中考数学专题复习第讲二次函数的应用含详细参考答案Word文档下载推荐.doc

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例1（2012•呼和浩特）已知：

M，N两点关于y轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线y=x+3上，设点M的坐标为（a，b），则二次函数y=-abx2+（a+b）x（　　）

A．有最大值，最大值为B．有最大值，最大值为

C．有最小值，最小值为D．有最小值，最小值为

思路分析：

先用待定系数法求出二次函数的解析式，再根据二次函数图象上点的坐标特征求出其最值即可．

解：

∵M，N两点关于y轴对称，点M的坐标为（a，b），

∴N点的坐标为（-a，b），

又∵点M在反比例函数的图象上，点N在一次函数y=x+3的图象上，

∴，

整理得，

故二次函数y=-abx2+（a+b）x为y=x2+3x，

∴二次项系数为＜0，故函数有最大值，最大值为y=，

故选：

B．

点评：

本题考查的是二次函数的最值．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．本题是利用公式法求得的最值．

对应训练

1．（2012•兰州）已知二次函数y=a（x+1）2-b（a≠0）有最小值1，则a，b的大小关系为（　　）

A．a＞bB．a＜bC．a=bD．不能确定

1．A

∵二次函数y=a（x+1）2-b（a≠0）有最小值，

∴抛物线开口方向向上，即a＞0；

又最小值为1，即-b=1，∴b=-1，

∴a＞b．

故选A．

考点二：

确定二次函数关系式

例2（2012•珠海）如图，二次函数y=（x-2）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B．

（1）求二次函数与一次函数的解析式；

（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x-2）2+m的x的取值范围．

A

B

C

O

x

y

（1）将点A（1，0）代入y=（x-2）2+m求出m的值，根据点的对称性，将y=3代入二次函数解析式求出B的横坐标，再根据待定系数法求出一次函数解析式；

（2）根据图象和A、B的交点坐标可直接求出kx+b≥（x-2）2+m的x的取值范围．

（1）将点A（1，0）代入y=（x-2）2+m得，

（1-2）2+m=0，

1+m=0，

m=-1，则二次函数解析式为y=（x-2）2-1．

当x=0时，y=4-1=3，

故C点坐标为（0，3），

由于C和B关于对称轴对称，在设B点坐标为（x，3），

令y=3，有（x-2）2-1=3，

解得x=4或x=0．

则B点坐标为（4，3）．

设一次函数解析式为y=kx+b，

将A（1，0）、B（4，3）代入y=kx+b得，

，

解得，则一次函数解析式为y=x-1；

（2）∵A、B坐标为（1，0），（4，3），

∴当kx+b≥（x-2）2+m时，1≤x≤4．

本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数与不等式组，求出B点坐标是解题的关键．

2．（2012•佳木斯）如图，抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）写出顶点坐标及对称轴；

（3）若抛物线上有一点B，且S△OAB=3，求点B的坐标．

2．分析：

（1）直接把（0，0），（2，0）代入y=x2+bx+c中，列方程组求b、c的值即可；

（2）将二次函数解析式写成顶点式，可求顶点坐标及对称轴；

（3）设点B的坐标为（a，b），根据三角形的面积公式求b的值，再将纵坐标b代入抛物线解析式求a的值，确定B点坐标．

（1）把（0，0），（2，0）代入y=x2+bx+c得

解得，

所以解析式为y=x2-2x。

（2）∵y=x2-2x=（x-1）2-1，

∴顶点为（1，-1），

对称轴为：

直线x=1。

（3）设点B的坐标为（a，b），则

×

2|b|=3，

解得b=3或b=-3，

∵顶点纵坐标为-1，-3＜-1（或x2-2x=-3中，x无解）

∴b=3，

∴x2-2x=3，

解得x1=3，x2=-1

所以点B的坐标为（3，3）或（-1，3）。

本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质．关键是将抛物线上两点坐标代入解析式，列方程组求解析式，将抛物线解析式写成顶点式，可求顶点坐标及对称轴．

考点三：

二次函数与x轴的交点问题

例3（2012•天津）若关于x的一元二次方程（x-2）（x-3）=m有实数根x1、x2，且x1≠x2，有下列结论：

①x1=2，x2=3；

②m＞；

③二次函数y=（x-x1）（x-x2）+m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．

其中，正确结论的个数是（　　）

A．0B．1C．2D．3

将已知的一元二次方程整理为一般形式，根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可对选项②进行判断；

再利用根与系数的关系求出两根之积为6-m，这只有在m=0时才能成立，故选项①错误；

将选项③中的二次函数解析式整理后，利用根与系数关系得出的两根之和与两根之积代入，整理得到确定出二次函数解析式，令y=0，得到关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出二次函数图象与x轴的交点坐标，即可对选项③进行判断．

