，，ft3，，ft4AA
TTT0,T2TtT0,T,t44，，，，cd
，，，，ftft5611
TTTTT,TT0T,,,TT0,tt422444
，，，，fe题图3－4
解：
（a）由于f（t）为奇函数故有a,010
T02E2b,[sin（nwt）dt，sin（nwt）dt},Tn,,0T2
2E[cos（n,）,1]=n,
k,N0n=2k
4Ek,Nn=2k+1n,
4E111f（t）,,[sin（wt），sin（3wt），sin（5wt），,,,,，sin（（2k，1）wt），,,,]？
1,352k，1
,2E1=[cos（n,）,1]sin（nwt）,,nn1,
48
1EF,（a,jb）,,j[cos（n,）,1]nnn2n,
，,，,E1jnwtjnwtf（t）,Fe,,j[cos（n,）,1}e,,1n,n,,,,
T11t
（1）a,,dt,（b）0,02TT
T2ta,（1,）cos（nwt）dt,0n,0TT
Ttb,（1,）sin（nwt）dtn,0T
1=n,
11f（t）,0.5，[sin（wt），0.5sin（2wt），,,,,，sin（nwt）,,,]故2,n
111FajbjF,,（,）,,（n,,1,,2,,,,）0nnn2n,2
（c）由于为偶函数故有f（t）b,03n
TTAtAA1222adtAtdt,，,,[
（2）]T0,,0TTT22
TT22At2A2a,[cos（nwt）dt，（2A,t）cos（nwt）dt]Tn,,0TTT2
2A[cos（n,）,1}=22n,
k,N0n=2k
4,Ak,Nn=2k+122n,
A,4A11f（t）,，[cos（wt），cos（3wt），,,,,，cos[（2k，1）wt],,,32229,（2k，1）
AF,a,002
k,N0n=2k
Fn2,Ak,Nn=2k+122n,
,,n
（d）由于f（t）为偶函数故b,04n
49
TA12aftdt,,（）T0,,T42
T014A4A4a,[（A，t）cos（nwt）dt，（A,t）cos（nwt）dt]T,n,,0TTT4
4An,（1cos）=,222n,
，,A4A1n,f（t）,，（1,cos）cos（nwt）,42242n,n1,
（e）由于为偶函数故f（t）b,05n
1a,0,
T,224a,sin（t）cos（nwt）dtnT,,TT4
2n,=,cos22
（1）,n,
121n,f（t）,,cos（）cos（nwt）,52,,2n,1n1,
1F,0,
1n,F,,cosn22（,1）,n
2,,（f）全波余弦信号为,cos（wt）f（t）w006T
又因为为偶函数故f（t）b,06n
2a,0,
2a,f（t）cos（nwt）dtn6,T
41n，1=（,1）2,4n,1
241n，1f（t）,，（,1）cos（nwt）,62,,4n,1n1,
3－5已知周期信号的一个周期的前四分之一波形如题图3-5所示，就下列情况画出一个周期内完
整的波形。
（1），，ft是的偶函数，其傅里叶级数只有偶次谐波；t
50
（2）是的偶函数，其傅里叶级数只有奇次谐波；，，ftt
（3）是的偶函数，其傅里叶级数有偶次谐波和奇次谐波；，，ftt
（4）是的奇函数，其傅里叶级数只有偶次谐波；，，ftt
（5）是的奇函数，其傅里叶级数只有奇次谐波；，，ftt
是的奇函数，其傅里叶级数有偶次谐波和奇次谐波。
，，ftt
，，ft
A1
t3
ttT012t,A24
题图3－5
35,
51
（1）只有偶次谐波,则意味着是ft（）偶谐函数,在一ft（）个内的波T形如下:
（2）只有奇次谐波,则意味着是ft（）奇谐函数,在一ft（）个内的波T形如下:
解:
3-6利用信号的各种对称性，判断题图3-6所示各信号的傅里叶级数所包含的分量形式。
（3）同是有奇次与偶次,则ft（）既非奇谐亦非偶谐,ft（）在一个内T的波形如下（答案不唯一）,
，，，，ftft12
EE
TTT00Ttt24,E,E，，b，，a，，ft3，，ft4TAA（4）分析同
（1）,但为ft（）奇函数.2
T0Tt4,A0T,T2Tt，，d，，c，，ft，，ft5611
TTTT,T0T,,2T0Tt,T4224t，，，，ef，，ft7，，ft8
11（5）分析同
（2）,但为ft（）奇函数.
T2T00TT,Ttt2,12,1，，g，，h
题图3－6
52
（6）分析同（3）,所以波形可是图（3）或图（4）.
即可是图
（1）也可是图
（2）.
