高考数学重点难点易错点复习集合的思想及应用Word格式文档下载.docx
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0和Δ2<
0组成的不等式组，得
∴k=1,故存在自然数k=1,b=2,使得（A∪B）∩C=.
［例2］向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：
赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；
另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人.问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？
在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考生切实掌握.本题主要强化学生的这种能力.属★★★★级题目.
解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表示出来.
（为锻炼您的习作能力，巩固复习效果，以下步骤请自行完成）
高考数学重点难点复习
（2）：
充要条件的判定
充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件p和结论q之间的关系.本节主要是通过不同的知识点来剖析充分必要条件的意义，让考生能准确判定给定的两个命题的充要关系.
（★★★★★）已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根α、β，证明：
|α|<
2且|β|<
2是2|a|<
4+b且|b|<
4的充要条件.
［例1］已知p：
|1－
|≤2,q:
x2－2x+1－m2≤0（m>
0）,若⌐p是⌐q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围.
本题以含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法为考查对象，同时考查了充分必要条件及四种命题中等价命题的应用，强调了知识点的灵活性.
本题解题的闪光点是利用等价命题对题目的文字表述方式进行转化，使考生对充要条件的难理解变得简单明了.
对四种命题以及充要条件的定义实质理解不清晰是解此题的难点，对否命题，学生本身存在着语言理解上的困难.
利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清晰命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解集间的包含关系，进而使问题解决.
由题意知：
命题：
若⌐p是⌐q的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为：
p是q的充分不必要条件.
p:
|≤2
－2≤
－1≤2
－1≤
≤3
－2≤x≤10
q:
x2－2x+1－m2≤0
［x－（1－m）］［x－（1+m）］≤0
*
∵p是q的充分不必要条件，
∴不等式|1－
|≤2的解集是x2－2x+1－m2≤0（m>
0）解集的子集.
又∵m>
∴不等式*的解集为1－m≤x≤1+m
∴
，∴m≥9，
∴实数m的取值范围是［9，+∞
.
［例2］已知数列{an}的前n项Sn=pn+q（p≠0,p≠1）,求数列{an}是等比数列的充要条件.
本题重点考查充要条件的概念及考生解答充要条件命题时的思维的严谨性.
以等比数列的判定为主线，使本题的闪光点在于抓住数列前n项和与通项之间的递推关系，严格利用定义去判定.
因为题目是求的充要条件，即有充分性和必要性两层含义，考生很容易忽视充分性的证明.
由an=
关系式去寻找an与an+1的比值，但同时要注意充分性的证明.
高考数学重点难点复习（3）：
运用向量法解题
平面向量是新教材改革增加的内容之一，近几年的全国使用新教材的高考试题逐渐加大了对这部分内容的考查力度，本节内容主要是帮助考生运用向量法来分析，解决一些相关问题.
（★★★★★）三角形ABC中，A（5，－1）、B（－1，7）、C（1，2），求：
（1）BC边上的中线
AM的长；
（2）∠CAB的平分线AD的长；
（3）cosABC的值.
［例1］如图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD.
（1）求证：
C1C⊥BD.
（2）当
的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？
请给出证明.
本题主要考查考生应用向量法解决向量垂直，夹角等问题以及对立体几何图形的解读能力.
解答本题的闪光点是以向量来论证立体几何中的垂直问题，这就使几何问题代数化，使繁琐的论证变得简单.
本题难点是考生理不清题目中的线面位置关系和数量关系的相互转化，再就是要清楚已知条件中提供的角与向量夹角的区别与联系.
利用a⊥b
a·
b=0来证明两直线垂直，只要证明两直线对应的向量的数量积为零即可.
（1）证明：
设
=a,=b,
=c,依题意，|a|=|b|，、、
中两两所成夹角为θ，于是
=a－b，
=c（a－b）=c·
a－c·
b=|c|·
|a|cosθ－|c|·
|b|cosθ=0,∴C1C⊥BD.
