概率论与数理统计试题及答案Word格式文档下载.doc
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2．设连续型随机变量的密度为
（1）确定常数A
（2）求（3）求分布函数F（x）.
（2）①
故A=5。
②（3分）
③当x<
0时,F（x）=0;
（1分）
当时，（2分）
故.（1分）
3．设二维随机变量（）的分布密度
求关于和关于的边缘密度函数。
（3）
4．设连续型随即变量的概率密度，
求E（x）,D（x）
（4）（4分）
（3分）
（3分）
四．证明题（本大题共2小题，总计10分）
2．设是独立随机变量序列，且，
试证服从大数定理。
（2）
由切比雪夫大数定理可知服从大数定理。
（1分）
概率论与数理统计考试时间：
120分钟试卷总分100分
一、选择题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5个小题，每小题3分，总计15分）
1．设为两随机事件，且，则下列式子正确的是＿＿A＿＿
A．B．
Ｃ. Ｄ．
2.设那么当增大时，C
A．增大B．减少C．不变D．增减不定
3． 设＿A＿
Ａ．1B.2C．3D．0
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，总计15分
1.设A、B、C、是三个随机事件。
用A、B、C表示事件“A、B、C至少有一个发生”
;
2．设有10件产品，其中有1件次品，今从中任取出1件为次品的概率是0.1
3．设随机变量X与Y相互独立，则随机变量的概率密度函数 ;
4．已知则1.16
三、计算题（本大题共6小题，每小题10分，共计60分）
１．设考生的报名表来自三个地区，各有10份，15份，25份，其中女生的分别为3份，7份，5份。
随机的从一地区先后任取两份报名表。
求先取到一份报名表是女生的概率。
解.设为“取得的报名表为女生的”,为“考生的报名表是第i个地区的”,i=1,2,3
由全概率公式2分
3分
3分
1分
即先取到一份报名表为女生的概率为.1分
２．设随机变量X的概率密度为，求①A值；
②X的分布函数；
③
（1），2分
（2）1分
3分
1分
（3）3分
３．设二维随机变量有密度函数：
求：
（1）常数；
（2）落在区域D的概率，其中
3.，5分
5分
4.设足球队A与B比赛，若有一队胜4场，则比赛结束，假设A，B在每场比赛中获胜的概率均为，试求平均需比赛几场才能分出胜负？
4.设为需要比赛的场数，1分
则，，，，4分
所以4分
答：
平均需比赛6场才能分出胜负1分
２．设为相互独立的随机变量序列,
证明服从大数定律。
2．1分
1分
令则2分
，由切比雪夫不等式知
1分
故有，
即服从大数定律。
1分
1．对于事件，下列命题正确的是＿＿D＿＿
A．若互不相容，则
B．若相容，则
Ｃ．若互不相容，则
Ｄ．若那么
2.假设随机变量Ｘ的分布函数为，密度函数为．若Ｘ与－Ｘ有相同的分布函数，则下列各式中正确的是＿＿C＿＿
A．＝；
B．＝；
C．＝；
D．＝；
３.若，，那么的联合分布为＿＿C＿＿
Ａ.二维正态，且；
Ｂ.二维正态，且不定；
Ｃ.未必是二维正态；
Ｄ.以上都不对．
４.设随机变量Ｘ和Ｙ的方差存在且不等于０，则是Ｘ和Ｙ的＿＿C＿＿
A.不相关的充分条件，但不是必要条件；
B.独立的必要条件，但不是充分条件；
C.不相关的充分必要条件；
D.独立充分必要条件．
1.设A、B、C、是三个随机事件。
用A、B、C表示事件“A、B、C恰有一个发生”
2.设离散型随机变量X分布律为则A=1/5
3.用的联合分布函数表示=;
4．已知且则7.4
１．轰炸机轰炸目标，它能飞到距离目标400，200，100（米）的概率分别为0.5，0.3，0.2，又设他在距离目标400，200，100（米）的命中率分别为0.01，0.02，0.1。
求目标被命中的概率。
1.由全概率公式2分
7分
目标被命中的概率为.1分
２．设随机变量的概率密度为，求①值；
②的分布函数；
③求落在区间内的概率。
2.
