2-21题2-21图为一车辆的力学模型,已知车的质量m、悬挂弹簧的弹簧常数k及车的水平行驶速度v,道路前方有一隆起的曲形地面∶。
(1)求车通过曲形地面时的振动;
(2)求车通过曲形地面后的振动。
题2-21图
解:
由牛顿定律,可得系统的微分方程为,
由曲形地面∶,得到
得到系统的激振力为,。
(1)车通过曲形地面时的振动为
(2)车通过曲形地面后的振动
车通过曲形地面后以初位移和初速度作自由振动,即
,
由公式,得到车通过曲形地面后的振动响应为
其中,,。
或积分为
习题与综合训练第三章
题3-1图
3-1复摆重P,对质心的回转半径为,质心距转动轴的距离为a,复摆由水平位置无初速地释放,列写复摆的运动微分方程。
解:
系统具有一个自由度,选复摆转角为广义坐标,原点及正方向如例图3-1(a)中所示。
复摆在任意位置的外力图如题3-1(a)图。
根据刚体绕定轴转动微分方程
其中
得到复摆运动微分方程为
或
由和初始条件
将上式分离变量积分可得到复摆在任意位置的角速度。
所以
当时,,此瞬时复摆的外力图如图(b)。
由质心运动定理
所以 ,
要点及讨论
(1)刚体绕定轴转动微分方程可与质点运动基本定律类比。
运用此方程可解决定轴转动刚体的动力学问题,因通过转动轴的未知约束力在外力矩中不出现,所以对转动轴取矩可直接建立刚体运动微分方程。
这是绕定轴转动微分方程的一般用法。
在某些情况下也可用此方程求解未知力。
如图(c)所示,若已知皮带轮角加速度,可用定轴转动微分方程求皮带拉力,之间的关系。
(2)当刚体运动确定后,欲求转动轴处的未知约束力,可用质心运动定理,即
式中,,a为质心距转动轴的距离。
约束力沿质心切线与法线方向分解较为方便。
(3)刚体运动微分方程列出后,根据给出的初始条件进行积分,可求得刚体任意瞬时的角速度及角位移。
在本题中也可直接用定积分求出摆至铅垂位置时的角速度,积分式为
。
在铅垂位置处直接应用定轴转动微分方程,可求出此位置的角加速度,即,此时外力矩MO为零,所以。
(4)在本题中也可选例图13-2(d)所示角为广义坐标,此时微分方程为
。
读者试解释方程中的“一”号表示什么?
并给出对应于角的初始条件,然后求解问题
(2)。
3-2均质半圆柱体,质心为,与圆心O1的距离为e,柱体半径为,质量为,对质心的回转半径为,在固定平面上作无滑动滚动,如题3-2图所示,列写该系统的运动微分方程。
题3-2图
解:
系统具有一个自由度,选为广义坐标。
半圆柱体在任意位置的动能为:
用瞬心法求:
故
系统具有理想约束,重力的元功为
应用动能定理的微分形式
等式两边同除,
,等式两边同除
故微分方程为
①
若为小摆动,,并略去二阶以上微量,上述非线性微分方程可线性化,系统微摆动的微分方程为
要点及讨论
(1)本题也可以用平面运动微分方程求解。
系统的受力图与运动分析图如图(b)所示。
列写微分方程
上述方程包含,,,,五个未知量,必须补充运动学关系才能求解。
建立质心坐标与广义坐标之间的关系
,
所以
运动学方程式⑤⑥与方程②③④联立,消去未知约束力,,就可以得到与式①相同的系统运动微分方程。
因为在理想约束的情况下,未知约束力在动能定理的表达式中并不出现,所以用动能定理解决已知力求运动的问题更简便、直接。
(2)本题也可用机械能守恒定律求解。
系统的动能
选半圆柱体中心O1所在平面为零势面,系统的势能
由
两边对时间求导数,即可得到与式①相同的运动微分方程。
3-3均质杆AB,长,质量为,沿光滑墙面滑下,如题3-3图所示。
设水平面也为光滑的。
列写该系统的运动微分方程。
题3-3图
解:
系统具有一个自由度,选为广义坐标。
系统在任一位置的动能为
由瞬心法求质心的速度
,,
所以
系统的主动力图为图(a)所示。
重力的元功为
由动能定理
所以
系统的运动微分方程为
要点及讨论
(1)平面运动刚体可用式计算刚体动能,式中为刚体对瞬心的转动惯量,为质心与瞬心间的距离。
在本题中质心的速度也可用式计算。
其中
(2)所谓广义坐标应包含坐标值(线位移或角位移)、坐标原点、坐标正方向。
广义坐标的选择一般不是唯一的,例如在本题中也可选杆与水平线的夹角为广义坐标,正方向如图(b)所示(顺时针),广义坐标选定后其它运动量(位移及位移的一阶、二阶导数)都根据广义坐标确定(包括大小与正方向)。
如质心C的位移与速度,正方向应如图所示,大小分别为
,
系统的动能
主动力的元功
根据动能定理建立的方程为
所以
“—”号说明当取正值时为负,即反时针方向。
(3)本题也可用平面运动微分方程求解,读者试列出方程。
3-4如题3-4图所示,均质圆柱体质量为,半径为,沿倾斜角为的三角块作无滑动滚动,质量为的三角块置于光滑的水平面上。
