222 平面与平面平行的判定.docx

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222平面与平面平行的判定

一、选择题

1．如果两个平面分别经过两条平行线中的一条，那么这两个平面（　　）

A．平行B．相交

C．垂直D．都可能

[答案]　D

[解析]　过直线的平面有无数个，考虑两个面的位置要全面．

2．在长方体ABCD－A′B′C′D′中，下列正确的是（　　）

A．平面ABCD∥平面ABB′A′

B．平面ABCD∥平面ADD′A′

C．平面ABCD∥平面CDD′C′

D．平面ABCD∥平面A′B′C′D′

[答案]　D

3．如图所示，设E，F，E1，F1分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，CD，A1B1，C1D1的中点，则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是（　　）

A．平行B．相交

C．异面D．不确定

[答案]　A

[解析]　∵E1和F1分别是A1B1和D1C1的中点，

∴A1D1∥E1F1，又A1D1⊄平面BCF1E1，E1F1⊂平面BCF1E1，

∴A1D1∥平面BCF1E1.

又E1和E分别是A1B1和AB的中点，

∴A1E1綊BE，∴四边形A1EBE1是平行四边形，

∴A1E∥BE1，

又A1E⊄平面BCF1E1，BE1⊂平面BCF1E1，

∴A1E∥平面BCF1E1，

又A1E⊂平面EFD1A1，A1D1⊂平面EFD1A1，A1E∩A1D1＝A1，

∴平面EFD1A1∥平面BCF1E1.

4．已知直线l，m，平面α，β，下列命题正确的是（　　）

A．l∥β，l⊂α⇒α∥β

B．l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α⇒α∥β

C．l∥m，l⊂α，m⊂β⇒α∥β

D．l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α，l∩m＝M⇒α∥β

[答案]　D

[解析]　如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AB∥CD，则直线AB∥平面DC1，直线AB⊂平面AC，但是平面AC与平面DC1不平行，所以选项A错误；取BB1的中点E，CC1的中点F，则可证EF∥平面AC，B1C1∥平面AC.又EF⊂平面BC1，B1C1⊂平面BC1，但是平面AC与平面BC1不平行，所以选项B错误；直线AD∥B1C1，AD⊂平面AC，B1C1⊂平面BC1，但平面AC与平面BC1不平行，所以选项C错误；很明显选项D是两个平面平行的判定定理，所以选项D正确．

5．下列结论中：

（1）过不在平面内的一点，有且只有一个平面与这个平面平行；

（2）过不在平面内的一条直线，有且只有一个平面与这个平面平行；

（3）过不在直线上的一点，有且只有一条直线与这条直线平行；

（4）过不在直线上的一点，有且仅有一个平面与这条直线平行．

正确的序号为（　　）

A．

（1）

（2）B．（3）（4）

C．

（1）（3）D．

（2）（4）

[答案]　C

6．若平面α∥平面β，直线a∥α，点B∈β，则在平面β内过点B的所有直线中（　　）

A．不一定存在与a平行的直线

B．只有两条与a平行的直线

C．存在无数条与a平行的直线

D．存在唯一一条与a平行的直线

[答案]　A

[解析]　当直线a⊂β，B∈a上时满足条件，此时过B不存在与a平行的直线，故选A.

7．过平行六面体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有（　　）

A．4条B．6条

C．8条D．12条

[答案]　D

[解析]　如图所示，以E为例，易证EI，EQ∥平面DBB1D1.

与E处于同等地位的点还有F、G、H、M、N、P、Q，故有符合题意的直线

＝8条．以I为例，易证IE∥平面DBB1D1，与I处于同等地位的点还有J，K，L，故有符合题意的直线4条．∴共有8＋4＝12（条）．

8．如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：

①平面EFGH∥平面ABCD；

②平面PAD∥BC；

③平面PCD∥AB；

④平面PAD∥平面PAB.

其中正确的有（　　）

A．①③B．①④

C．①②③D．②③

[答案]　C

[解析]　把平面展开图还原为四棱锥如图所示，则EH∥AB，所以EH∥平面ABCD.同理可证EF∥平面ABCD，所以平面EFGH∥平面ABCD；平面PAD，平面PBC，平面PAB，平面PDC均是四棱锥的四个侧面，则它们两两相交．

∵AB∥CD，

∴平面PCD∥AB.

同理平面PAD∥BC.