一元二次方程（x-2）（x-3）=m化为一般形式得：

x2-5x+6-m=0，

∵方程有两个不相等的实数根x1、x2，

∴b2-4ac=（-5）2-4（6-m）=4m+1＞0，

解得：

m＞，故选项②正确；

∵一元二次方程实数根分别为x1、x2，

∴x1+x2=5，x1x2=6-m，

而选项①中x1=2，x2=3，只有在m=0时才能成立，故选项①错误；

二次函数y=（x-x1）（x-x2）+m=x2-（x1+x2）x+x1x2+m=x2-5x+（6-m）+m=x2-5x+6=（x-2）（x-3），

令y=0，可得（x-2）（x-3）=0，

x=2或3，

∴抛物线与x轴的交点为（2，0）或（3，0），故选项③正确．

综上所述，正确的结论有2个：

②③．

故选C．

此题考查了抛物线与x轴的交点，一元二次方程的解，根与系数的关系，以及根的判别式的运用，是中考中常考的综合题．

3．（2012•株洲）如图，已知抛物线与x轴的一个交点A（1，0），对称轴是x=-1，则该抛物线与x轴的另一交点坐标是（　　）

A．（-3，0）B．（-2，0）C．x=-3D．x=-2

3．A

抛物线与x轴的另一个交点为B（b，0），

∵抛物线与x轴的一个交点A（1，0），对称轴是x=-1，

∴=-1，解得b=-3，

∴B（-3，0）．

考点四：

二次函数的实际应用

例4（2012•绍兴）教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y=-（x-4）2+3，由此可知铅球推出的距离是m．

根据铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x的值即可．

令函数式y=-（x-4）2+3中，y=0，

0=-（x-4）2+3，

解得x1=10，x2=-2（舍去），

即铅球推出的距离是10m．

故答案为：

10．

本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．

例5（2012•重庆）企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理．某企业去年每月的污水量均为12000吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行．1至6月，该企业向污水厂输送的污水量y1（吨）与月份x（1≤x≤6，且x取整数）之间满足的函数关系如下表：

月份x

1

2

3

4

5

6

输送的污水量y1（吨）

12000

6000

4000

3000

2400

2000

7至12月，该企业自身处理的污水量y2（吨）与月份x（7≤x≤12，且x取整数）之间满足二次函数关系式为y2=ax2+c（a≠0）．其图象如图所示．1至6月，污水厂处理每吨污水的费用：

z1（元）与月份x之间满足函数关系式：

z1=x，该企业自身处理每吨污水的费用：

z2（元）与月份x之间满足函数关系式：

z2=x-x2；

7至12月，污水厂处理每吨污水的费用均为2元，该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元．

（1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出y1，y2与x之间的函数关系式；

（2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W（元）最多，并求出这个最多费用；

（3）今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a-30）%，为鼓励节能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行50%的补助．若该企业每月的污水处理费用为18000元，请计算出a的整数值．

（参考数据：

≈15.2，≈20.5，≈28.4）

（1）利用表格中数据可以得出xy=定值，则y1与x之间的函数关系为反比例函数关系求出即可，再利用函数图象得出：

图象过（7，10049），（12，10144）点，求出解析式即可；

（2）利用当1≤x≤6时，以及当7≤x≤12时，分别求出处理污水的费用，即可得出答案；

（3）利用今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a一30）%，得出等式12000（1+a%）×