（2）解：
若使A1C⊥平面C1BD，只须证A1C⊥BD，A1C⊥DC1，
由
=（a+b+c）·
（a－c）=|a|2+a·
b－b·
c－|c|2=|a|2－|c|2+|b|·
|a|cosθ－|b|·
|c|·
cosθ=0,得
当|a|=|c|时，A1C⊥DC1，同理可证当|a|=|c|时，A1C⊥BD，
=1时，A1C⊥平面C1BD.
高考数学重点难点复习（4）：
三个“二次”及其关系
三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具.高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关.本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法.
已知对于x的所有实数值，二次函数f（x）=x2－4ax+2a+12（a∈R）的值都是非负的，求关于x的方程
=|a－1|+2的根的取值范围.
［例1］已知二次函数f（x）=ax2+bx+c和一次函数g（x）=－bx，其中a、b、c满足a>
b>
c,a+b+c=0,（a,b,c∈R）.
两函数的图象交于不同的两点A、B；
（2）求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围.
本题主要考查考生对函数中函数与方程思想的运用能力.属于★★★★★题目.
解答本题的闪光点是熟练应用方程的知识来解决问题及数与形的完美结合.
由于此题表面上重在“形”，因而本题难点就是一些考生可能走入误区，老是想在“形”上找解问题的突破口，而忽略了“数”.
利用方程思想巧妙转化.
消去y得ax2+2bx+c=0
Δ=4b2－4ac=4（－a－c）2－4ac=4（a2+ac+c2）=4［（a+
c2］
∵a+b+c=0,a>
c,∴a>
0,c<
c2>
0,∴Δ>
0,即两函数的图象交于不同的两点.
设方程ax2+bx+c=0的两根为x1和x2,则x1+x2=－
x1x2=.
|A1B1|2=（x1－x2）2=（x1+x2）2－4x1x2
高考数学重点难点复习（5）：
求解函数解析式
求解函数解析式是高考重点考查内容之一，需引起重视.本节主要帮助考生在深刻理解函数定义的基础上，掌握求函数解析式的几种方法，并形成能力，并培养考生的创新能力和解决实际问题的能力.
（★★★★）已知f（2－cosx）=cos2x+cosx,求f（x－1）.
［例1］
（1）已知函数f（x）满足f（logax）=
（其中a>
0,a≠1,x>
0）,求f（x）的表达式.
（2）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c满足|f
（1）|=|f（－1）|=|f（0）|=1,求f（x）的表达式.
本题主要考查函数概念中的三要素：
定义域、值域和对应法则，以及计算能力和综合运用知识的能力.属★★★★题目.
利用函数基础知识，特别是对“f”的理解，用好等价转化，注意定义域.
本题对思维能力要求较高，对定义域的考查、等价转化易出错.
（1）用换元法；
（2）用待定系数法.
（1）令t=logax（a>
1,t>
0;
0<
a<
1,t<
0）,则x=at.
因此f（t）=
（at－a－t）
∴f（x）=
（ax－a－x）（a>
1,x>
1,x<
0）
（2）由f
（1）=a+b+c,f（－1）=a－b+c,f（0）=c
得
高考数学重点难点复习（6）：
函数的值域及求法
函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.本节主要帮助考生灵活掌握求值域的各种方法，并会用函数的值域解决实际应用问题.
（★★★★★）设m是实数，记M={m|m>
1},f（x）=log3（x2－4mx+4m2+m+
）.
当m∈M时，f（x）对所有实数都有意义；
反之，若f（x）对所有实数x都有意义，则m∈M.
（2）当m∈M时，求函数f（x）的最小值.
（3）求证：
对每个m∈M,函数f（x）的最小值都不小于1.
［例1］设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2,画面的宽与高的比为λ（λ<
1）,画面的上、下各留8cm的空白，左右各留5cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？
如果要求λ∈［
］，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？
本题主要考查建立函数关系式和求函数最小值问题，同时考查运用所学知识解决实际问题的能力，属★★★★★级题目.
