《理论力学》静力学典型习题+答案Word格式.doc
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AB受力如图所示，由力偶系作用下刚体的平衡方程有（设力偶逆时针为正）：
其中：
。
对BC杆有：
A，C两点约束力的方向如图所示。
2-4
机构中AB杆为二力杆，点A,B出的约束力方向即可确定。
由力偶系作用下刚体的平衡条件，点O,C处的约束力方向也可确定，各杆的受力如图所示。
对AB杆有：
对OA杆有：
求解以上三式可得：
，，方向如图所示。
//
2-6求最后简化结果。
2-6a
坐标如图所示，各力可表示为:
， ，
先将力系向A点简化得（红色的）：
，
方向如左图所示。
由于，可进一步简化为一个不过A点的力（绿色的），主矢不变，其作用线距A点的距离，位置如左图所示。
2-6b
同理如右图所示，可将该力系简化为一个不过A点的力（绿色的），主矢为：
其作用线距A点的距离，位置如右图所示。
简化中心的选取不同，是否影响最后的简化结果？
是
2-13
整个结构处于平衡状态。
选择滑轮为研究对象，受力如图，列平衡方程（坐标一般以水平向右为x轴正向，竖直向上为y轴正向，力偶以逆时针为正）：
选梁AB为研究对象，受力如图，列平衡方程：
求解以上五个方程，可得五个未知量分别为：
（与图示方向相反）
（与图示方向相同）
（逆时针方向）
2-18
选AB杆为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：
求解以上两个方程即可求得两个未知量，其中：
未知量不一定是力。
以下几题可看一看！
2-27
选杆AB为研究对象，受力如下图所示。
列平衡方程：
（运用力对轴之矩！
）
由和可求出。
平衡方程可用来校核。
思考题：
对该刚体独立的平衡方程数目是几个？
2-29
杆1，2，3，4，5，6均为二力杆，受力方向沿两端点连线方向，假设各杆均受压。
选板ABCD为研究对象，受力如图所示，该力系为空间任意力系。
采用六矩式平衡方程：
（受拉）
（受压）
（受压）
（受拉）
本题也可以采用空间任意力系标准式平衡方程，但求解代数方程组非常麻烦。
类似本题的情况采用六矩式方程比较方便，适当的选择六根轴保证一个方程求解一个未知量，避免求解联立方程。
2-31力偶矩
取棒料为研究对象，受力如图所示。
列平衡方程:
补充方程：
五个方程，五个未知量，可得方程：
解得。
当时有：
即棒料左侧脱离V型槽，与提议不符，故摩擦系数。
2-33
当时，取杆AB为研究对象，受力如图所示。
附加方程：
四个方程，四个未知量，可求得。
2-35
选棱柱体为研究对象，受力如图所示。
假设棱柱边长为a，重为P，列平衡方程：
如果棱柱不滑动，则满足补充方程时处于极限平衡状态。
解以上五个方程，可求解五个未知量，其中：
（1）
当物体不翻倒时，则：
（2）
即斜面倾角必须同时满足
（1）式和
（2）式，棱柱才能保持平衡。
FCx
FCy
FBx
FBy
3-10
假设杆AB，DE长为2a。
取整体为研究对
象，受力如右图所示，列平衡方程：
取杆DE为研究对象，受力如图所示，列平
衡方程：
取杆AB为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：
（与假设方向相反）
（与假设方向相反）
3-12
FD
取整体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：
杆AB为二力杆，假设其受压。
取杆AB和AD构成的组合体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：
解得，命题得证。
注意：
销钉A和C联接三个物体。
FA
FB
3-14
取整体为研究对象，由于平衡条件可知该力系对任一点之矩为零，因此有：
即必过A点，同理可得必过B点。
也就是和是大小相等，方向相反且共线的一对力，如图所示。
取板AC为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：
解得：
（方向如图所示）
3-20
支撑杆1，2，3为二力杆，假设各杆均受压。
选梁BC为研究对象，受力如图所示。
其中均布载荷可以向梁的中点简化为一个集中力，大小为2qa，作用在BC杆中点。
D
F3
