人教版中考数学压轴题解题模型----几何图形之半角模型(含解析)Word格式文档下载.doc
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则△ADG≌△MDG．
∴DM=DA=2．AC=GM
又易知：
GM=BM．
而BM=BD-DM=2-2=2（-1），
∴AG=BM=2（-1）．
例2．如图，为正方形内一点，，并且点到边的距离也等于，求正方形的面积？
过作于交于．
设，则，．
由．
可得：
．
故．
．
例3.如图，、分别为正方形的边、上的一点，，垂足为，，则有，为什么？
要说明EF=BE+DF，只需说明BE=EM，DF=FM即可，而连结AE、AF．只要能说明△ABE≌△AME，△ADF≌△AMF即可．
理由：
连结AE、AF．
由AB=AM，AB⊥BC，AM⊥EF，AE公用，
∴△ABE≌△AME．
∴BE=ME．
同理可得，△ADF≌△AMF．
∴DF=MF．
∴EF=ME+MF=BE+DF．
例4．如下图、分别在正方形的边、上，且，试说明。
将△ADF旋转到△ABC，则△ADF≌△ABG
∴AF=AG，∠ADF=∠BAG，DF=BG
∵∠EAF=45°
且四边形是正方形，
∴∠ADF﹢∠BAE=45°
∴∠GAB﹢∠BAE=45°
即∠GAE=45°
∴△AEF≌△AEG（SAS）
∴EF=EG=EB﹢BG=EB﹢DF
例5.如图，在正方形的、边上取、两点，使，于.求证：
欲证AG=AB，就图形直观来看，
应证Rt△ABE与Rt△AGE全等，但条件不够.
∠EAF=45°
怎么用呢？
显然∠1＋∠2=45°
，若把它们拼在一起，问题就解决了.
【证明】：
把△AFD绕A点旋转90°
至△AHB.
∵∠EAF=45°
，∴∠1＋∠2=45°
.
∵∠2=∠3，∴∠1＋∠3=45°
又由旋转所得AH=AF，AE=AE.
∴△AEF≌△AEH.
例6.
（1）如图1,在正方形中,点,分别在边,
上,,交于点,.
求证：
.
图2
（2）如图2,在正方形中,点,,,分别在边,
,上,,交于点,,.
求的长.
1.已知点,,,分别在矩形的边,,,上，
交于点,,.直接写出下列两题的答案：
①如图3,矩形由个全等的正方形组成,求的长；
②如图4,矩形由个全等的正方形组成,求的长（用的代数式表示）.
图4
图3
图1
【解析】
（1）证明：
如图1，∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°
，
∴∠EAB+∠AEB=90°
∵∠EOB=∠AOF＝90°
∴∠FBC+∠AEB=90°
，∴∠EAB=∠FBC，
O′
N
M
∴△ABE≌△BCF，∴BE=CF．
（2）解：
如图2,过点A作AM//GH交BC于M，
过点B作BN//EF交CD于N,AM与BN交于点O/，
则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形，
∴EF=BN,GH=AM，
∵∠FOH＝90°
AM//GH，EF//BN,∴∠NO/A=90°
故由
（1）得,△ABM≌△BCN，∴AM=BN，
∴GH=EF=4．
（3）①8．②4n．
巩固训练
【双基训练】
1.如图6，点在线段上，四边形与都是正方形，其边长分别为和，则的面积为________．
（6）（7）
2．你可以依次剪6张正方形纸片，拼成如图7所示图形．如果你所拼得的图形中正方形①的面积为1，且正方形⑥与正方形③的面积相等，那么正方形⑤的面积为________．
3.如图9，已知正方形的面积为35平方厘米，、分别为边、上的点．、相交于，并且的面积为14平方厘米，的面积为5平方厘米，那么四边形的面积是________．
4.如图，、、三点在同一条直线上，。
分别以
、为边作正方形和正方形，连接，
。
求证：
5.如图，是正方形．是上的一点，于，于．
（1）求证：
；
A
D
E
F
C
G
B
（2）求证：
【纵向应用】
6.在正方形中，．
7.在正方形中，．,
8.如图13，点为正方形对角线上一点,,
A
求证：
13
9.已知：
点、分别正方形中和的中点，连接和相交于点,
于点.
一、求证：
；
二、如果,求的长；
三、求证：
【练习题答案】
1．6cm2．
2．36．
3．4cm2（面积法）．
4.证明：
FN=EC。
证明：
在正方形ABEF和正方形BCMN中，
AB=BE=EF，BC=BN，∠FEN=∠EBC=90°
∵AB=2BC
∴EN=BC
∴△FEN≌△EBC
∴FN=EC。
5.略
6.提示：
注意到基本图形中的AE=AF.
一.两次应用内角平分线定理和CE=CF可证
二.过点O作OG‖DE和CO=CG,CF=CE可证.
3，过点O作OH‖BE,OF=OH=
7.提示：
一条线段的一半或2倍这两者的位置关系有哪两种
8.提示：
延长AE交GF于点M，DC,使CH=DG,连接HF,
证四边形对角互补,法2：
延长FE，AE证全等三角形
9.
