高考数学分类全解全析函数与导数Word文档格式.doc
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(A)1(B)2
(C)3(D)4
(10)A【命题意图】本题考查导数在研究函
数单调性中的应用,考查函数图像,
考查思维的综合能力.难度大.
【解析】代入验证,当时,
,则,
由可知,,结合图像可知函数应在递增,在递减,即在取得最大值,由,知a存在.故选A.
(13)函数的定义域是.
(13)(-3,2)
【命题意图】本题考查函数的定义域,考查一元二次不等式的解法.
【解析】由可得,即,所以.
北京理6.根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位:
分钟)为
(A,c为常数)。
已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A件产品时用时15分钟,那么c和A的值分别是
A.75,25 B.75,16C.60,25 D.60,16
【解析】由条件可知,时所用时间为常数,所以组装第4件产品用时必然满足第一个分段函数,即,,选D。
13.已知函数,若关于x的方程有两个不同的实根,则实数k的取值范围是________.
【解析】单调递减且值域为(0,1],单调递增且值域为,有两个不同的实根,则实数k的取值范围是(0,1)。
18.已知函数.
(1)求的单调区间;
(2)若对,,都有,求的取值范围。
解:
(1),令得
当时,在和上递增,在上递减;
当时,在和上递减,在上递增
(2)当时,;
所以不可能对,都有;
当时有
(1)知在上的最大值为,所以对
,都有
即,故对,都有时,的取值范围为。
北京文(8)已知点,,若点在函数的图象上,则使得的面积为2的点的个数为A
A.4 B. 3 C.2 D.1
(18)(本小题共13分)
已知函数,(I)求的单调区间;
(II)求在区间上的最小值。
(I),令;
所以在上递减,在上递增;
(II)当时,函数在区间上递增,所以;
当即时,由(I)知,函数在区间上递减,上递增,所以;
当时,函数在区间上递减,所以。
福建理5.等于C
A.1 B. C. D.
9.对于函数(其中,),选取的一组值计算和,所得出的正确结果一定不可能是D
A.4和6 B.3和1 C.2和4 D.1和2
10.已知函数,对于曲线上横坐标成等差数列的三个点A,B,C,给出以下判断:
B
①△ABC一定是钝角三角形
②△ABC可能是直角三角形
③△ABC可能是等腰三角形
④△ABC不可能是等腰三角形
其中,正确的判断是
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
18.(本小题满分13分)某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量(单位:
千克)与销售价格(单位:
元/千克)满足关系式,其中,为常数,已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若该商品的成品为3元/千克,试确定销售价格的值,使商场每日销售该商品所获
得的利润最大.
(Ⅰ)因为时,所以;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知该商品每日的销售量,所以商场每日销售该商品所获得的利润:
;
,令得
函数在上递增,在上递减,所以当时函数取得最大值
答:
当销售价格时,商场每日销售该商品所获得的利润最大,最大值为42.
福建文6.若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是
A.(-1,1)B.(-2,2)
C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C
8.已知函数f(x)=,若f(a)+f
(1)=0,则实数a的值等于
A.-3B.-1C.1D.3
A
10.若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值等于
A.2 B.3 C.6 D.9
D
22.(本小题满分14分)
已知a、b为常数,且a≠0,函数f(x)=-ax+b+axlnx,f(e)=2,(e=2.71828…是自然对数的底数)。
(Ⅰ)求实数b的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅲ)当a=1时,是否同时存在实数m和M(m<M),使得对每一个t∈[m,M],直线y=t与曲线y=f(x)(x∈[,e])都有公共点?
若存在,求出最小的实数m和最大的实数M;
若不存在,说明理由。
22、(Ⅰ)b=2;
(Ⅱ)a>0时单调递增区间是(1,+∞),单调递减区间是(0,1),a<0时单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,+∞);
(Ⅲ)存在m,M;
m的最小值为1,M的最大值为2。
广东理4.设函数和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是
A.+|g(x)|是偶函数B.-|g(x)|是奇函数
C.||+g(x)是偶函数D.||-g(x)是奇函数
解析:
因为g(x)是R上的奇函数,所以|g(x)|是R上的偶函数,从而+|g(x)|是偶函数,故选A.
12.函数在处取得极小值.
