线性代数课后习题答案全)习题详解Word格式.docx
《线性代数课后习题答案全)习题详解Word格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数课后习题答案全)习题详解Word格式.docx（95页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
（2）=0
（3）===
（4）=
5.证明:
（1）=;
（2）=;
（3）;
（4）;
（5）.
证明
（1）
（2）
（3）
（4）=
=
（5）用数学归纳法证明
假设对于阶行列式命题成立，即
所以，对于阶行列式命题成立.
6.设阶行列式,把上下翻转、或逆时针旋转、或依副对角线翻转，依次得
，，，
证明.
证明
同理可证
7.计算下列各行列式（）：
（1）,其中对角线上元素都是，未写出的元素都是0；
（2）;
（3）;
提示：
利用范德蒙德行列式的结果．
（4）;
（5）;
（6）,.
（1）
（）
（2）将第一行乘分别加到其余各行，得
再将各列都加到第一列上，得
（3）从第行开始，第行经过次相邻对换，换到第1行，第行经次对换换到第2行…，
经次行交换，得
此行列式为范德蒙德行列式
（4）
由此得递推公式：
即
而
得
（5）
（6）
8.用克莱姆法则解下列方程组：
解
（1）
;
（2）
．
9.有非零解？
解，齐次线性方程组有非零解，则
即得
不难验证，当该齐次线性方程组确有非零解.
10.有非零解？
齐次线性方程组有非零解，则
得
不难验证，当时，该齐次线性方程组确有非零解.
第二章 矩阵及其运算
1.已知线性变换:
求从变量x1,x2,x3到变量y1,y2,y3的线性变换.
解由已知:
故,
.
2.已知两个线性变换
,
求从z1,z2,z3到x1,x2,x3的线性变换.
解由已知
所以有.
3.设,,求3AB-2A及ATB.
解
4.计算下列乘积:
（1）;
解.
（2）;
解=（1´
3+2´
2+3´
1）=（10）.
（3）;
解.
（4）;
（5）;
=（a11x1+a12x2+a13x3a12x1+a22x2+a23x3a13x1+a23x2+a33x3）
.
5.设,,问:
（1）AB=BA吗?
解AB¹
BA.
因为,,所以AB¹
（2）（A+B）2=A2+2AB+B2吗?
解（A+B）2¹
A2+2AB+B2.
因为,
但,
所以（A+B）2¹
（3）（A+B）（A-B）=A2-B2吗?
解（A+B）（A-B）¹
A2-B2.
因为,,
而,
故（A+B）（A-B）¹
6.举反列说明下列命题是错误的:
（1）若A2=0,则A=0;
解取,则A2=0,但A¹
0.
（2）若A2=A,则A=0或A=E;
解取,则A2=A,但A¹
0且A¹
E.
（3）若AX=AY,且A¹
0,则X=Y.
解取
,,
则AX=AY,且A¹
0,但X¹
Y.
7.设,求A2,A3,×
×
Ak.
解,
×
.
8.设,求Ak.
解首先观察
×
.
用数学归纳法证明:
当k=2时,显然成立.
假设k时成立，则k+1时，
由数学归纳法原理知:
9.设A,B为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明BTAB也是对称矩阵.
证明因为AT=A,所以
（BTAB）T=BT（BTA）T=BTATB=BTAB,
从而BTAB是对称矩阵.
10.设A,B都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA.
证明充分性:
因为AT=A,BT=B,且AB=BA,所以
（AB）T=（BA）T=ATBT=AB,
即AB是对称矩阵.
必要性:
因为AT=A,BT=B,且（AB）T=AB,所以
AB=（AB）T=BTAT=BA.
11.求下列矩阵的逆矩阵:
解.|A|=1,故A-1存在.因为
故.
解.|A|=1¹
0,故A-1存在.因为
所以.
解.|A|=2¹
（4）（a1a2×
an¹
0）.
解,由对角矩阵的性质知
12.解下列矩阵方程:
解
（4）.
13.利用逆矩阵解下列线性方程组:
解方程组可表示为
从而有.
（2）.
故有.
14.设Ak=O（k为正整数）,证明（E-A）-1=E+A+A2+×
+Ak-1.
证明因为Ak=O,所以E-Ak=E.又因为
E-Ak=（E-A）（E+A+A2+×
+Ak-1）,
所以（E-A）（E+A+A2+×
+Ak-1）=E,
由定理2推论知（E-A）可逆,且
（E-A）-1=E+A+A2+×
+Ak-1.
证明一方面,有E=（E-A）-1（E-A）.