解：
（a）由于f（t）为偶函数，只含有直流分量和偶次谐波余弦分量。
（b）由于f（t）为奇函数，只含有基波分量和奇次谐波正弦分量。
（c）由于f（t）为偶函数，只含有基波分量和奇次谐波余弦分量。
（d）由f（t）为偶函数，只含有基波分量和奇次谐波余弦分量。
（e）由于f（t）为去直流后为奇函数，只含有直流分量和偶次谐波正弦
分量。
（f）由于f（t）为偶函数，只含有直流分量和偶次谐波余弦分量。
（g）由于f（t）为偶谐函数，只含有正弦分量。
（h）由于f（t）为奇谐函数，只含奇次谐波分量。
3-7求如题图3-7所示信号的傅里叶变换。
，，ft，，，，ftft324，，ft1AAAA
,,
0,,,tt00t,0,At,A,A
，，，，cd，，，，ab
题图3－7解：
（a）对f（t）求一阶和二阶导数得到
A,f（t）,tG（t）,A,（t，,）,A,（t,,）2,t
A,,,,f（t）,,A,（t，,）,A,（t,,），[,（t，,）,,（t,,）],
Ajw,jw,jw,jw,F（w）,[e,e],Ajw[e，e]2,,f（t）A2jsin（w,）,2Ajwcos（w,）=,
AF（0）,02,
1F（w）,F（w），,F（0）,（w）122jw-A,A,（t，,）,A,（t,,）
53
2jA=sin（w,）,2Acos（w,）jw
F（0）,01,,f（t）
F（w）1F（w）,，,F（0）,（w）1AjwA,,（t,,）A,,（t，,）,,,j2A[cos（w,）,sa（w,）]=w
,A,（t,,）-A,,A,（t，,）
（b）对f（t）求一阶与二阶导数得到：
f（t）
A,,f（t）,A（t）,G（t,）,,A,（t）2,
A,,,,f（t）,A,（t）,[,（t）,,（t,,）]t,A,A,jw,,F（w）,jAw,[1,e]2,
,f（t）F（0）,02A,A,（t）,（t,,）,
F（w）1AA,jw,2[jAw,，e]=F（w）,，,F（0）,（w）12tjw,,jw,A,（t）,
F（w）Ajw,1F（w）,，,F（w）,（w）,[1,jw,,e]22jww,
（c）对f（t）求一阶和二阶导数得到
2w,令1,
2,,f（t）,,wf（t），wA,（t）,wA,（t,,）111
t02,jw,F（w）,,wF（w），wA,wAe2111
F（0）,02
F（w）2F（w）,1jw
0t
F（w）,01
54
jw,2F（w）wF（w）wAwAe,，,21111F（w）,,22ww,,1
Aw,jw,1F（w）,（1,e）22w,w1
t0（d）对f（t）求一阶和二阶导数得到
2w,1,
2,,f（t）,,wf（t）,Aw,（t），Aw,（t，,）111
jw,2F（w）,,wF（w）,Aw，Awe2111
F（0）,02
F（w）2F（w）,1jw
F（w）,01
jw,2F（w）wF（w）AwAwe,,，2111F（w）,,22,w,w
jw,Aw（e!
）,1F（w）,22ww,1
3-8：
，，，，，，设，试用表示下列各信号的频谱。
ft,F,F,
2
（1），，，，；
（2）,,，，ft，ft1，mftcos,t0（3），，，，，，；（4）；f6,3tt，2ft
，，dft,j,t0（5），，tf3t；（6）edt（7），，，，，，，，1,tf1,t；（8）ft,ft,3；
tt，5（9），，，，,f,d,f,d,（10）,,,,,,
1,t/2，，dft,jt（11），，，，f,d,，f3t,2e（12）；,,,dt（13），，，，，，，，ft,Sa2tftut（14）
，，df1,t，，j2t,3（15），，，，（16）t,2ftetdt
12f（t），f（t）,f（t）.f（t），f（t）,[F（w}*F（w）]，F（w）解：
（1）,2
55
（2）[1，mf（t）]cos（wt）,cos（wt），mf（t）cos（w（t）000
m,,[,（w，w），,（w,w）]，{F[j（w，w），F[j（w,w）]}00002
11,j2wf（6,3t）,f[,3（t,2）],F（,jw）e（3）33
（4）（t，2）f（t）,tf（t），2f（t）,jF（w），2F（w）
1wf（3t）,F（）（5）33
1w,tf（3t）,jF（）33
df（t）,jwF（w）（6）dt
df（t）,jwt0e,j（w，w）F（w，w）00dt
jw[（,）]dFwe,jw（1,）（1,）,（1,）,（1,）,（,）,（7）tftfttftFwejdw
jw,,,jF（,w）e
j3w（8）f（t,3）,F（w）e
j3w2,j3wf（t）*f（t,3）,F（w）.F（w）e,F（w）e
t1（9）,f（,）d,,,F（0）,（w），F（w）,,,jw
t，51j5w（10）f（,）d,,e[,F（0）,（w），F（jw）],,,jw1,tt/2,jw1,jw（11）f（,）d,,,2f[,2（,,1）]d,,,2e[,F（0）,（w），F（）],,,,,,j2w2
df（t）,jwF（w）（12）dt
df（t）1w1，,jtj2（w，1）/3f（3t2）ejwF（w）F（）e，,,，dt33
（13）sa（t）,,G（w）/24