主要依据函数概念、奇偶性和最小值等基础知识.
证明S（λ）在区间［
］上的单调性容易出错，其次不易把应用问题转化为函数的最值问题来解决.
本题属于应用问题，关键是建立数学模型，并把问题转化为函数的最值问题来解决.
设画面高为xcm,宽为λxcm,则λx2=4840,设纸张面积为Scm2,则S=（x+16）（λx+10）=λx2+（16λ+10）x+160,将x=
代入上式得：
S=5000+44
（8+
）,当8=
即λ=
<
1）时S取得最小值.此时高：
x=
=88cm,宽：
λx=
×
88=55cm.
如果λ∈［
］可设
≤λ1<
λ2≤
则由S的表达式得：
……
高考数学重点难点复习（7）：
函数的单调性与奇偶性
（一）
函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象.
（★★★★）设a>
0,f（x）=
是R上的偶函数，
（1）求a的值；
（2）证明：
f（x）在（0，+∞）上是增函数.
［例1］已知函数f（x）在（－1，1）上有定义，f（
）=－1,当且仅当0<
x<
1时f（x）<
0,且对任意x、y∈（－1,1）都有f（x）+f（y）=f（）,试证明：
（1）f（x）为奇函数；
（2）f（x）在（－1，1）上单调递减.
本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力.属★★★★题目.
奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.
本题对思维能力要求较高，如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得.
对于
（1），获得f（0）的值进而取x=－y是解题关键；
对于
（2），判定
的范围是焦点.
证明：
（1）由f（x）+f（y）=f（）,令x=y=0,得f（0）=0,令y=－x,得f（x）+f（－x）=f（
）=f（0）=0.∴f（x）=－f（－x）.∴f（x）为奇函数.
（2）先证f（x）在（0，1）上单调递减.
令0<
x1<
x2<
1,则f（x2）－f（x1）=f（x2）－f（－x1）=f（
）
∵0<
1,∴x2－x1>
0,1－x1x2>
0，∴
高考数学重点难点复习（8）：
函数的单调性与奇偶性
（二）
函数的单调性、奇偶性是高考的重点和热点内容之一，特别是两性质的应用更加突出.本节主要帮助考生学会怎样利用两性质解题，掌握基本方法，形成应用意识.
（★★★★★）已知偶函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f
（2）=0,解不等式f［log2（x2+5x+4）］≥0.
［例1］已知奇函数f（x）是定义在（－3，3）上的减函数，且满足不等式f（x－3）+f（x2－3）<
0,设不等式解集为A，B=A∪{x|1≤x≤
},求函数g（x）=－3x2+3x－4（x∈B）的最大值.
本题属于函数性质的综合性题目，考生必须具有综合运用知识分析和解决问题的能力，属★★★★级题目.
主要依据函数的性质去解决问题.
题目不等式中的“f”号如何去掉是难点，在求二次函数在给定区间上的最值问题时，学生容易漏掉定义域.
借助奇偶性脱去“f”号，转化为xcos不等式，利用数形结合进行集合运算和求最值.
且x≠0,故0<
又∵f（x）是奇函数，∴f（x－3）<
－f（x2－3）=f（3－x2）,又f（x）在（－3，3）上是减函数，
∴x－3>
3－x2,即x2+x－6>
0,解得x>
2或x<
－3,综上得2<
即A={x|2<
},
∴B=A∪{x|1≤x≤
}={x|1≤x<
},又g（x）=－3x2+3x－4=－3（x－
）2－
知：
g（x）在B上为减函数，∴g（x）max=g
（1）=－4.
［例2］已知奇函数f（x）的定义域为R，且f（x）在［0，+∞）上是增函数，是否存在实数m,使f（cos2θ－3）+f（4m－2mcosθ）>
f（0）对所有θ∈［0,
］都成立？
若存在，求出符合条件的所有实数m的范围，若不存在，说明理由.
