一元二次方程全章讲义Word下载.doc

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4、（2012惠山区）一元二次方程（a+1）x2-ax+a2-1=0的一个根为0，则a=．

5、已知关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为1和－1，则a+b+c=，a－b+c=。

6、关于x的方程（k2－1）x2+2（k－1）x+2k+2=0，当k≠时，为一元二次方程；

当k=时，为一元一次方程。

二）、选择题：

1、下列方程中，不是一元二次方程的是（）

A、B、C、D、

2、方程化为一般形式后，a、b、c的值分别为（）

A、a=5，b=3，c=5B、a=5，b=－3，c=－5

C、a=7，b=，c=5D、a=8，b=6，c=1

三）、解答题：

1、已知关于x的方程（m2－1）x2+（m+1）x+1=0

（1）当m为何值时，此方程为一元二次方程？

（2）当m为何值时，此方程为一元一次方程？

2、关于x的方程（m+2）2x2+3m2x+m2－4=0有一根为0，求2m2－4m+3的值。

3、已知x=－2是方程x2－mx+2=0的一个根，试化简。

【能力提高练】：

1、试证明关于x的方程（m2－8m+17）x2+2m+1=0，不论m为何值，该方程都是一元二次方程。

2、已知x2+3x+1的值为5，则代数式2x2+6x－2的值为多少？

3、设是一个直角三角形两条直角边的长，且，求这个直角三角形的斜边长。

4、若的值是多少？

一元二次方程的解法

1、理解解一元二次方程的“降次”思想，将一元二次方程“化成”两个一元一次方程．

2、直接开平方法：

如果方程能化成或的形式，那么直接开平方可得或．

3、配方法：

通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫作配方法；

配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程。

4、公式法：

公式（）称为一元二次方程的求根公式，用此公式解一元二次方程的方法叫公式法；

5、利用因式分解使方程化为两个一次式乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解法叫作因式分解法．

6、一元二次方程根的判别式：

b2-4ac叫根的判别式；

（1）当b2-4ac>

0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等实数根即x1=，x2=．

（2）当b-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根即x1=x2=．

（3）当b2-4ac<

0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根．

1、用直接开平方法解下列方程：

（1）；

（2）

2、用配方法解下列方程：

（1）；

（2）．

3、用公式法解下列方程：

（1）5x2+2x-6=0

（2）4x2-7x+2=0（3）2x2-x-=0

4、用因式分解法解下列方程：

（2）；

（3）；

（4）．

5、已知y=2x2+7x－1，当x为何值时，y的值与4x+1的值相等？

x为何值时，y的值与x2－19的值互为相反数？

6、解方程。

7、若，，则x+y的值是多少？

一）、填空题

1、（2011镇江）已知关于x的方程的一个根为2,则m=_____,另一根是_______.

2、如果x2+mx+16是一个完全平方式，则m的值为。

3、当x=时，代数式x2+4x+6有最值是；

【提示：

配方法】

4、方程3x2+2=x中，a=，b=，c=，b2－4ac=；

5、已知一元二次方程ax2+4x+2=0且b2－4ac=0，则a=，x=。

6、（2011上海）如果关于x的方程（m为常数）有两个相等实数根，那么m＝______．

8、已知a≠0，a≠b，x=1是方程ax2+bx－10=0的一个解，则的值是。

1、解方程（x+5）2－3（x+5）=0，较简便的解法是（）

A、直接开平方法B、因式分解法C、配方法D、公式法

2、方程x2+2x－3=0的解是（）

A、x1=1，x2=3；

B、x1=1，x2=－3；

C、x1=－1，x2=3；

D、x1=－1，x2=－3。

3、（2011兰州）用配方法解方程时，原方程应变形为（）

A． B． C． D．

4、，则的值是（）

A、－6B、－2C、2D、6

5、（2011安徽）一元二次方程x（x－2）=2－x的根是（）

A．－1 B．2 C．1和2 D．－1和2

6、下列是某同学在一次数学测验中解答的题目，其中答对的是（）

A、若x2=4，则x=2；

B、若3x2=6x，则x=2；

C、若x2+x－k=0的一个根是1，则k=2；

D、若分式的值为零，则x=2。

7、已知方程x2－6x+q=0可以配方成（x－p）2=7的形式，那么x2－6x+q=2可以配方成下列的（）

A、（x－p）2=5；

B、（x－p）2=9；

C、（x－p+2）2=9；

D、（x－p+2）2=5。

8、关于x的方程k2x2+2（k－1）x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是（）

A、k＜B、k≤C、k＜且k≠0D、k≤且k≠0

三、解答题：

（2）；

（3）；

2、用配方法解下列方程：

（2）．（3）．

3、用公式法解方程

（1）x2+4x+2=0;