(2)设是定点,其中满足.过作的两条切线,切点分别为,与分别交于.线段上异于两端点的点集记为.证明:
21.解:
(1),
直线AB的方程为,即,
,方程的判别式,
两根或,
,,又,
,得,
.
(2)由知点在抛物线L的下方,
①当时,作图可知,若,则,得;
若,显然有点;
.
②当时,点在第二象限,
作图可知,若,则,且;
根据曲线的对称性可知,当时,,
综上所述,(*);
由(1)知点M在直线EF上,方程的两根或,
同理点M在直线上,方程的两根或,
若,则不比、、小,
,又,
又由(1)知,;
,综合(*)式,得证.
(3)联立,得交点,可知,
过点作抛物线L的切线,设切点为,则,
得,解得,
又,即,
,设,,
,又,;
,,
广东文4.函数的定义域是()C
A.B.C.D.
10.设是R上的任意实值函数.如下定义两个函数和;
对任意,;
.则下列等式恒成立的是()
A.
B.
C.
D.
B
12.设函数若,则.-9
19.(本小题满分14分)
设,讨论函数的单调性.
函数f(x)的定义域为(0,+∞)
综上所述,f(x)的单调区间如下表:
(其中)
湖北理6.已知定义在R上的奇函数和偶函数满足
,若,则
A. B.C.D.
【答案】B
解析:
由条件,,即
,由此解得,,
所以,,所以选B.
10.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其含量不断减少,这种现象成为衰变,假设在放射性同位素铯137的衰变过程中,其含量(单位:
太贝克)与时间(单位:
年)满足函数关系:
,其中为时铯137的含量,已知时,铯137的含量的变化率是(太贝克/年),则
A.5太贝克B.太贝克C.太贝克D.150太贝克
【答案】D
因为,则,解得,所以,那么(太贝克),所以选D.
17.(本小题满分12分)
提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度(单位:
千米/小时)是车流密度(单位:
辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;
当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时.研究表明:
当时,车流速度是车流密度的一次函数.
(Ⅰ)当时,求函数的表达式;
(Ⅱ)当车流密度为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:
辆/小时)可以达到最大,并求出最大值.(精确到1辆/小时)
本题主要考查函数、最值等基础知识,同时考查运用数学知识解决实际问题的能力.
(Ⅰ)由题意:
当时,;
当时,设,显然在是减函数,由已知得,解得
故函数的表达式为=
(Ⅱ)依题意并由(Ⅰ)可得
当时,为增函数,故当时,其最大值为;
当时,,
当且仅当,即时,等号成立.
所以,当时,在区间上取得最大值.
综上,当时,在区间上取得最大值,
即当车流密度为100辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为3333辆/小时.
21.(本小题满分14分)
(Ⅰ)已知函数,,求函数的最大值;
(Ⅱ)设…,均为正数,证明:
(1)若……,则;
(2)若…=1,则…+。
(Ⅰ)的定义域为,令,
在上递增,在上递减,故函数在处取得最大值
(Ⅱ)
(1)由(Ⅰ)知当时有即,
∵,∴
∵∴即
(2)①先证,令,则
由
(1)知
∴;
②再证…+,记
则于是由
(1)得
所以…+。
综合①②,
(2)得证
湖北文15.里氏震级M的计算公式为:
,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅
是相应的标准地震的振幅,假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1000,此时标准地
震的振幅为0.001,则此次地震的震级为__________级;
9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的__________倍。
6,10000;
20.(本小题满分13分)
设函数,,其中,a、b为常数,已知曲线与在点(2,0)处有相同的切线。
(I)求a、b的值,并写出切线的方程;
(II)若方程有三个互不相同的实根0、、,其中,且对任意的,恒成立,求实数m的取值范围。
(I),由于曲线曲线与在点(2,0)处有相同的切线,故有,由此解得:
切线的方程:
‘
(II)由(I)得,依题意得:
方程有三个互不相等的根
,故是方程的两个相异实根,所以
又对任意的,恒成立,特别地,取时,
成立,即,由韦达定理知:
,故,对任意的,有
,则:
又
所以函数在上的最大值为0,于是当时对任意的,恒成立;
综上:
的取值范围是。
湖南文7.曲线在点处的切线的斜率为()
A.B.C.D.
答案:
,所以
。
8.已知函数若有则的取值范围为
A.B.C.D.
