初中数学一元二次方程单元测试题4 人教版Word格式文档下载.docx

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10．在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（　　）

A．x（x﹣1）=10B．

=10C．x（x+1）=10D．

=10

二、填空题

11．当方程

（m+1）x﹣2=0是一元二次方程时，m的值为　　．

12．若x2+mx+9是一个完全平方式，则m的值是　　．

13．已知x2+3x+5的值为11，则代数式3x2+9x+12的值为　　．

14．若2是关于x的方程x2﹣（3+k）x+12=0的一个根，则以2和k为两边的等腰三角形的周长是　　．

15．若

+|b﹣1|=0，且一元二次方程kx2+ax+b=0有实数根，则k的取值范围是　　．

16．某城市居民最低生活保障在2009年是240元，经过连续两年的增加，到2011年提高到345.6元．则该城市两年来最低生活保障的平均年增长率是　　．

17．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为　　．

18．如果关于x的方程x2﹣2x+m=0（m为常数）有两个相等实数根，那么m=　　．

19．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2+2m﹣3=0的一个根为0，那么m的值为　　．

20．在一幅长50cm，宽30cm的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个规划土地的面积是1800cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程为　　．

三、解答题

21．用指定的方法解方程

（1）（x+2）2﹣25=0（直接开平方法）

（2）x2+4x﹣5=0（配方法）

（3）4（x+3）2﹣（x﹣2）2=0（因式分解法）

（4）2x2+8x﹣1=0（公式法）

22．将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成

，规定

=ad﹣bc，上述记号就叫做2阶行列式．若

=6，求x的值．

23．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+3k=0．

（1）求证：

不论k取何实数，该方程总有实数根．

（2）若等腰△ABC的一边长为2，另两边长恰好是方程的两个根，求△ABC的周长．

24．某种流感病毒，有一人患了这种流感，在每轮传染中一人将平均传给x人．

（1）求第一轮后患病的人数；

（用含x的代数式表示）

（2）在进入第二轮传染之前，有两位患者被及时隔离并治愈，问第二轮传染后总共是否会有21人患病的情况发生，请说明理由．

25．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场每天要获利润1200元，请计算出每件衬衫应降价多少元？

参考答案与试题解析

【考点】一元二次方程的定义．

【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．

【解答】解：

一元二次方程有②⑥，共2个，

故选A．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：

只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．

【考点】一元二次方程的一般形式．

【分析】首先确定二次项系数与一次项系数及常数项，然后再求积即可．

方程3x2﹣

=0的二次项系数是3，一次项系数是﹣

，常数项是

，

3×

×

（﹣

）=﹣9，

故选：

D．

【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）．其中a叫做二次项系数；

b叫做一次项系数；

c叫做常数项．

【考点】解一元二次方程-配方法．

【专题】方程思想．

【分析】配方法的一般步骤：

（1）把常数项移到等号的右边；

（2）把二次项的系数化为1；

（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．

由原方程移项，得

x2﹣2x=5，

方程的两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方1，得

x2﹣2x+1=6

∴（x﹣1）2=6．

C．

【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．

【考点】根的判别式．

【专题】计算题．

【分析】分别计算A、B中的判别式的值；

根据判别式的意义进行判断；

利用因式分解法对C进行判断；

根据非负数的性质对D进行判断．

A、△=（﹣1）2﹣4×

1×

1=﹣3＜0，方程没有实数根，所以A选项错误；

B、△=12﹣4×

1=﹣3＜0，方程没有实数根，所以B选项错误；

C、x﹣1=0或x+2=0，则x1=1，x2=﹣2，所以C选项正确；

D、（x﹣1）2=﹣1，方程左边为非负数，方程右边为0，所以方程没有实数根，所以D选项错误．

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：

当△＞0，方程有两个不相等的实数根；

当△=0，方程有两个相等的实数根；

当△＜0，方程没有实数根．

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．

【专题】增长率问题．

【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×

（1+增长率），本题可参照增长率问题进行计算，如果设平均每次降价的百分率为x，可以用x表示两次降价后的售价，然后根据已知条件列出方程．

根据题意可得两次降价后售价为289（1﹣x）2，

∴方程为289（1﹣x）2=256．

故选答：

A．

【点评】本题考查一元二次方程的应用，解决此类两次变化问题，可利用公式a（1+x）2=c，其中a是变化前的原始量，c是两次变化后的量，x表示平均每次的增长率．

本题的主要错误是有部分学生没有仔细审题，把答案错看成B．

【专题】压轴题．

【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b2﹣4ac＞0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．