（2）3x2-6x+1=0;

（3）4x2-16x+17=0;

（1）y2＋7y＋6＝0；

（2）t（2t－1）＝3（2t－1）；

（3）（2x－1）（x－1）＝1．

【能力提高】

1、已知一元二次方程x2－4x+k=O有两个不相等的实数根。

（1）求k的取值范围；

（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2－4x+k=0与x2+mx－1=0有一个相同的根，求此时m的值。

2、已知、、为三角形的三边,求证∶方程没有实数根。

3、已知9a2-4b2=0，求代数式的值．

一元二次方程的根的判别式以及根与系数的关系

【知识点】

1、一元二次方程的根的情况可由来判定，我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“△”来表示。

当△>

0时，有两个不相等实数根；

当△＝0时，有两个相等的实数根，当△<

0时，没有实数根，反过来也成立。

2、如果的两个根是，那么

3、如果方程的两个根是，那么

4、以两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是

【例题选讲】

例1：

不解方程，判别下列方程的根的情况；

（2）；

（3）

例2：

已知关于x的方程，当k取什么值时，

（1）方程有两个不相等的实数根；

（2）方程有两个相等的实数根；

（3）方程没有实数根。

例3：

求证：

不论a为任何实数，方程总有实数根。

例4：

利用根与系数的关系，求一元二次方程两个根的

（1）平方和；

（2）倒数和。

例5：

（2010孝感）关于x的一元二次方程、

（1）求p的取值范围；

（2）若的值.

例6：

求一个一元二次方程，使它的两个根是4和5。

【拓展延伸】例7、设方程的大根为，方程的小根为，则_____________．

例8、若，且有及，则，．

【能力训练】：

1．（2011德州）若，是方程的两个根，则=__________．

2．（2011宜宾）已知一元二次方程的两根为a、b，则的值是____________．

3、设m、n是一元二次方程x2＋3x－7＝0的两个根，则m2＋4m＋n＝．

4、（2013眉山）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为α、β，则（α+3）（β+3）=______

5、已知方程两根分别是0和－3，那么p+q＝。

6、（2013绵阳）已知整数k＜5，若△ABC的边长均满足关于x的方程，则△ABC的周长是。

7、（2013泸州）设是方程的两个实数根，则的值为（）

A.5B.-5C.1D.-1

8、（2011南充）方程（x+1）（x－2）=x+1的解是（）

（A）2（B）3（C）－1，2（D）－1，3

9、（2011福州）一元二次方程根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根

10、（2013泸州）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是

A.B.且C.且D.且

11、如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（　　）

A．B．且C．D．且

12、解答题

（1）、（2010珠海）已知x1=-1是方程的一个根，求m的值及方程的另一根x2。

（2）、设是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：

① ②

（3）、（2013•乐山）已知一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0.

（1）求证：

方程有两个不相等的实数根；

（2）若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5.当△ABC是等腰三角形时，求k的值.

（4）、（10中山）已知一元二次方程．

①若方程有两个实数根，求m的范围；

②若方程的两个实数根为，，且+3=3，求m的值。

（5）、（10孝感）已知关于x的方程x2－2（k－1）x+k2=0有两个实数根x1，x2.

①求k的取值范围；

②若，求k的值.

（6）、已知是一元二次方程的一根，求的值。

用一元二次方程解决问题

1.列方程解应用题的一般步骤：

（1）审题：

了解问题的实际意义，分清已知条件和未知量之间的关系。

（2）设未知数：

一般情况下求什么设什么为未知数。

（3）列方程：

根据量与量之间的关系，找出相等关系，列出方程。

（4）解方程：

灵活运用一元二次方程的四种解法。

（5）验根：

检验一元二次方程的根是否满足题意。

（6）答：

作答。

2.一元二次方程应用题常见题类型：

（1）数字问题。

（2）与面积有关的几何问题。

（3）平均变化率问题。

（4）经营问题。

（5）行程为题。

（6）工程问题。

【经典例题】

1、平均变化率问题：

平均变化率问题的公式b=a（1+x）na为变化前的基数，x为变化率（增长时x>

0，减小时x<

0），n为变化次数，b为变化后的量。

某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？

若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？

例2、（2011日照）为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2010年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2012年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．