1.5×

[1+（a-30）%]×

（1-50%）=18000，进而求出即可．

（1）根据表格中数据可以得出xy=定值，则y1与x之间的函数关系为反比例函数关系：

y1=，将（1，12000）代入得：

k=1×

12000=12000，

故y1=（1≤x≤6，且x取整数）；

根据图象可以得出：

图象过（7，10049），（12，10144）点，

代入y2=ax2+c（a≠0）得：

故y2=x2+10000（7≤x≤12，且x取整数）；

（2）当1≤x≤6，且x取整数时：

W=y1•z1+（12000-y1）•z2=+（12000-）•（x-x2），

=-1000x2+10000x-3000，

∵a=-1000＜0，x==5，1≤x≤6，

∴当x=5时，W最大=22000（元），

当7≤x≤12时，且x取整数时，

W=2×

（12000-y2）+1.5y2=2×

（12000-x2-10000）+1.5（x2+10000），

=-x2+1900，

∵a=-＜0，x==0，

当7≤x≤12时，W随x的增大而减小，

∴当x=7时，W最大=18975.5（元），

∵22000＞18975.5，

∴去年5月用于污水处理的费用最多，最多费用是22000元；

（3）由题意得：

12000（1+a%）×

（1-50%）=18000，

设t=a%，整理得：

10t2+17t-13=0，

t=，

∵≈28.4，

∴t1≈0.57，t2≈-2.27（舍去），

∴a≈57，

答：

a的值是57．

此题主要考查了二次函数的应用和根据实际问题列反比例函数关系式和二次函数关系式、求二次函数最值等知识．此题阅读量较大，得出正确关于a%的等式方程是解题关键．

4．（2012•襄阳）某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：

m）与滑行时间x（单位：

s）之间的函数关系式是y=60x-1.5x2，该型号飞机着陆后滑行m才能停下来．

4．600

∵-1.5＜0，

∴函数有最大值．

∴s最大值=，

即飞机着陆后滑行600米才能停止．

600．

此题主要考查了二次函数的应用，运用二次函数求最值问题常用公式法或配方法得出是解题关键．

5．（2012•益阳）已知：

如图，抛物线y=a（x-1）2+c与x轴交于点A（1-，0）和点B，将抛物线沿x轴向上翻折，顶点P落在点P'

（1，3）处．

（1）求原抛物线的解析式；

（2）学校举行班徽设计比赛，九年级5班的小明在解答此题时顿生灵感：

过点P'

作x轴的平行线交抛物线于C、D两点，将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉，设计成一个“W”型的班徽，“5”的拼音开头字母为W，“W”图案似大鹏展翅，寓意深远；

而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽（CD）的比非常接近黄金分割比（约等于0.618）．请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少？

≈2.236，≈2.449，结果可保留根号）

5．考点：

二次函数的应用．分析：

（1）利用P与P′（1，3）关于x轴对称，得出P点坐标，利用待定系数法求出二次函数的解析式即可；

（2）根据已知得出C，D两点坐标，进而得出“W”图案的高与宽（CD）的比．

（1）∵P与P′（1，3）关于x轴对称，

∴P点坐标为（1，-3）；

∵抛物线y=a（x-1）2+c过点A（1-，0），顶点是P（1，-3），

∴；

解得；

则抛物线的解析式为y=（x-1）2-3，

即y=x2-2x-2．

（2）∵CD平行x轴，P′（1，3）在CD上，

∴C、D两点纵坐标为3；

由（x-1）2-3=3，

x1=1-，x2=1+，

∴C、D两点的坐标分别为（1-，3），（1+，3）

∴CD=2。

∴“W”图案的高与宽（CD）的比==（或约等于0.6124）．

此题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的应用，根据已知得出C，D两点坐标是解题关键．

考点五：

二次函数综合性题目

例6（2012•自贡）如图，抛物线交x轴于点A（-3，0）、B（1，0），交y轴于点C（0，-3）．将抛物线沿y轴翻折得抛物线．

（1）求的解析式；

（2）在的对称轴上找出点P，使点P到点A的对称点A1及C两点的距离差最大，并说出理由；

（3）平行于x轴的一条直线交抛物线于E、F两点，若以EF为直径的圆恰与x轴相切，求此圆的半径．

（1）首先求出翻折变换后点A、B所对应点的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；

（2）如图2所示，连接B1C并延长，与对称轴x=1交于点P，则点P即为所求．利用轴对称的性质以及三角形三边关系（三角形两边之差小于第三边）可以证明此结论．为求点P的坐标，首先需要求出直线B1C的解析式；