（1），2分
4分
（3）3分
３．设二维随机变量的密度函数：
求关于与关于的边缘分布密度；
3.当时，3分
于是2分
同理5分
4.设随机变量具有密度函数，求及。
4.5分
5分
四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）
２．设，是独立随机变量序列，
证明服从大数定律。
2．
（1分）
一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，总计20分）
1.设为随机事件,,,,则2/3
2．设10把钥匙中有2把能打开门,现任意取两把,能打开门的概率是17/45
3．设~~,且与相互独立,则35
4．设随机变量上服从均匀分布,则关于未知量的方程有实根的概率为____5/6_____
5.设随机变量的数学期望,方差,用切比雪夫不等式估计得4/5.
二、选择题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5个小题，每小题4分，总计20分）
1．设事件相互独立,且,,，则有B
（A）;
（B）;
（C）;
（D）
2.设~,那么概率D
（A）随增加而变大;
（B）随增加而减小；
（C）随增加而不变;
（D）随增加而减小
3.设,,则C
（B）;
（C）;
（D）
4．设相互独立，服从上的均匀分布，的概率密度函数为，则＿＿D＿＿
（B）;
（C）;
（D）
三、计算题（本大题共5小题，每小题10分，共计50分）
1．某产品整箱出售，每一箱中20件产品，若各箱中次品数为0件，1件，2件的概率分别为80％，10％，10％，现在从中任取一箱，顾客随意抽查4件，如果无次品，则买下该箱产品，如果有次品，则退货，求:
（1）顾客买下该箱产品的概率；
（2）在顾客买下的一箱产品中，确实无次品的概率.
解:
设表示“顾客买下该箱产品”，分别表示“箱中次品数为0件，1件，2件”则80％，10％10％，，1，，，（3分）
由全概率公式得：
448/475，（7分）
由贝叶斯公式得：
95/112（10分）
2．已知随机变量的密度为,且,
求:
（1）常数的值;
（2）随机变量的分布函数
（1）由,解得（4分）
（2）,当时,，当时,,当时,，
所以
（10分）
3．设二维随机变量有密度函数：
（1）求边缘概率密度；
（2）求条件密度；
（3）求概率.
（1）
（4分）
（2）当时,=
当时,（8分）
（3）（10分）
4.设随机变量独立同分布，都服从参数为的泊松分布，设,,求随机变量与的相关系数
4.解:
,,
,（8分）
=3/5（10分）
1.设事件相互独立,证明事件与事件也相互独立
1.证明：
由于事件相互独立，所以，，，，（2分）所以
即,所以事件与也相互独立（5分）
1.设是两个随机事件,,,则事件“同时发生”的对立事件的概率为0.6
2．设有40件产品，其中有4件次品，从中不放回的任取10次，每次取一件，则最后一件取的为次品的概率是0.1
3．设随机变量与相互独立,~~则随机变量的方差为 24
4．设随机变量的数学期望,方差,用切比雪夫不等式估计得,则10
1．设总体~,是取自总体的一个样本,则为参数的无偏估计量的是（A）
（B）;
（C）;
（D）
2.设~,则满足的参数（C）
（A）0;
（B）1;
（C）2;
（D）3
3．设,,则（C）
1．两个箱子中都有10个球，其中第一箱中4个白球，6个红球，第二箱中6个白球，4个红球，现从第一箱中任取2个球放入第二箱中，再从第二箱中任取1个球，
（1）求从第二箱中取的球为白球的概率；
（2）若从第二箱中取的球为白球，求从第一箱中取的2个球都为白球的概率
1．解:
设表示“从第二箱中取的球为白球”，分别表示“从第一箱中取的2个球都为白球,1白1红，2个球都为红球”，则=2/15，=8/15，=1/3，2/3，7/12，1/2，（4分）由全概率公式得：
17/30，由贝叶斯公式得：
8/51（10分）
2．设随机变量与同分布，的概率密度为，事件与事件相互独立，且，求常数的值。
2．解:
由于事件相互独立，所以，所以
，解得
或（舍去），（5分）
所以，得（10分）
（1）求常数；
（2）求边缘概率密度；
（3）是否相互独立。
3．解：
（1），（4分）
（8分）
（3），所以相互独立。
（10分）
4.设随机变量~，~，相关系数，设
求：
（1）随机变量的期望与方差；
（2）随机变量与的相关系数
4.解：
（1）~，~，所以，，，，，所以
，（5分）
（2）由于，所以（10分）
1.设事件相互独立,证明事件与事件也相互独立.