由题可知,,若有则,即,解得。
12.已知为奇函数,.
6
,又为奇函数,所以。
22.(本小题13分)
设函数
(I)讨论的单调性;
(II)若有两个极值点,记过点的直线的斜率为,问:
是否存在,使得若存在,求出的值,若不存在,请说明理由.
(I)的定义域为
令
(1)当故上单调递增.
(2)当的两根都小于0,在上,,故上单调递增.
(3)当的两根为,
当时,;
当时,,故分别在上单调递增,在上单调递减.
(II)由(I)知,.
因为,所以
又由(I)知,.于是
若存在,使得则.即.亦即
再由(I)知,函数在上单调递增,而,所以这与式矛盾.故不存在,使得
湖南理6.由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为()
A.B.1C.D.
由定积分知识可得,故选D。
8.设直线与函数的图像分别交于点,则当达到最小时的值为()
A.1B.C.D.
由题,不妨令,则,令解得,因时,,当时,,所以当时,达到最小。
即。
20.如图6,长方形物体E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向作匀速移动,速度为,雨速沿E移动方向的分速度为。
E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分:
(1)P或P的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量,假设其值与×
S成正比,比例系数为;
(2)其它面的淋雨量之和,其值为,记为E移动过程中的总淋雨量,当移动距离d=100,面积S=时。
(Ⅰ)写出的表达式
(Ⅱ)设0<v≤10,0<c≤5,试根据c的不同取值范围,确定移动速度,使总淋雨量最少。
(I)由题意知,E移动时单位时间内的淋雨量为,
故.
(II)由(I)知,当时,
当时,
故。
(1)当时,是关于的减函数.故当时,。
(2)当时,在上,是关于的减函数;
在上,是关于的增函数;
故当时,。
22.(本小题满分13分)
已知函数()=,g()=+。
(Ⅰ)求函数h()=()-g()的零点个数,并说明理由;
(Ⅱ)设数列满足,,证明:
存在常数M,使得对于任意的,都有≤
.
(I)由知,,而,且
,则为的一个零点,且在内有零点,因此至少有两个零点
解法1:
,记,则。
当时,,因此在上单调递增,则在内至多只有一个零点。
又因为,则在内有零点,所以在内有且只有一个零点。
记此零点为,则当时,;
所以,
当时,单调递减,而,则在内无零点;
当时,单调递增,则在内至多只有一个零点;
从而在内至多只有一个零点。
综上所述,有且只有两个零点。
解法2:
因此在内也至多只有一个零点,
(II)记的正零点为,即。
(1)当时,由,即.而,因此,由此猜测:
下面用数学归纳法证明:
①当时,显然成立;
②假设当时,有成立,则当时,由
知,,因此,当时,成立。
故对任意的,成立。
(2)当时,由
(1)知,在上单调递增。
则,即
从而,即,由此猜测:
综上所述,存在常数,使得对于任意的,都有.
江苏2.函数的单调增区间是__________
在在大于零,且增.
本题主要考查函数的概念,基本性质,指数与对数,对数函数图象和性质,容易题
8.在平面直角坐标系中,过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点,则线段PQ长的最小值是________.
4.
设经过原点的直线与函数的交点为,,则.
本题主要考查幂函数,函数图象与性质,函数与方程,函数模型及其应用,两点间距离公式以及基本不等式,中档题.
11.已知实数,函数,若,则a的值为________
.
,不符合;
本题主要考查函数概念,函数与方程,函数模型及其应用,含参的分类讨论,中档题.
12.在平面直角坐标系中,已知点P是函数的图象上的动点,该图象在P处的切线交y轴于点M,过点P作的垂线交y轴于点N,设线段MN的中点的纵坐标为t,则t的最大值是_____________
设则,过点P作的垂线
,
,所以,t在上单调增,在单调减,
本题主要考查指数运算,指数函数图象、导数的概念,导数公式,导数的运算与几何意义、利用导数研究函数,导数的应用、直线方程及其斜率、直线的位置关系,运算求解能力,综合应用有关知识的能力,本题属难题.
17.请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=xcm.
(1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm)最大,试问x应取何值?
(2)若广告商要求包装盒容积V(cm)最大,试问x应取何值?