（3）如图3所示，所求的圆有两个，注意不要遗漏．解题要点是利用圆的半径表示点F（或点E）的坐标，然后代入抛物线的解析式，解一元二次方程求出此圆的半径．

（1）如图1所示，设经翻折后，点A、B的对应点分别为A1、B1，

依题意，由翻折变换的性质可知A1（3，0），B1（-1，0），C点坐标不变，

因此，抛物线经过A1（3，0），B1（-1，0），C（0，-3）三点，

设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，则有：

9a+3b+c=0a-b+c=0c=-3，

解得a=1，b=-2，c=-3，

故抛物线的解析式为：

y=x2-2x-3．

（2）抛物线的对称轴为：

x==1，

如图2所示，连接B1C并延长，与对称轴x=1交于点P，则点P即为所求．

此时，|PA1-PC|=|PB1-PC|=B1C．

设P′为对称轴x=1上不同于点P的任意一点，则有：

|P′A-P′C|=|P′B1-P′C|＜B1C（三角形两边之差小于第三边），

故|P′A-P′C|＜|PA1-PC|，即|PA1-PC|最大．

设直线B1C的解析式为y=kx+b，则有：

，解得k=b=-3，

故直线B1C的解析式为：

y=-3x-3．

令x=1，得y=-6，

故P（1，-6）．

（3）依题意画出图形，如图3所示，有两种情况．

①当圆位于x轴上方时，设圆心为D，半径为r，

由抛物线及圆的对称性可知，点D位于对称轴x=1上，

则D（1，r），F（1+r，r）．

∵点F（1+r，r）在抛物线y=x2-2x-3上，

∴r=（1+r）2-2（1+r）-3，化简得：

r2-r-4=0

解得r1=，r2=（舍去），

∴此圆的半径为；

②当圆位于x轴下方时，同理可求得圆的半径为．

综上所述，此圆的半径为或．

本题考查内容包括二次函数的图象与性质、待定系数法、翻折变换、轴对称的性质、三角形三边关系、圆的相关性质等，涉及考点较多，有一定的难度．第

（2）问中，注意是“两线段之差最大”而不是“两线段之和最大”，后者比较常见，学生们已经有大量的训练基础，而前者接触较少，但二者道理相通；

第（3）问中，首先注意圆有2个，不要丢解，其次注意利用圆的半径表示点的坐标，运用方程的思想求出圆的半径．

6．（2012•遵义）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为（3，）．

（1）求抛物线的函数解析式及点A的坐标；

（2）在抛物线上求点P，使S△POA=2S△AOB；

（3）在抛物线上是否存在点Q，使△AQO与△AOB相似？

如果存在，请求出Q点的坐标；

如果不存在，请说明理由．

6．分析：

（1）根据函数经过原点，可得c=0，然后根据函数的对称轴，及函数图象经过点（3，）可得出函数解析式，根据二次函数的对称性可直接得出点A的坐标．

（2）根据题意可得点P到OA的距离是点B到OA距离的2倍，即点P的纵坐标为2，代入函数解析式可得出点P的横坐标；

（3）先求出∠BOA的度数，然后可确定∠Q1OA=的度数，继而利用解直角三角形的知识求出x，得出Q1的坐标，利用二次函数图象函数的对称性可得出Q2的坐标．

（1）由函数图象经过原点得，函数解析式为y=ax2+bx（a≠0），

又∵函数的顶点坐标为（3，），

故函数解析式为：

由二次函数图象的对称性可得点A的坐标为（6，0）；

（2）∵S△POA=2S△AOB，

∴点P到OA的距离是点B到OA距离的2倍，即点P的纵坐标为，

代入函数解析式得：

=，

x1=3+3，x2=3-3，

即满足条件的点P有两个，其坐标为：

P1（3+3，），P2（3-3，）．

（3）存在．

过点B作BP⊥OA，则tan∠BAP=，

故可得∠BOA=30°

设Q1坐标为（x，），过点Q1作Q1F⊥x轴，

∵△OAB∽△OQ1A，

∴∠Q1OA=30°

故可得OF=3Q1F，即x=（），

x=9或x=0（舍去），

经检验得此时OA=AQ1，△OQ1A是等腰三角形，且和△OBA相似．

即可得Q1坐标为（9，3），

根据函数的对称性可得Q2坐标为（-3，3）．

∴在抛物线上存在点Q，使△AQO与△AOB相似，其坐标为：

（9，3）或（-3，3）．

此题属于二次函数的综合题目，涉及了相似三角形的判定与性质，三角形的面积及一元二次方程的解，综合性较强，需要我们仔细分析，分步解答．

【聚焦山东中考】

1．（2012•泰安）二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为（　　）

A．-3B．3C．-6D．9

1．考点：

抛物线与x轴的交点．专题：

探究型．

分析：

先根据抛物线的开口向上可知a＞0，由顶点纵坐标为-3得出b与a关系，再根据一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根可得到关于m的不等式，求出m的取值范围即可．

∵抛物线的开口向上，顶点纵坐标为-3，

∴a＞0，=-3，即b2=12a，

∵一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，

∴△=b2-4am≥0，即12a-4am≥0，即12-4m≥0，解得m≤3，

∴m的最大值为3．

故选B．

本题考查的是抛物线与x轴的交点，根据题意判断出a的符号及a、b的关系是解答此题的关键．

2．（2012•滨州）抛物线y=-3x2-x+4与坐标轴的交点个数是（　　）

A．3B．2C．1D．0

2．A

令抛物线解析式中x=0，求出对应的y的值，即为抛物线与y轴交点的纵坐标，确定出抛物线与y轴的交点坐标，令抛物线解析式中y=0，得到关于x的一元二次方程，求出方程的解有两个，可得出抛物线与x轴有两个交点，综上，得到抛物线与坐标轴的交点个数．

抛物线解析式y=-3x2-x+4，

令x=0，解得：

y=4，∴抛物线与y轴的交点为（0，4），

令y=0，得到-3x2-x+4=0，即3x2+x-4=0，

分解因式得：

（3x+4）