f（t）*sa（t）,F（w）G（w）42
11f（t）u（t）,F（jw）*[，,,（w）]（14）2,jw
56
df（1,t）,jw,jwF（,w）e（15）dt
df（1,t）,jw,jw,jw,t,jwF（,w）e,F（,w）e,wF（,w）edt
j2（t,3）,j6,（16）（t,2）f（t）e,e[F（w,2）,2F（w,2）]
3-9先求如题图3-9（a）所示信号的频谱的具体表达式，再利用傅里叶变换的性质由，，，，ftF,
求出其余信号频谱的具体表达式。
，，F,
，，ft，，，，，，ftftft3122111
0012020t1,2,1ttt
，，，，，，，，dabc
，，ft，，ft65，，ft4111
010120t1tt
，，，，，，fge
题图3－9
解：
（a）对f（t）求一阶和二阶导数得到,f（t）,,（t）,G（t）1
,,f（t）,,（t）,,（t），,（t，1）
jwF（w）,jw,1，e2
F（w）1,jw2F（w）,,（1,jw,e）22,ww
（b）由于f（t）,f（t,1）1
1,jw,jw,jwF（w）,F（w）e,（1,jw,e）e故12w
（c）f（t）,f（,t）,f（,t，1）21
1jwjwF（w）,F（,w）,（1，jw,e）e212w
1,j2wf（t）,f（,t/2,1）,f[,（t，2）],2eF（,j2w）（d）32
j2wej2wj2wj4wF（w）,（e，2jwe,e）322w
57
f（t）0,t,1,（e）f（t）,4ftt（,）,1,,0,
f（t）,f（t），f（,t）,F（w），F（,w）4
142F（w）,（2,2cosw）,sin（w/2）422ww
jw（f）f（t）,f（t,1）,F（w）e544
4,jw2F（w）,esin（w/2）52w
（g）f（t）,G（t,1/2）61
jw/2F（w）,sa（w/2）e6
3-10利用三种方法求题图3-10所示信号的频谱。
f（t）1f（t）2
1
tt,-,00,,T,T,-122
，，，，ab
题图3－10
解：
（a）方法一利用定义
t,,t,/,,,,ft（）,,0,
t2j,jwtF（w）,edt,[cos（w,）,sa（w,）],,,,w
方法二利用时域微分性质
对f（t）求一阶导数得到
1,f（t）,G（t）,,（t，,）,,（t,,）2,,
F（w）,2sa（w,）,2cos（w,）1
F（0）,01
F（w）21F（w）,，,F（0）,（w）,j[cos（w,）,sa（w,）]1jww
58
方法三利用频域微分性质
tt,,f（t）,[u（t，）,u（t,）],G（t）2,,,
G（t）,2,sa（w,）2,
jd[2,sa（w,）]j2F（w）,,[cos（w,）,sa（w,）],dww
（b）方法一利用定义
方法二利用频域微分性质
方法三利用时域微分性质
,0.5（1，cost）,t,1,311题图3-11所示余弦脉冲信号为f（t）,，试用下列方法分别求频,0,t,1,,谱
（1）利用傅里叶变换的定义；
（2）利用微分特性；
11（3），利用线性性和频域卷积性质。
f（t）,G（t）（，cos,t）222
，，ftf（t）f（t）221E
tt,0,-11020t,44,E
题图3－12题图3－13题图3－11
，,jwt,解：
Fwftedt（）（）,,,,
11,jwt,，,tedt[1cos（）],1,2
,Saw（）Fw（）,w,21（）,,
2,ω,E3－12已知三角脉冲，，ft的傅里叶变换为，求题图3-12所示信号F（ω）,Sa（）1124
，，的傅里叶变换F,f（t）,f（t,）cosωt22122
59
3-13已知信号如题图3-13所示，设其频谱函数为，，，不要求，，，求下列各值。
F,F,
,2
（1），，，，；
（2），，；（3）（未做）F0F,d,F,d,,,,,,,
3－14如题图3-14所示两门函数：
ω,ω,312,12.jω,jω,f（t）,F（）,ESa（）,f（t）,F（）,ESa（）1111222222
（1）画出的图形；f（t）,f（t）*f（t）12
（2）求，，的频谱函数。
f（t）,f（t）*f（t）F,12
f（t）2Ef（t）21E1
tt,,22,,1100--2222（b）（a）
题图3－14
60
314,
,解:
fft（）cos（）wt
210
,
2
,解ftE）[（,，ut）（,,ut）]:
（1）（
11
由频域卷积定理有22
,
1,
,
ftE（）[,，ut（）,,ut（）]
F{（）}ftF,,（）wF{（）ft,,}{cos（Fwt）}
22
1210
22
2,2所以ftft（）（）,图形如下
Ew,,
12
2
FwSa,由（）（）
1
24
由时移性质可得
w,
j
,Ew,
2
2
F{（）ft,,}Sae（）
1
224
而F,{cos（）wt}[（,,ww，，）（,ww,）]
000
w,w,
00
jj
（）ww，,（）ww,,E,
22
00
22
FwSa,，Sae[即（）{[]e]]}
2
444
cSa，，,,，，，，，，ft,Sa,t，Sa,t,2,3.15已知双信号，试求其频谱。
cc,
wc解：
?