由题意知，k≠0，方程有两个不相等的实数根，

所以△＞0，△=b2﹣4ac=（2k+1）2﹣4k2=4k+1＞0．

又∵方程是一元二次方程，∴k≠0，

∴k＞

且k≠0．

故选B．

【点评】总结：

一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0⇔方程没有实数根．

注意方程若为一元二次方程，则k≠0．

【考点】解一元二次方程-因式分解法．

【分析】先移项，再提公因式，解一元一次方程即可．

3x（x﹣1）﹣5（x﹣1）=0，

（x﹣1）（3x﹣5）=0，

x﹣1=0或3x﹣5=0，

x1=1，x2=

．

【点评】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的步骤是解题的关键．

【分析】先把（x﹣

）转化为x2﹣

2=x2﹣5；

然后再把（2x﹣1）2利用完全平方公式展开得到4x2﹣4x+1．

再合并同类项即可得到一元二次方程的一般形式．

（x﹣

）+（2x﹣1）2=0

即x2﹣

2+4x2﹣4x+1=0

移项合并同类项得：

5x2﹣4x﹣4=0

【点评】本题主要考查了利用平方差公式和完全平方公式化简成为一元二次方程的一般形式．

【考点】一元二次方程的解．

【分析】先把x的值代入方程即可得到一个关于m的方程，解一元一方程即可．

把x=2代入方程得：

4﹣2m+8=0，

解得m=6．

【点评】本题考查了一元二次方程的解，此题比较简单，易于掌握．

【专题】其他问题；

压轴题．

【分析】如果有x人参加了聚会，则每个人需要握手（x﹣1）次，x人共需握手x（x﹣1）次；

而每两个人都握了一次手，因此要将重复计算的部分除去，即一共握手：

次；

已知“所有人共握手10次”，据此可列出关于x的方程．

设x人参加这次聚会，则每个人需握手：

x﹣1（次）；

依题意，可列方程为：

=10；

【点评】理清题意，找对等量关系是解答此类题目的关键；

需注意的是本题中“每两人都握了一次手”的条件，类似于球类比赛的单循环赛制．

（m+1）x﹣2=0是一元二次方程时，m的值为　﹣1　．

【分析】根据一元二次方程的定义，列方程和不等式解答．

因为原式是关于x的一元二次方程，

所以m2+1=2，

解得m=±

1．

又因为m﹣1≠0，

所以m≠1，

于是m=﹣1．

故答案为：

﹣1．

【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：

ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．本题容易忽视的条件是m﹣1≠0．

12．若x2+mx+9是一个完全平方式，则m的值是　±

6　．

【考点】完全平方式．

【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．

∵x2+mx+9是一个完全平方式，

∴m=±

6，

±

6．

【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

13．已知x2+3x+5的值为11，则代数式3x2+9x+12的值为　30　．

【考点】代数式求值．

【专题】推理填空题．

【分析】把x2+3x+5=11代入代数式3x2+9x+12，求出算式的值是多少即可．

∵x2+3x+5的值为11，

∴3x2+9x+12

=3（x2+3x+5）﹣3

=3×

11﹣3

=33﹣3

=30

30．

【点评】此题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握，注意代入法的应用．

14．若2是关于x的方程x2﹣（3+k）x+12=0的一个根，则以2和k为两边的等腰三角形的周长是　12　．

【考点】等腰三角形的性质；

三角形三边关系．

【分析】将2代入方程求得k的值，题中没有指明哪个是底哪个是腰，则应该分两种情况进行分析，从而求得其周长．

把2代入方程x2﹣（3+k）x+12=0得，k=5

（1）当2为腰时，不符合三角形中三边的关系，则舍去；

（2）当5是腰时，符合三角形三边关系，则其周长为2+5+5=12；

所以这个等腰三角形的周长是12．

【点评】本题考查了根与系数的关系，三角形三边关系及等腰三角形的性质的综合运用．

+|b﹣1|=0，且一元二次方程kx2+ax+b=0有实数根，则k的取值范围是　k≤4且k≠0　．

【考点】根的判别式；

非负数的性质：

绝对值；

算术平方根．

【分析】根据非负数的性质求出a、b的值，转化成关于k的不等式即可解答．

∵

+|b﹣1|=0，

∴a=4，b=1，

则原方程为kx2+4x+1=0，

∵该一元二次方程有实数根，

∴△=16﹣4k≥0，

解得，k≤4．

∵方程kx2+ax+b=0是一元二次方程，

∴k≠0，

故答案为k≤4且k≠0．

【点评】本题考查了根的判别式，利用判别式得到关于m的不等式是解题的关键．

16．某城市居民最低生活保障在2009年是240元，经过连续两年的增加，到2011年提高到345.6元．则该城市两年来最低生活保障的平均年增长率是　20%　．

【考点】一元二次方程的应用．

【专题】增长率问题；

【分析】设该城市两年来最低生活保障的平均年增长率是x，根据最低生活保障在2009年是240元，经过连续两年的增加，到2011年提高到345.6元，可列出方程求解．