由于事件相互独立，所以，，，，所以
即,所以事件与也相互独立。
（5分）
一、填空题（本大题共6小题，每小题3分，总计18分）
1.设为随机事件,,,则2/3
2．10个球队平均分成两组进行比赛,则最强的两个队分到同一组的概率为2/9
3．设随机变量在区间上服从均匀分布,则的数学期望为
4．设~为二项分布,且,,则___8___0.2
5.设随机变量在区间上服从均匀分布,用切比雪夫不等式估计得1/12.
二、选择题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共6个小题，每小题3分，总计18分）
1．设为事件,且,则下列式子一定正确的是（B）
（D）
2.设随机变量的分布率为,,则（D）
（B）;
（C）;
3.设,概率密度为,分布函数为,则有（A）
（A）;
（B）;
（C）,;
（D）,
4.设,,则（A）
5.设随机变量满足方差,则必有（B）
（A）与独立;
（B）与不相关;
（C）与不独立;
（D）或
1．有三个盒子,第一个盒子中有2个黑球,4个白球,第二个盒子中有4个黑球,2个白球,第三个盒子中有3个黑球,3个白球,今从3个盒子中任取一个盒子,再从中任取1球.
（1）求此球是白球的概率；
（2）若已知取得的为白球,求此球是从第一个盒子中取出的概率.
解:
设表示“取得的为白球”，分别表示“取得的为第一，二，三盒的球”则，，，，（2分）
1/2，（6分）
4/9（10分）
2．已知连续型随机变量的分布函数为,其中为常数。
（2）随机变量的密度函数;
（3）
（1）由右连续性,，得，，解得（6分）
（2）,（8分）
（3）=1/3（10分）
3．设随机变量在区间上服从均匀分布,求概率密度。
3．解:
的概率密度为，，，反函数导数，，，所以的概率密度为（10分）
4．设二维随机变量的密度函数：
（1）求常数的值；
（3）和是否独立?
4．解:
（1）由，得（3分）
（2）（6分）
（9分）
（3），不独立（10分）
5.设二维随机变量的概率密度函数：
求
（1）数学期望与；
（2）与的协方差
5.解:
（2分）,（4分）（6分），所以=9/40（10分）
四、证明题（本大题共1小题，每小题4分，共4分）
1.设三个事件满足,试证明:
由于，所以，所以
（4分）
1.设为随机事件,,,则0.1
2．10件产品中有4件次品,从中任意取2件,则第2件为次品的概率为0.4
3．设随机变量在区间上服从均匀分布,则的概率密度函数为
4．设随机变量的期望,方差,则期望54
5.设随机变量服从参数为2的泊松分布,则应用切比雪夫不等式估计得1/2.
1．设为对立事件,,则下列概率值为1的是（C）
（B）;
（C）;
（D）
2.设随机变量~,概率密度为,分布函数,则下列正确的是（B）
（C）,;
（D）,
3.设是随机变量的概率密度,则一定成立的是（B）
（A）定义域为;
（B）非负;
（C）的值域为;
（D）连续
5.设随机变量的方差,,相关系数,则方差（D）
（A）40;
（B）34;
（C）17.6;
（D）25.6
1．甲乙丙三个同学同时独立参加考试,不及格的概率分别为:
0.2,0.3,0.4,
（1）求恰有2位同学不及格的概率；
（2）若已知3位同学中有2位不及格,求其中1位是同学乙的概率.
1．解:
设分别表示“甲,乙,丙同学不及格”,则，，，由题意相互独立（2分）
（1）事件“恰有2位同学不及格”为:
，所以
=0.188（6分）
（2）=33/47（10分）
2．已知连续型随机变量的分布函数为,
（1）由右连续性得，即,又由得，，解得（5分）
（3）（10分）
3．设随机变量与相互独立,概率密度分别为:
,
求随机变量的概率密度
由于随机变量与相互独立,所以的密度函数为
（2分）
（1）由，得（2分）
（2）（5分）
（2分）,（4分）（6分），所以=3/160,（10分）
1.设任意三个事件,试证明:
因为,又由于
，所以，,所以
即（4分）
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