（）{（）[
（2）]},，,,ftSawtSawtcc,
1,?
FSawt[（）]2,,,c2wwcc
,,2jw?
FSawte{[
（2）]},,,cwc
w,,,,,,22jwjwc?
Fwee（）（）1,，,，,wwcc
3.16画出下列各信号的波形，并求它们的频谱
（1）；，，，，ft,Gt1,
（2）；，，，，，，ft,Gt,,t,t2,0
（3），，，，，，，，,,ft,Gt,,t，t，,t,t3,00
w,w,解：
（1）?
ftGt（）（）,1,
w,?
FwESa（）（）,,2
（2）?
ftGttt（）（）*（）,,,20,
?
FwGtt（）（）,,,0,,
（3）?
ftGttttt（）（）*[（）（）],,，，,,300,
61
（2）{因Fft（）},,ESa（）,{Fft（）},,ESa（）.
11,22,
22
ww,
,
Fft{（）,,ftE（）},SaE（）,Sa（）
所以
121,2,
22
ww,,
,
,,EESaSa（）（）
12,,
22
，，,GttGtt（）（）,,00
w,jwtjwt,00（）（）（）FwESaee,,，2
w,?
（）2（）FwESawwt,,s02
t，13.17已知，求下列各信号的频谱的具体表达式，，，，，，,,ft,eut,ut,1
（1）；，，，，ft,ft1
（2）；，，，，，，ft,ft，f,t2
（3），，，，，，ft,ft,f,t3
（4），，，，，，ft,ft，ft,14
（5），，，，，，ft,tft，ft，25
,,tt
（1）解：
（1）?
ftfteuteeut（）（）（）
（1）,,,,1
1,t[（）]Feut,1，jw
1,,,
（1）tjw[
（1）]Feute,,1，jw
e1,jw?
Ffte[（）],,111，，jwjw
1,jw?
（）（）Fwee,,1，jw
1jw
（2）?
（（）]（）（）FftFwee,,,,,1,jw
jwjw11eeFftftfte[（）]（）（）（）,，,,，,,21111jwjwjwjw，,，,
jwjw2
（1）
（1）eejwejw,，，,,2211，，ww
1?
Fwewww（）（22cos2sin）,,，21，w
（3）?
Fftftft[（）]（）（）,,,3
jwjw11eee（）,,,，1111jwjwjwjw，,，,
62
21jwjwjw,,,,，eejwejw[
（1）
（1）]2211，，ww
21jw,,,,ejwjww（2sin2cos*）2211，，ww
1,,,,（22sin2cos）jwejwjww21，w
2?
Fwwewww（）（2sin2cos）,，，2jw
（1），
jwe,jw（4）?
Fftee[
（1）]（）,,,1，jw
1,,jwjw?
Fweee（）（）
（1）,,，1，jw
dFw（）（5）?
Fjtft[（）],,dw
dFwj（）1,,jwjwFtftjjeeje[（）][（）*,,,,，2dwjwjw
（1）1，，
,jwjweee,,,2，，jwjw
（1）1
2jwe,jwFftee[
（2）]（），,,jw1，
,jwjwjw2eeee,,jw?
Fwee,,，,（）（）2，，，jwjwjw
（1）11
3.18用傅里叶变换的对称性，求下列各信号的频谱
，，sin,2t,1
（1），，,t,1
2，，,，，sint
（2）；,,t
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