递推数列求通项公式Word下载.doc

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解:

把两边同除以得,

令,则,且.

从而,所以.

类型2形如的递推式

例2、已知数列前项和为,且，求数列的通项公式。

分析:

利用公式,把已知条件中的消去.

解:

因为.

从而.故,所以.

类型3形如的递推式

可用待定系数法,设,与已知式子相比较得,从而数列成等比数列,易得.

例3、已知数列满足，求数列的通项公式。

解:

因为,得且.

所以.从而得.

例4、数列中,设，求数列的通项公式。

分析:

看见这种等式,一般采用把等式两边同时取对数的方法进行转化.

因为,所以,

令,有,则,所以.

从而.故.

类型4形如的递推式

将两边同除以,得,令,则,由此仿照类型1可求出,从而求出.

例5、数列前项和为,且，求数列的通项公式。

求时,由,①,有,②.

①－②，得，即．

两边同除以得,令,则,,

从而.

故也适合.

类型5形如的递推式

设辅助数列将使,则,

即.令,则转化为类型1的递推式,可求出,从而求出.

例6、已知数列满足，求数列的通项公式。

由得,①.

令,则有,

取,得.

由①式有,即.

令,则.

类型6形如的递推式

（1）当时,则,即,则成等比数列,从而,仿照类型1可求出.

（2）当时,存在实数满足,与已知等式比较,得,

把看作一元二次方程的两根,容易求出.故则成等比数列,可得,仿照类型4可求出.把方程称为递推式的特征方程,其中是特征方程的两个根,则有下列结论:

①当时,;

②当时,;

③当时,,其中是由初始值确定的常数.

例7、（2008广东高考理科）设为实数，是方程的两个实根，数列满足，，（…）．

（1）证明：

，；

（2）求数列的通项公式；

（3）若，，求的前项和．

（1）略.

（2）解法1:

因为.故.

令，则.

于是,.

故当时,

.

又因为.

故当时,.

故当时,;

当时,.

解法2:

由已知可知,该数列是二阶齐次线性递归数列,其特征方程为.是方程的两个实根.则.

当时,则.

由解得:

所以.

解法3:

设，则，由得，

消去，得，是方程的根，由题意可知，

①当时，此时方程组的解记为

即、分别是公比为、的等比数列，

由等比数列性质可得,,

两式相减，得

，，

，即，

②当时，即方程有重根，，

即，得，不妨设，由①可知

即，等式两边同时除以，得，即

数列是以1为公差的等差数列，,

综上所述，

（3）把，代入，得，解得

类型7形如的递推式

一般的,设是递推关系的特征方程的两个根.

（1）当时,可令,则为等比数列;

（2）当时,可令,则为等比数列.

例8、在数列中,,求数列的通项公式。

由于的特征方程的两根为,

所以,两式相除得,.则数列为等比数列.

因为,所以,所以,所以.

例9、在数列中,,求数列的通项公式。

显然,得,所以.

所以数列是首项为,公差为的等差数列,所以,所以.

类型8形如的递推式

一般的,通过构造新数列,令或者通过平方,把已知递推式的根号去掉,便于化简变形.

例10、在数列中,,求数列的通项公式。

由,可得.

所以,所以,所以.

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