并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
(1)根据题意有
(0<
x<
30),
所以x=15cm时包装盒侧面积S最大.
(2)根据题意有,
所以,当x=20时,V取极大值也是最大值.
此时,包装盒的高与底面边长的比值为.
即x=20包装盒容积V(cm)最大,此时包装盒的高与底面边长的比值为
本题主要考查空间想象能力、数学阅读能力及运用数学知识解决实际问题的能力、建立数学函数模型求解能力、导数在实际问题中的应用,中档题.
19.(本小题满分16分)已知a,b是实数,函数和是的导函数,若在区间I上恒成立,则称和在区间I上单调性一致.
(1)设,若函数和在区间上单调性一致,求实数b的取值范围;
(2)设且,若函数和在以a,b为端点的开区间上单调性一致,求|a-b|的最大值.
(1)因为函数和在区间上单调性一致,所以,
即
即实数b的取值范围是
(2)由
若,则由,,和在区间上不是单调性一致,
所以.
;
又.
所以要使,只有
取,当时,因此
当时,因为,函数和在区间(b,a)上单调性一致,所以,
即,
设,考虑点(b,a)的可行域,函数的斜率为1的切线的切点设为
则;
当时,因为,函数和在区间(a,b)上单调性一致,所以,
即而x=0时,不符合题意,
当时,由题意:
综上可知,。
本题主要考查单调性概念、导数运算及应用、含参不等式恒成立问题,综合考查、线性规划、解二次不等式、二次函数、化归及数形结合的思想,考查用分类讨论思想进行探索分析和解决问题的综合能力.
(1)中档题;
(2)难题.
江西理3.若,则定义域为
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】由解得,故,选A
4.设,则的解集为
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】定义域为,又由,解得或,所以的解集
7.观察下列各式:
,,,…,则的末四位数字为
A.3125B.5625C.0625D.8125
【解析】观察可知当指数为奇数时,末三位为125;
又,即为第1004个指数为奇数的项,应该与第二个指数为奇数的项()末四位相同,∴的末四位数字为8125
19.(本小题满分12分)
设.
(1)若在上存在单调递增区间,求的取值范围;
(2)当时,在上的最小值为,求在该区间上的最大值.
【解析】
(1)在上存在单调递增区间,即存在某个子区间使得.由,在区间上单调递减,则只需即可。
由解得,
所以,当时,在上存在单调递增区间.
(2)令,得两根,,.
所以在,上单调递减,在上单调递增
当时,有,所以在上的最大值为
又,即
所以在上的最小值为,得,,
从而在上的最大值为.
江西文3、若,则的定义域为()
A.B.C.D.
C解析:
4.曲线在点A(0,1)处的切线斜率为()
A.1B.2C.D.
A解析:
6.观察下列各式:
则,…,则的末两位数字为()
A.01B.43C.07D.49
B解析:
18.(本小题满分12分)
如图,在交AC于点D,现将
(1)当棱锥的体积最大时,求PA的长;
(2)若点P为AB的中点,E为
(1)设,则
令
则
单调递增
单调递减
由上表易知:
当时,有取最大值。
证明:
作得中点F,连接EF、FP,由已知得:
为等腰直角三角形,,
20.(本小题满分13分)
(1)如果在处取得最小值,求的解析式;
(2)如果,的单调递减区间的长度是正整数,试求和
的值.(注:
区间的长度为)
.解:
(1)已知,
又在处取极值,
则,又在处取最小值-5.
则,
(2)要使单调递减,则
又递减区间长度是正整数,所以两根设做a,b。
即有:
b-a为区间长度。
又b-a为正整数,且m+n<
10,所以m=2,n=3或,符合。
辽宁理9.设函数,则满足的x的取值范围是
A.,2] B.[0,2] C.[1,+] D.[0,+]
11.函数的定义域为,,对任意,,则的解集为
A.(,1) B.(,+) C.(,) D.(,+)
21.(本小题满分12分)
已知函数.(I)讨论的单调性;
(II)设,证明:
(III)若函数的图像与x轴交于A,B两点,线段AB中点的横坐标为x0,证明:
(x0)<0.
(I)
(i)若单调增加.
(ii)若且当
所以单调增加,在单调减少.………………4分
(II)设函数则
当.
故当,………………8分
(III)由(I)可得,当的图