（1）略
（2）（3）作CM⊥DG,证DM=AG=0.5DG
专题
（1）定义：
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
（2）特征：
边：
两组对边分别平行；
四条边都相等；
内角：
四个角都是90°
对角线：
对角线互相垂直；
对角线相等且互相平分；
每条对角线平分一组对角。
（3）主要识别方法：
1：
对角线相等的菱形是正方形
2：
对角线互相垂直的矩形是正方形
3：
四边相等，有一个角是直角的四边形是正方形
4：
一组邻边相等的平行四边形是正方形
5：
一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。
不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。
正方形的中点四边形是正方形。
典例精讲
例1.已知：
如图，是正方形内点，．
是正三角形．
P
如下图做△DGC使与△ADP全等，
可得△PDG为等边△，从而可得
△DGC≌△APD≌△CGP,
得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG＝150
所以∠DCP=300，从而得出△PBC是正三角形
Q
例2.如图，分别以的和为一边，在的外侧作正方形和正方形，点是的中点．
点到边的距离等于的一半．
过E,C,F点分别作AB所在直线的高EG，CI，FH。
可得PQ=。
由△EGA≌△AIC，可得EG=AI，
由△BFH≌△CBI，可得FH=BI。
从而可得PQ==，
从而得证。
例4.如图，四边形为正方形，，，与相交于．
顺时针旋转△ADE，到△ABG，连接CG.
由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350
从而可得B，G，D在一条直线上，可得△AGB≌△CGB。
推出AE=AG=AC=GC，可得△AGC为等边三角形。
∠AGB=300，既得∠EAC=300，从而可得∠AEC=750。
又∠EFC=∠DFA=450+300=750.
可证：
CE=CF。
例6.设是正方形一边上的任一点，，平分．
作FG⊥CD，FE⊥BE，可以得出GFEC为正方形。
令AB=Y，BP=X,CE=Z,可得PC=Y-X。
tan∠BAP=tan∠EPF==，可得YZ=XY-X2+XZ，
即Z（Y-X）=X（Y-X），既得X=Z，得出△ABP≌△PEF，
得到PA＝PF，得证。
例7.已知：
是边长为1的正方形内的一点，求的最小值．
顺时针旋转△BPC600，可得△PBE为等边三角形。
既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上，
即如下图：
可得最小PA+PB+PC=AF。
既得AF===
==
=。
例8.为正方形内的一点，并且，，，求正方形的边长．
【证明】顺时针旋转△ABP900，可得如下图：
既得正方形边长L==。
1.如图，四边形是正方形，对角线、相交于，四边形是菱形，若正方形的边长为6，则菱形的面积为________．
2.如图，是正方形，为上一点，四边形恰是一个菱形，则=________．
3.如图，四边形是边长为的正方形，点，分别是边，的中点，，且交正方形外角的平分线于点．
（1）证明：
（2）证明：
（3）求的面积．
【横向拓展】
4.如图，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接、、.
⑴求证：
⑵①当点在何处时，的值最小；
②当点在何处时，的值最小，并说明理由；
⑶当的最小值为时，求正方形的边长.
AD
BC
1．36
2．【解析】连结BD交AC于点O，作EM⊥AC于点M．
设正方形边长为a，则AC=BD=AE=a
又∵AC∥BF，BO⊥AC，EM⊥AC，
∴BO=EM=BD=a．
在Rt△AEM中，AE=a，EM=a．
∴∠CAE=30°
则∠EAB=15°
3.
（1）证明：
∵∠AEF=90o，
∴∠FEC+∠AEB=90o．在Rt△ABE中，∠AEB+∠BAE=90o，
∴∠BAE=∠FEC；
∵G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的中点，
∴AG=GB=BE=EC，且∠AGE=180o－45o=135o．
又∵CF是∠DCH的平分线，
∠ECF=90o+45o=135o．
在△AGE和△ECF中，
∴△AGE≌△ECF；
（3）解：
由△AGE≌△ECF，得AE=EF．
又∵∠AEF=90o，
∴△AEF是等腰直角三角形．
由AB=a，BE=a，知AE=a，
∴S△AEF=a2．
4.【解析】：
⑴∵△ABE是等边三角形，
∴BA＝BE，∠ABE＝60°
∵∠MBN＝60°
，
∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.
即∠BMA＝∠NBE.
又∵MB＝NB，
∴△AMB≌△ENB（SAS）.………………5分
⑵①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小.
②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，
AM＋BM＋CM的值最小.
理由如下：
连接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB，
∴AM＝EN.
，MB＝NB，
∴△BMN是等边三角形.
∴BM＝MN.
∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM.
根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长.
⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，
∴∠EBF＝90°
－60°
＝30°
设正方形的边长为x，则BF＝x，EF＝.
在Rt△EFC中，
∵EF2＋FC2＝EC2，
∴（）2＋（x＋x）2＝.
解得，x＝（舍去负值）.
∴正方形的边长为.
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