（1）求每年市政府投资的增长率；

（2）若这两年内的建设成本不变，求到2012年底共建设了多少万平方米廉租房．

【类题练习】：

1.（2013黔西南）某机械厂七月份生产零件50万个，若第八、九月的增长率相同，且第三季度生产零件196万个（）

A、50（1+x2）=196B、50+50（1+x2）=196

C、50+50（1+x）+50（1+x2）=196D、50+50（1+x）+50（1+2x）=196

2、（2011广安）广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售。

（1）求平均每次下调的百分率。

（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：

①打9.8折销售；

②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？

3（2011东营）随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多的进入普通家庭，成为居民消费新的增长点。

据某市交通部门统计，2008年底全市汽车拥有量为15万辆，而截止到2010年底，全市的汽车拥有量已达21.6万辆。

（1）求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率；

（2）为了保护环境，缓解汽车拥堵状况，从2011年起，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2012年底全市汽车拥有量不超过23.196万辆；

另据估计，该市从2011年起每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%。

假定在这种情况下每年新增汽车数量相同，请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆。

2、与面积有关的几何问题：

熟练运用相关的面积公式列方程，注意有时为了利于计算，需要对图形进行变换或割补等方法。

例3、在宽20m，长为32m的矩形耕地上修三条同样宽的耕作道路，使耕地面积为，道路宽应为多少？

例4、一块长和宽分别为40厘米和250厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体纸盒，使它的底面积为7200平方厘米.那么纸盒的高是多少？

例5、如图某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），另三边用木栏围成，木栏长35m。

①鸡场的面积能达到150m2吗？

②鸡场的面积能达到180m2吗？

如果能，请你给出设计方案；

如果不能，请说明理由。

（3）若墙长为m,另三边用竹篱笆围成，题中的墙长度m对题目的解起着怎样的作用?

【类题练习】:

1、在一块长10米，宽8米的矩形草坪中央，划出面积为48平方米的矩形草地栽花，使原来矩形四周剩下的草坪的宽度相同，求这个宽度。

2、将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.

（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?

（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗?

若能，求出两段铁丝的长度；

若不能，请说明理由.

3、（2012湘潭）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2．

3、营销问题：

总利润=销售总额-总成本-其他费用总利润=（销售单价-进货单价）×

销售数量-其他费用（注意：

销售量的表达式。

）

例6、国美电器城电视机专卖柜台平均每天售出电视机50台，每台赢利400元，经市场调查发现，若每台电视机降价10元，每天可多卖出5台，店长计划在元旦当天降价促销，且达到30000元利润，问每台电视机应降价多少元？

例7、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：

（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润．

（2）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少?

1.某商店将进货价元的商品按元售出，每天可销售件，在经营中发现该商品每件的售价提高元，其销量就减少件，问该商品每件售价定为多少元，才能使每天利润为元？

2.（2011义乌）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元.为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元.据此规律，请回答：

（1）商场日销售量增加件，每件商品盈利元（用含x的代数式表示）；

（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？

3、山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：

（1）每千克核桃应降价多少元？

（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？

4、（2012•南京）某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：

若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部返利0.5万元；

销售量在10部以上，每部返利1万元．

（1）若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为万元；

（2）如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月返利12万元，那么汽需要售出多少部车？

（盈利=销售利润+返利）

4、球赛问题：

（1）.若是单循环赛，则x个队，每个队需赛（x－1）场，共赛x（x－1）场（握手问题与此同类）；

若每两队之间赛2场，则共赛x（x－1）场（互赠贺卡问题与此同类）。

例8、.要组织一场篮球联赛,每两队之间都赛2场,计划安排90场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?

1.元旦期间,一个小组有若干人,新年互送贺卡一张,已知全组共送贺卡132张,则这个小组共有多少人.

2.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支?

其他问题：

例9.【动点问题】如图：

△ABC中，AB=6㎝，BC=8㎝，点P从A点开始沿AB边向点B以1㎝/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2㎝/s的速度移动，则P、Q分别从A、B同时出发，经过多少秒钟，△PBQ的面积等于8㎝2？

【类型题】1、已知：

如图所示，在△中，.点从点开始沿边向点以1cm/s的速度移动，点从点开始沿边向点以2cm/s的速度移动.

（1）如果分别从同时出发，那么几秒后，△的面积等于4cm2？

（2）如果分别从同时出发，那么几秒后，的长度等于5cm？

（3）在

（1）中，△的面积能否等于7cm2?

说明理由.

2、【利率问题】王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期储蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）（列式子）

3、（2013铜仁）铜仁市某电解金属锰厂从今年1月起安装使用回收净化设备（安装时间不计），这样既改善了环境，又降低了原料成本，根据统计，在使用回收净化设备后的1至x月的利润的月平均值w（万元）满足w=10x+90．

（1）设使用回收净化设备后的1至x月的利润和为y，请写出y与x的