另一方面,由Ak=O,有
E=（E-A）+（A-A2）+A2-×
-Ak-1+（Ak-1-Ak）
=（E+A+A2+×
+Ak-1）（E-A）,
故（E-A）-1（E-A）=（E+A+A2+×
+Ak-1）（E-A）,
两端同时右乘（E-A）-1,就有
（E-A）-1（E-A）=E+A+A2+×
15.设方阵A满足A2-A-2E=O,证明A及A+2E都可逆,并求A-1及（A+2E）-1.
证明由A2-A-2E=O得
A2-A=2E,即A（A-E）=2E,
或,
由定理2推论知A可逆,且.
由A2-A-2E=O得
A2-A-6E=-4E,即（A+2E）（A-3E）=-4E,
或
由定理2推论知（A+2E）可逆,且.
证明由A2-A-2E=O得A2-A=2E,两端同时取行列式得
|A2-A|=2,
即|A||A-E|=2,
故|A|¹
0,
所以A可逆,而A+2E=A2,|A+2E|=|A2|=|A|2¹
0,故A+2E也可逆.
由A2-A-2E=OÞ
A（A-E）=2E
Þ
A-1A（A-E）=2A-1EÞ
又由A2-A-2E=OÞ
（A+2E）A-3（A+2E）=-4E
（A+2E）（A-3E）=-4E,
所以（A+2E）-1（A+2E）（A-3E）=-4（A+2E）-1,
.
16.设A为3阶矩阵,,求|（2A）-1-5A*|.
解因为,所以
=|-2A-1|=（-2）3|A-1|=-8|A|-1=-8´
2=-16.
17.设矩阵A可逆,证明其伴随阵A*也可逆,且（A*）-1=（A-1）*.
证明由,得A*=|A|A-1,所以当A可逆时,有
|A*|=|A|n|A-1|=|A|n-1¹
从而A*也可逆.
因为A*=|A|A-1,所以
（A*）-1=|A|-1A.
又,所以
（A*）-1=|A|-1A=|A|-1|A|（A-1）*=（A-1）*.
18.设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*,证明:
（1）若|A|=0,则|A*|=0;
（2）|A*|=|A|n-1.
证明
（1）用反证法证明.假设|A*|¹
0,则有A*（A*）-1=E,由此得
A=AA*（A*）-1=|A|E（A*）-1=O,
所以A*=O,这与|A*|¹
0矛盾，故当|A|=0时,有|A*|=0.
（2）由于,则AA*=|A|E,取行列式得到
|A||A*|=|A|n.
若|A|¹
0,则|A*|=|A|n-1;
若|A|=0,由
（1）知|A*|=0,此时命题也成立.
因此|A*|=|A|n-1.
19.设,AB=A+2B,求B.
解由AB=A+2E可得（A-2E）B=A,故
20.设,且AB+E=A2+B,求B.
解由AB+E=A2+B得
（A-E）B=A2-E,
即（A-E）B=（A-E）（A+E）.
因为,所以（A-E）可逆,从而
21.设A=diag（1,-2,1）,A*BA=2BA-8E,求B.
解由A*BA=2BA-8E得
（A*-2E）BA=-8E,
B=-8（A*-2E）-1A-1
=-8[A（A*-2E）]-1
=-8（AA*-2A）-1
=-8（|A|E-2A）-1
=-8（-2E-2A）-1
=4（E+A）-1
=4[diag（2,-1,2）]-1
=2diag（1,-2,1）.
22.已知矩阵A的伴随阵,
且ABA-1=BA-1+3E,求B.
解由|A*|=|A|3=8,得|A|=2.
由ABA-1=BA-1+3E得
AB=B+3A,
B=3（A-E）-1A=3[A（E-A-1）]-1A
23.设P-1AP=L,其中,,求A11.
解由P-1AP=L,得A=PLP-1,所以A11=A=PL11P-1.
|P|=3,,,
24.设AP=PL,其中,,
求j（A）=A8（5E-6A+A2）.
解j（L）=L8（5E-6L+L2）
=diag（1,1,58）[diag（5,5,5）-diag（-6,6,30）+diag（1,1,25）]
=diag（1,1,58）diag（12,0,0）=12diag（1,0,0）.
j（A）=Pj（L）P-1
.
25.设矩阵A、B及A+B都可逆,证明A-1+B-1也可逆,并求其逆阵.
证明因为
A-1（A+B）B-1=B-1+A-1=A-1+B-1,
而A-1（A+B）B-1是三个可逆矩阵的乘积,所以A-1（A+B）B-1可逆,即A-1+B-1可逆.
（A-1+B-1）-1=[A-1（A+B）B-1]-1=B（A+B）-1A.
26.计算.