选支撑杆销钉D为研究对象，受力如右图所示。
（受压）
（受拉）
选梁AB和BC为研究对象，受力如图所示。
（与假设方向相反）
（逆时针）
FAx
FAy
3-21
选整体为研究对象，受力如右图所示。
由题可知杆DG为二力杆，选GE为研究对象，作用于其上的力汇交于点G，受力如图所示，画出力的三角形，由几何关系可得：
取CEB为研究对象，受力如图所示。
代入公式
（1）可得：
3-24
取杆AB为研究对象，设杆重为P，受力如图所示。
取圆柱C为研究对象，受力如图所示。
由于绳子也拴在销钉上，因此以整体为研究对象求得的A处的约束力不是杆AB对销钉的作用力。
3-27
取整体为研究对象，设杆长为L，重为P，受力如图所示。
（1）
取杆BC为研究对象，受力如图所示。
（2）
FN
Fs
P
，
将
（1）式和
（2）式代入有：
，即。
3-29（…………………………）
证明：
（1）不计圆柱重量
法1：
取圆柱为研究对象，圆柱在C点和D点分别受到法向约束力和摩擦力的作用，分别以全约束力来表示，如图所示。
如圆柱不被挤出而处于平衡状态，则等值，反向，共线。
由几何关系可知，与接触点C，D处法线方向的夹角都是，因此只要接触面的摩擦角大于，不论F多大，圆柱不会挤出，而处于自锁状态。
FND
FSD
o
法2（解析法）：
首先取整体为研究对象，受力如图所示。
再取杆AB为研究对象，受力如图所示。
取圆柱为研究对象，受力如图所示。
假设圆柱半径为R，列平衡方程：
由补充方程：
，可得如果：
则不论F多大，圆柱都不被挤出，而处于自锁状态。
（2）圆柱重量P时
取圆柱为研究对象，此时作用在圆柱上的力有重力P，C点和D点处的全约束力。
如果圆柱保持平衡，则三力必汇交于D点（如图所示）。
全约束力与C点处法线方向的夹角仍为，因此如果圆柱自锁在C点必须满足：
（1）
该结果与不计圆柱重量时相同。
只满足
（1）式时C点无相对滑动，但在D点有可能滑动（圆柱作纯滚动）。
再选杆AB为研究对象，对A点取矩可得，由几何关系可得：
法1（几何法）：
φ
FRD
FRC
圆柱保持平衡，则作用在其上的三个力构成封闭得力三角形，如图所示。
由几何关系可知：
将
（2）式代入可得：
因此如果圆柱自锁在D点必须满足：
（3）
即当同时满足
（1）式和（3）式时，圆柱自锁，命题得证。
取圆柱为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：
，
代入补充方程：
可得如果圆柱自锁在D点必须满足：
3-30
由题可知，杆AC为二力杆。
作用在杆BC上的力有主动力，以及B和C处的约束力和，由三力平衡汇交，可确定约束力和的方向如图所示，其中：
，杆AC受压。
取轮A为研究对象，受力如图所示，设的作用线与水平面交于F点，列平衡方程：
取轮B为研究对象，受力如图所示，设的作用线与水平面交于G点，列平衡方程：
解以上六个方程，可得：
，，
，
若结构保持平衡，则必须同时满足：
，，，
即：
因此平衡时的最大值，此时：
，
3-35
由图可见杆桁架结构中杆CF，FG，EH为零力杆。
用剖面SS将该结构分为两部分，取上面部分为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：
（受拉）
（受拉）
（受压）
3-38
假设各杆均受压。
取三角形BCG为研究对象，受力如图所示。
取节点C为研究对象，受力如图所示。
，解以上两个方程可得：
（受压）
3-40
取整体为研究对象，受力如图所示。
A
3
4
5
S
用截面S-S将桁架结构分为两部分，假设各杆件受拉，取右边部分为研究对象，受力如图所示。
4-1
1.选定由杆OA，O1C，DE组成的系统为研究对象，该系统具有理想约束。
作用在系统上的主动力为。
2.该系统的位置可通过杆OA与水平方向的夹角θ完全确定，有一个自由度。
选参数θ为广义坐标。
3.在图示位置，不破坏约束的前提下，假定杆OA有一个微小的转角δθ，相应的各点的虚位移如下：
，，
代入可得：
4.由虚位移原理有：
对任意有：
，物体所受的挤压力的方向竖直向下。
4-4
4a
1.选杆AB为研究对象，该系统具有理想约束。
设杆重为P,作用在杆上的主动力为重力。
2.该系统的位置可通过杆AB与z轴的夹角θ完全确定，有一个自由度。
杆的质心坐标可表示为：