设该城市两年来最低生活保障的平均年增长率是x，

240（1+x）2=345.6，

1+x=±

1.2，

x=20%或x=﹣220%（舍去）．

20%．

【点评】本题考查的是增长率问题，关键清楚增长前为240元，两年变化后为345.6元，从而求出解．

17．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为　12　．

【考点】解一元二次方程-因式分解法；

【分析】先解一元二次方程，由于未说明两根哪个是腰哪个是底，故需分情况讨论，从而得到其周长．

解方程x2﹣12x+35=0，

得x1=5，x2=7，

∵1＜第三边＜7，

∴第三边长为5，

∴周长为3+4+5=12．

【点评】此题是一元二次方程的解结合几何图形的性质的应用，注意分类讨论．

18．如果关于x的方程x2﹣2x+m=0（m为常数）有两个相等实数根，那么m=　1　．

【分析】本题需先根据已知条件列出关于m的等式，即可求出m的值．

∵x的方程x2﹣2x+m=0（m为常数）有两个相等实数根

∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×

1•m=0

4﹣4m=0

m=1

1

【点评】本题主要考查了根的判别式，在解题时要注意对根的判别式进行灵活应用是本题的关键．

19．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2+2m﹣3=0的一个根为0，那么m的值为　﹣3　．

【考点】一元二次方程的解；

一元二次方程的定义．

【分析】根据一元二次方程的定义得到m﹣1≠0，由方程的解的定义，把x=0代入已知方程，列出关于m的新方程，通过解新方程来求m的值．

∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2+2m﹣3=0的一个根为0，

∴m2+2m﹣3=0，且m﹣1≠0，

∴（m﹣1）（m+3）=0，且m﹣1≠0，

解得，m=﹣3，

故答案是：

﹣3．

【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义和一元二次方程的定义．注意二次项系数不等于零．

20．在一幅长50cm，宽30cm的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个规划土地的面积是1800cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程为　x2+40x﹣75=0　．

【专题】几何图形问题．

【分析】如果设金色纸边的宽为xcm，那么挂图的长和宽应该为（50+2x）和（30+2x），根据总面积即可列出方程．

设金色纸边的宽为xcm，那么挂图的长和宽应该为（50+2x）和（30+2x），

根据题意可得出方程为：

（50+2x）（30+2x）=1800，

∴x2+40x﹣75=0．

【点评】一元二次方程的运用，此类题是看准题型列面积方程，题目不难，重在看准题．

21．（2015秋•大石桥市月考）用指定的方法解方程

解一元二次方程-直接开平方法；

解一元二次方程-配方法；

解一元二次方程-公式法．

【分析】

（1）把﹣25移到等号的右边，然后利用直接开平方法求解；

（2）把﹣5移到等号的右边，然后等号两边同时加上一次项一半的平方，再开方求解；

（3）直接利用平方差公式把方程左边分解因式，进而整理为两个一次因式的乘积，最后解一元一次方程即可；

（4）首先找出方程中a、b和c的值，求出△，进而代入求根公式求出方程的解．

（1）∵（x+2）2﹣25=0，

∴（x+2）2=25，

∴x+2=±

5，

∴x1=3，x2=﹣7；

（2）∵x2+4x﹣5=0，

∴x2+4x+4=9，

∴（x+2）2=9，

3，

∴x1=﹣5，x2=1；

（3）∵4（x+3）2﹣（x﹣2）2=0，

∴[2（x+3）+（x﹣2）][2（x+3）﹣（x﹣2）]=0，

∴（3x+4）（x+8）=0，

∴3x+4=0或x+8=0，

∴x1=﹣

，x2=﹣8；

（4）∵a=2，b=8，c=﹣1，

∴△=b2﹣4ac=64+8=72，

∴x=

=

∴x1=

，x2=

【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．

【考点】解一元二次方程-直接开平方法．

【专题】新定义．

【分析】根据题意得出方程（x+1）（x+1）﹣（1﹣x）（x﹣1）=6，整理后用直接开平方法求出即可．

根据题意得：

（x+1）（x+1）﹣（1﹣x）（x﹣1）=6，

整理得：

2x2+2=6，

x2=2，

x=±

【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．

三角形三边关系；

等腰三角形的性质．

（1）求出根的判别式，利用偶次方的非负性证明；

（2）分△ABC的底边长为2、△ABC的一腰长为2两种情况解答．

【解答】

（1）证明：

△=（k+3）2﹣4×

3k=（k﹣3）2≥0，

故不论k取何实数，该方程总有实数根；

（2）解：

当△ABC的底边长为2时，方程有两个相等的实数根，

则（k﹣3）2=0，

解得k=3，

方程为x2﹣6x+9=0，

解得x1=x2=3，

故△ABC的周长为：

2+3+3=8；

当△ABC的一腰长为2时，方程有一根为2，

方程为x2﹣5x+6=0，

解得，x1=2，x2=3，

2+2+3=7．

【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式、等腰三角形的性质，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：

①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；

②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；

③当△＜0时，方程无实数根．

【专题】应用题．

（1）设每轮传染中平均每人传染了x人．开始有一人患了流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x人，则第一轮后共有（1+x）人患了流感；

（2）第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x人，因进入第二轮传染之前，有两位患者被及时隔离并治愈，则第二轮后共有x﹣1+x（x﹣1）人患了流感，而此时患流感人数为21，根据这个等量关系列出方程若能求得正整数解即可会有21人患病．

（1）（1+x）人，

（2）设在每轮传染中一人将平均传给x人

x﹣1+x（x﹣1）=21

x2﹣1=21

解得：

∵x1，x2都不是正整数，

∴第二轮传染后共会有21人患病的情况不会发生