解设,,,,
则,
所以,
即.
27.取,验证.
解,
28.设,求|A8|及A4.
解 令,,
29.设n阶矩阵A及s阶矩阵B都可逆,求
解设,则
由此得Þ
所以.
解设,则
30.求下列矩阵的逆阵:
解设,,则
.
于是.
解设,,,则
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组
1．把下列矩阵化为行最简形矩阵：
（1） ;
（2） ;
（3） ;
（4） .
解
（1）
（2）
（3）
（4）
2.设，求A。
解：
A==
3．试利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵：
（2） .
故逆矩阵为
（2）
4．
（1） 设,求使;
（2）设,求使.
5.设，AX=2X+A,求X。
由AX=2X+A得：
X＝＝
6．在秩是的矩阵中,有没有等于0的阶子式?
有没有等于0的阶子式?
解 在秩是的矩阵中,可能存在等于0的阶子式,也可能存在等于0的阶子式.
例如，.同时存在等于0的3阶子式和2阶子式.
7．从矩阵A中划去一行得到矩阵B,问的秩的关系怎样?
解
设，且的某个阶子式.矩阵是由矩阵划去一行得到的，所以在中能找到
与相同的阶子式，由于，
故而.
8．求作一个秩是4的方阵,它的两个行向量是,
解 设为五维向量,且,,则所求方阵可为
秩为4,不妨设取
故满足条件的一个方阵为
9．求下列矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式：
（2） ；
（3） .
解
（1）
.二阶子式．
.二阶子式．
秩为3
三阶子式．
10.设A、B都是矩阵，证明的充分必要条件是。
证：
必要性即定理3，故需证明充分性，设=r，由矩阵的等价标准型理论知矩阵A、B具有相同的标准型，，于是，，从而由等价关系的对称性和传递性，知。
11.设，问k为何值时，可使：
（1）；
（2）；
（3）。
对A作初等变换，～，
于是，由定理3，
（1）当k＝1时，；
（2）当k＝-2时，；
（3）当时，。
12．求解下列齐次线性方程组:
（1）
（2）
（3）（4）
解
（1） 对系数矩阵实施行变换:
即得.故方程组的解为.
（2） 对系数矩阵实施行变换:
即得
故方程组的解为
（3） 对系数矩阵实施行变换:
即得.故方程组的解为
（4） 对系数矩阵实施行变换:
即得.
故方程组的解为
13．求解下列非齐次线性方程组:
（1）
（2）
（3）（4）
解
（1） 对系数的增广矩阵施行行变换,有
而,故方程组无解．
（2） 对系数的增广矩阵施行行变换:
即得.亦即.
（3） 对系数的增广矩阵施行行变换:
即得
即
（4）对系数的增广矩阵施行行变换:
即得 即
14.写出一个以（*）
为通解的齐次线性方程组。
把（*）式改写为把，，得
，由此知所求方程组有2个自由未知数，，且对应的方程组为
，即，它以（*）式为通解。
15．取何值时,非齐次线性方程组
（1）有唯一解；
（2）无解；
（3）有无穷多个解?
解
（1） ,即时方程组有唯一解.
由,得时,方程组无解.
（3） ,由,得时,方程组有无穷多个解.
16．非齐次线性方程组
当取何值时有解？
并求出它的通解．
解
方程组有解，须得
当时,方程组解为
17．设.问为何值时,此方程组有唯一解、无解或有无穷多解？
并在有无穷多解时求其通解．
解
当,即 且时，有唯一解.
当且，即时，无解.
当且，即时，有无穷多解.
此时，增广矩阵为
原方程组的解为（）
18.证明的充分必要条件是存在非零列向量及非零行向量，使。
充分性：
设，，并不妨设，利用矩阵秩的定义，显然，有一个一阶非零子式，任取的一个2阶子式（为确定起见，不妨设取的第i行、第j行及第k列、第l列所得2阶子式）：
，于是，。
必要性：
设
因，由等价标准型理论知，存在m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q，使，于是＝＝
其中和分别为非零m维列向量及非零n维行向量。
19.设A为矩阵，证明：
（1）方程有解的充分必要条件是；
（2）方程有解的充分必要条件是；
（1）方程有解（定理7）
（必要性由不等式得到；
充分性由不等式得到）。
（2）方程有解有解。
20.设A为矩阵，若，且，则。
将矩阵X，Y按列分块为
，，
则＝
如果，且；
即，且；
亦即，且，那么根据齐次线性方程组的理论，当时，齐次线性方程组只有零解，只有零解，即，
亦即，，故。
第四章 向量组的线性相关性
1．设,求及.
解
升级会员 