3.在平衡位置，不破坏约束的前提下，假定杆AB逆时针旋转一个微小的角度
δθ，则质心C的虚位移：
即杆AB平衡时：
4b
3.在平衡位置，不破坏约束的前提下，假定杆AB顺时针旋转一个微小的角度
即平衡时角满足：
4-5
1.选整个系统为研究对象，此系统包含弹簧。
设弹簧力，且，将弹簧力视为主动力。
此时作用在系统上的主动力有，以及重力。
2.该系统只有一个自由度，选定为广义坐标。
3.在平衡位置，不破坏约束的前提下，假定有一个微小的虚位移δθ，则质心的虚位移为：
弹簧的长度，在微小虚位移δθ下：
其中，代入上式整理可得：
由于，对任意可得平衡时弹簧刚度系数为：
4-6
解除A端的约束，代之以，并将其视为主动力，此外系统还受到主动力的作用。
系统有三个自由度，选定A点的位移和梁AC的转角为广义坐标。
1．在不破坏约束的前提下给定一组虚位移，如图所示。
由虚位移原理有：
对任意可得：
2．在不破坏约束的前提下给定一组虚位移，如下图所示。
（1）
由几何关系可得各点的虚位移如下：
代入
（1）式：
，方向如图所示。
3．在不破坏约束的前提下给定一组虚位移，如上图所示。
（2）
有几何关系可得各点的虚位移如下：
代入
（2）式：
，逆时针方向。
4-7
将均布载荷简化为作用在CD中点的集中载荷，大小为。
1.求支座B处的约束力
解除B点处的约束，代之以力，并将其视为主动力，系统还受到主动力的作用，如图所示。
在不破坏约束的前提下，杆AC不动，梁CDB只能绕C点转动。
系统有一个自由度，选转角为广义坐标。
给定虚位移，由虚位移原理有：
（1）
各点的虚位移如下：
代入
（1）式整理可得：
，方向如图所示。
2.求固定端A处的约束力
解除A端的约束，代之以，并将其视为主动力，系统还受到主动力的作用。
2a.求
在不破坏约束的前提下给定一组虚位移，此时整个结构平移，如上图所示。
（2）
代入
（2）式整理可得：
2b.求
在不破坏约束的前提下给定一组虚位移，此时梁AC向上平移，梁CDB绕D点转动，如上图所示。
（3）
代入（3）式整理可得：
2c.求
在不破坏约束的前提下给定一组虚位移，此时梁AC绕A点转动，梁CDB平移，如上图所示。
（4）
代入（4）式整理可得：
，顺时针方向。
4-8
假设各杆受拉，杆长均为a。
1．求杆1受力
去掉杆1，代之以力，系统有一个自由度，选AK与水平方向的夹角为广义坐标，如上图所示。
在不破坏约束的条件下给定一组虚位移，此时三角形ADK形状不变，绕A点转动，因此有，且：
滑动支座B处只允许水平方向的位移，而杆BK上K点虚位移沿铅垂方向，故B点不动。
三角形BEK绕B点旋转，且：
对刚性杆CD和杆CE，由于，因此。
代入各点的虚位移整理可得：
（受压）。
2．求杆2受力
去掉杆2，代之以力，系统有一个自由度，选BK与水平方向的夹角为广义坐标，如上图所示。
在不破坏约束的条件下给定一组虚位移，杆AK绕A点转动，因此有，且：
同理可知B点不动，三角形BEK绕B点旋转，且：
杆AD绕A点转动，由刚性杆DE上点E的虚位移可确定D点位移方向如图所示，且：
同理可知。
3．求杆3受力
去掉杆3，代之以力，系统有一个自由度，选AK与水平方向的夹角为广义坐标，如上图所示。
在不破坏约束的条件下给定一组虚位移，三角形ADK绕A点转动，，且：
同理可知B点不动，，且：
（受拉）。
θ
4-12铅垂力F为常力
F大小和方向不变，常力也是有势力。
取
杆和弹簧构成的系统为研究对象。
该系统为保
守系统，有一个自由度，选为广义坐标，如
图所示。
取为零势能位置，则系统在
任意位置的势能为：
由平衡条件可得：
有：
和
也就是：
和两个平衡位置。
为判断平衡的稳定性，取势能V的二阶导数：
当时，
，即时是不稳定平衡。
由上式可知：
1．当且时，即是稳定平衡位置；
2．当且时，即是不稳定平衡位置。
O
h
β
4-15
取半径为r的半圆柱为研究对象，圆心为C。
半圆柱作纯滚动，有一个自由度，取两个半圆心连线与y轴夹角为广义坐标。
作用在半圆柱上的主动力为重力，系统为保守系统，如图所示，其中。
由于半圆柱作纯滚动，有：
（1）
取坐标原点为零势能位置，则半圆柱在任意位置的势能为：
代入
（1）式有：
由平衡条件可得为平衡位置。
势能V的二阶导数：
由上式可得当，是稳定的。
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