列写该系统的运动微分方程。
题3-4图
解:
系统具有两个自由度,选为广义坐标。
系统具有理想约束,且在水平方向的外力为零,所以系统机械能守恒:
,水平方向动量守恒。
整理后可分别列写两个方程
①
②
式中①②为系统微分方程的首次积分,对时间求导后,即可得到系统运动微分方程。
要点及讨论
(1)在理想约束的情况下,动能定理建立了系统的动能与主动力之间的关系,直接给出了系统的速度(或角速度)与位移(或角位移)之间的关系,对时间求导一次可得到系统的运动微分方程。
(2)用动能定理建立系统运动微分方程的步骤为:
①分析系统受力,在理想约束的情况下只有主动力作功,所以一般在受力图上只画主动力。
②建立广义坐标,确定其原点和正方向;分析系统运动,重点是分析速度(角速度),将速度(角速度)用广义速度表示。
③计算系统在任意位置的动能,将动能表示为广义坐标、广义速度的函数。
④计算力的功,若用积分形式动能定理,则计算主动力在有限路程上的功,若用微分形式的动能定理,则计算力的元功。
⑤应用动能定理建立系统的受力与运动间的关系。
(3)在理想约束、主动力又为势力的情况下,可用机械能守恒定律建立系统运动微分方程。
(4)对于多自由度系统,如两个自由度系统,动能定理只给出一个方程,必须与其他定理,如动量定理或动量矩定理联合应用,才能得到另外一个方程。
题3-5图
3-5题3-5(a)图所示为刚性建筑模型。
刚性基础质量为m,刚性建筑的质量为M,对质心C的转动惯量为IC。
两刚体在O处铰接并附有刚度系数为k1的扭转弹簧。
其他参数如图示。
设地基有水平运动z(t),试建立系统微幅运动微分方程。
图中。
解:
应用牛顿矢量力学建立刚体运动的微分方程时,首先要画出每个刚体的受力图,如题3-5图(b)、(c)所示。
对于图(b),建立刚体的水平运动微分方程为
(1)
对于图(c):
建立刚体在铅垂平面内的运动微分方程为
(2)
(3)
(4)
其中xC、yC及x均是对固定坐标系的坐标,同时考虑到微小运动的假说,于是有
(5)
(6)
由方程
(1)、
(2)消去未知力,FOx并考虑式(5)得
(7)
又由方程
(2)、(3)和(4)消去未知力FOy、FOx,并考虑式(5)和(6),得
(8)
方程(7)和(8)为系统微幅运动微分方程,若令x和q为确定系统位置的广义坐标,写为矩阵形式
那么,方程(7)和(8)改写为矩阵形式如下:
(9)
由此例题可以看出,应用牛顿矢量力学建立系统的运动微分方程,一定要画受力图,于是必然要涉及未知约束力,因此较为繁琐,特别是该例中的组合刚体系统更是如此。
然而对于多自由度系统,应用拉格朗日方程建立运动微分方程较为简单。
由动静法得,以整体为研究对象:
以M为研究对象:
又忽略高阶小量,所以以上两式化简后得:
化成矩阵形式为:
3-6题3-6图所示两端简支的均匀梁,已知弯曲刚度为EI,单位长度的质量为m,分布载荷为F(y,t)。
试用哈密顿原理求运动方程。
解:
若梁的挠曲函数为w(y,t),则动能为
(a)
应变(势能)为
题3-6图
(b)
外力功为(c)
将式(a)、式(b)与式(c)代入变分式
(d)
得到
(e)
对式(e)进行分部积分运算,得到
(f)
由于,时,哈密顿原理要求dw=0,因而式(f)变为
(f)
因为,t1与t2区间的虚位移dw不可能为零,由此,得到梁的边界条件
(h)
与运动方程
(i)
两端简支的梁,显然是满足边界条件式(h)的。
3-7应用拉格朗日方程导出题3-7图所示系统的运动微分方程。
题3-7图
解:
取各质量偏离其平衡位置的x1、x2、x3、x4为广义坐标。
即
(1)
则系统的动能
(2)
系统的势能为
(3)
计算拉格朗日方程中的各项导数如下:
将以上各项导数代入拉格朗日方程得
(4)
写成矩阵形式
(5)
其中
质量矩阵
刚度矩阵
位移列阵
3-8在地震研究中,建筑物可简化为支承在两弹簧上的质量为m的刚体,其中直线弹簧的弹性系数为k,扭转弹簧的弹性系数为kT,如题3-8图所示。
设IG为建筑物相对质心G的转动惯量,试利用坐标x(相对于平衡位置的直线运动)及描述建筑物转动的坐标q,求出运动方程。
(a)(b)
题3-8图
运动的分离体图如图(b)所示。
地震中可设q为微小角度,因此
因此运动方程为
如果则
则频率方程为
即
或
由动静法得,以刚体m为研究对象:
又忽略高阶小量,所以以上两式化简后得:
图中:
kx、m应反向。
方程应为
3-9为了使结构隔离机器产生的振动,将机器安装在一很大的机座上,机座由弹簧支承,如题3-9图所示。
试求机座在图示平面内的运动方程。
题3-9图
选择坐标q1、q2、q3,这些坐标已能完全描述该系统的运动,并相互独立。
设机器和机座的总质量为