本题属于探索性问题，主要考查考生的综合分析能力和逻辑思维能力以及运算能力，属★★★★★题目.
主要依据函数的单调性和奇偶性，利用等价转化的思想方法把问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题.
考生不易运用函数的综合性质去解决问题，特别不易考虑运用等价转化的思想方法.
主要运用等价转化的思想和分类讨论的思想来解决问题.
∵f（x）是R上的奇函数，且在［0，+∞）上是增函数，∴f（x）是R上的增函数.于是不等式可等价地转化为f（cos2θ－3）>
f（2mcosθ－4m）,
即cos2θ－3>
2mcosθ－4m,即cos2θ－mcosθ+2m－2>
0.
设t=cosθ,则问题等价地转化为函数g（t）=t2－mt+2m－2=（t－
+2m－2在［0，1］上的值恒……
高考数学重点难点复习（9）：
指数函数、对数函数问题
指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一，本节主要帮助考生掌握两种函数的概念、图象和性质并会用它们去解决某些简单的实际问题.
（★★★★★）设f（x）=log2
F（x）=+f（x）.
（1）试判断函数f（x）的单调性，并用函数单调性定义，给出证明；
（2）若f（x）的反函数为f－1（x）,证明：
对任意的自然数n（n≥3）,都有f－1（n）>
;
（3）若F（x）的反函数F－1（x）,证明：
方程F－1（x）=0有惟一解.
［例1］已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C、D两点.
点C、D和原点O在同一条直线上；
（2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标.
本题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查学生的分析能力和运算能力.属★★★★级题目.
（1）证明三点共线的方法：
kOC=kOD.
（2）第
（2）问的解答中蕴涵着方程思想，只要得到方程
（1），即可求得A点坐标.
不易考虑运用方程思想去解决实际问题.
本题第一问运用斜率相等去证明三点共线；
第二问运用方程思想去求得点A的坐标.
设点A、B的横坐标分别为x1、x2,由题意知：
x1>
1,x2>
1,则A、B纵坐标分别为log8x1,log8x2.因为A、B在过点O的直线上，所以
点C、D坐标分别为（x1,log2x1）,（x2,log2x2）,由于log2x1=
=
3log8x2,所以OC的斜率：
k1=
OD的斜率：
k2=
，由此可知：
k1=k2,即O、C、D在同一条直线上.
由BC平行于x轴知：
log2x1=log8x2
即：
log2x1=
log2x2,代入x2log8x1=x1log8x2得：
x13log8x1=3x1log8x1,由于x1>
1知
高考数学重点难点复习（10）：
函数的图象及其变换
函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具，利用它的直观性解题，可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此，考生要掌握绘制函数图象的一般方法，掌握函数图象变化的一般规律，能利用函数的图象研究函数的性质.
（★★★★★）已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图，求b的范围.
［例1］对函数y=f（x）定义域中任一个x的值均有f（x+a）=f（a－x）,
（1）求证y=f（x）的图象关于直线x=a对称；
（2）若函数f（x）对一切实数x都有f（x+2）=f（2－x）,且方程f（x）=0恰好有四个不同实根，求这些实根之和.
本题考查函数概念、图象对称问题以及求根问题.属★★★★★级题目.
把证明图象对称问题转化到点的对称问题.
找不到问题的突破口，对条件不能进行等价转化.
数形结合、等价转化.
设（x0,y0）是函数y=f（x）图象上任一点，则y0=f（x0）,又f（a+x）=f（a－x）,∴f（2a－x0）=
f［a+（a－x0）］=f［a－（a－x0）］=f（x0）=y0,∴（2a－x0,y0）也在函数的图象上，而
=a,∴点（x0,y0）与（2a－x0,y0）关于直线x=a对称，故y=f（x）的图象关于直线x=a对称.
由f（2+x）=f（2－x）得y=f（x）的图象关于直线x=2对称，若x0是f（x）=0的根，则4－x0也是f（x）=0的根，由对称性，f（x）=0的四根之和为8.
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