二、填空题

9．如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面的位置关系是________．

[答案]　平行

10．已知平面α和β，在平面α内任取一条直线a，在β内总存在直线b∥a，则α与β的位置关系是________（填“平行”或“相交”）．

[答案]　平行

[解析]　假若α∩β＝l，则在平面α内，与l相交的直线a，设a∩l＝A，对于β内的任意直线b，若b过点A，则a与b相交，若b不过点A，则a与b异面，即β内不存在直线b∥a.故α∥β.

11.

如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1.

[答案]　点M在FH上

[解析]　∵FH∥BB1，HN∥BD，FH∩HN＝H，

∴平面FHN∥平面B1BDD1，

又平面FHN∩平面EFGH＝FH，

∴当M∈FH时，MN⊂平面FHN，

∴MN∥平面B1BDD1.

12．如下图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，

①BM∥平面DE；

②CN∥平面AF；

③平面BDM∥平面AFN；

④平面BDE∥平面NCF.

以上四个命题中，正确命题的序号是________．

[答案]　①②③④

[解析]　展开图可以折成如图a所示的正方体．

在正方体中，连接AN，如图b所示．

∵AB∥MN，且AB＝MN，

∴四边形ABMN是平行四边形．

∴BM∥AN.∴BM∥平面DE.同理可证CN∥平面AF，∴①②正确；

如图c所示，连接NF，BE，BD，DM，可以证明BM∥平面AFN，BD∥平面AFN，则平面BDM∥平面AFN，同理可证平面BDE∥平面NCF，所以③④正确．

三、解答题

13．在三棱锥P－ABC中，E、F、G分别在侧棱PA、PB、PC上，且

＝

＝

＝

，求证平面EFG∥平面ABC.

[分析]　要证平面EFG∥平面ABC，依据判定定理需在平面EFG内寻找两条相交直线分别与平面ABC平行，考虑已知条件的比例关系可产生平行线，故应从比例关系入手先找线线平行关系．

[证明]　在△PAB中，∵

＝

，∴EF∥AB，

∵EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，

∴EF∥平面ABC，同理FG∥平面ABC，

∵EF∩FG＝F，且FG⊂平面EFG，EF⊂平面EFG，

∴平面EFG∥平面ABC.

总结评述：

欲证“面面平行”，可证“线面平行”；证“线面平行”，可通过证“线线平行”来完成，这是立体几何最常用的化归与转化的思想．

14．如图，F，H分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1，AA1的中点，求证：

平面BDF∥平面B1D1H.

[证明]　取DD1中点E，

连AE、EF.

∵E、F为DD1、CC1中点，

∴EF綊CD.

∴EF綊AB，

∴四边形EFBA为平行四边形．

∴AE∥BF.

又∵E、H分别为D1D、A1A中点，

∴D1E綊HA，∴四边形HAED1为平行四边形．

∴HD1∥AE，

∴HD1∥BF，

由正方体的性质易知B1D1∥BD，且已证BF∥D1H.

∵B1D1⊄平面BDF，BD⊂平面BDF，

∴B1D1∥平面BDF.

∵HD1⊄平面BDF，BF⊂平面BDF，

∴HD1∥平面BDF.又∵B1D1∩HD1＝D1，

∴平面BDF∥平面B1D1H.

15．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC和SC的中点，求证：

（1）直线EG∥平面BDD1B1；

（2）平面EFG∥平面BDD1B1.

[证明]　

（1）如图所示，连接SB.

∵E，G分别是BC，SC的中点，

∴EG∥SB.

又∵SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，

∴直线EG∥平面BDD1B1.

（2）连接SD.∵F，G分别是DC，SC的中点，∴FG∥SD.

又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，

∴FG∥平面BDD1B1.

又EG∥平面BDD1B1，且EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，

∴平面EFG∥平面BDD1B1.

16．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D为AC的中点，点D1是A1C1上的一点，当

等于何值时，BC1∥平面AB1D1?

[解析]　

＝1.

证明如下：

如图所示，

此时D1为线段A1C1的中点，连接A1B交AB1于O，连接OD1.

由棱柱的定义，知四边形A1ABB1为平行四边形，

∴点O为A1B的中点．

在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，

∴OD1∥BC1.

又∵OD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1，

∴BC1∥平面AB1D1.

∴当

＝1时，BC1∥平面AB1D1.