关于房价问题的数学模型建立与分析Word格式.doc
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β贷款成数
cＣＰＩ指数
kj 第j年,指数
φ年供占输入比重理论比重
在还款时间段内实际年供占输入比重平均
α 首付工作年限比（即为达到首付储蓄时的实际工作年限比上理论应该的工作时间）
η 贷款还付能力权重，则（1-η）为首付能力权重
P 总房价，单位为万元
I 年人均可支配收入
S0 建成批售的商品住宅房面积
S1 商品房销售建筑面积
S2 商品房竣工面积
B 商品房均价
2.3问题的细化与模型的建立
房价合理性模型为：
将居民贷款买房时承受能力量化为购房承受能力系数，标准合理是假定为1，当系数大于1时即为超出合理能力，购房将使家庭负担增加，小于1时相反。
2.3.1对影响房价的因素考虑及处理
因素
指标
代码
与房价关系
商品住宅价格
商品房均价=商品房销售额/商品房销售建筑面积
P
1
供需关系
供给=商品房竣工面积供需差
需求=商品房销售建筑面积
S
D
-
+
影响需求因素
城镇居民人均可支配收入
Y
个人购房贷款
L1
对房屋购买力预期的影响
B
供给影响因素
房地产投资的贷款成本
L
商品房住宅的竣工价值
G
开发商合理利润修订系数
C
宏观经济因素
经济发展水平=国内生产总值
GDP
物价水平=居民消费价格指数
CPI
利率水平=5年以上贷款利率
I
不定
宏观经济影响因素：
通过对目前以及过去的房价走势来看，银行储蓄利率，人民币汇率等对房价影响不大，在经济相对稳定的大环境下，对居民购买力水平影响有限，因而在对房价的影响因素中不与考虑；
但如GPD，物价水平，贷款利率水平，居民收入对人民购买力以及房价走势影响巨大，因而给予重点考虑。
2.3.2模型分析与系数推导
（一）对购房承受能力系数的推导
房价收入比指数的意义。
房价收入比是指家庭购房总价与居民家庭年收入的比值，用于考察居民的购房能力。
尽管房价收入比是一个全球通用指标，但其合理范围却没有国际惯例。
世界银行对全球96个国家（地区）1998年的统计资料显示，各国（地区）房价收入比的数值是高度离散的，这96个国家（地区）房价收入比最高的为30，最低的为0．8，平均值为8．4，中位数为6．4。
根据目前国情来看，大多数对商品住房有刚性需求的家庭多以贷款方式买房，一般贷款年限在20年左右，所以在目前中国国情下，我组认为取20为符合国情且大部分居民能接受的合适值。
以P表示总房价，I表示家庭年均可支配收入。
以f0=7为例，表示此类家庭7个月的可支配收入可以购买当时1m2的商品住宅房，大概15年的可支配收入可以买下90m2的房子，视为承受能力的衡量单位。
房价p一定时，I与月均可支配收入m成反比。
所以，I越小，表示收入越高，购房能力越强；
I越大，则表示收入越低，购房能力越弱。
1 百姓购房承受能力系数的推导。
由于我国目前收入差距较大，平均收入水平往往不能代表消费主体的收入状况。
据此国际通用的房价合理性评价标准房价月收入比（HI）作为一主要影响因素。
其中低收入家庭的住房问题视为由国家和地方政府补贴的廉价租赁房和经济适用房解决，不再纳入模型的讨论范畴。
购房后每月实际应还款数：
每年为：
还款占可支配收入理论比例：
;
实际比例
则每月还款数合理区间为：
取合适区间内最大合理月还款x，此时对应合理负担时最小的可支配收入：
由于经济发展水平对收入影响大，关联性强，尤其是GDP增长与年人均可支配收入增长成明显的正相关，因而考虑在一目前的经济发展趋势，预测第k年时可支配收入为，但于此同时因为物价上涨等因素会导致购买力下降，对居民实际购买力产生不可忽略的影响，因此考虑第k年实际购买力为，通过对以上因素的探讨和对模型的修正，则第k年实际还款负担系数
从而得出在n年的还款过程中，购房者年平均还款负担系数为下式所示：
将上式带入整理化简，实际还款负担系数为：
进而得到百姓承受能力系数
（1），合理的为0.5。
当CSL=1时，即为在此房价下贷款买房对于购买者造成的负担是合理的且能接受的，当CSL<
1时，对购房者造成的负担小于理论合理负担，即为房价较低；
当CSL>
1时，对购房者造成的负担超出合理负担，是过重的；
当=2时，即为购房者需要拿出所有收入购房才行；
当>
2时，购房者没有购房能力。
另一方面，我们从维持房地产业可持续发展的角度出发，通过对房地产企业的盈利与亏损预测分析，来预测房地产是否是良性发展。
（二）房地产业可持续发展比例的推导
目前房地产的定价没有形成一个稳定的价格估算体系，开发商一般采用成本加利润的方法来确定商品房定价，出于盈利的目的，一些不合理的费用统统计人了成本，比如说税费和非建筑面积的计算：
而且，目前房地产资金流投机现象严重，从而抬高了房价。
为了简化模型得到合理房价，在房价的合理性中不涉及房地产开发中各项成本的细节讨论，以简化模型中不确定因素。
以下讨论选定地区一定时期的房价水平
住宅房的开发和销售情况：
即建房周期内建成商品住宅房的竣工价值为G，银行在房地产业的贷款总额为L（假设贷款L全部用于房地产投资，即L包含于G，由于无法直接获得L的相关数据，我们假设房地产开发商前期投入自筹资金60%的条件下，剩余40%的资金均来自于银行贷款，即L=0.4G），此建房周期开始时的五年期贷款利率为y，由此得到投资商贷款成本计算公式为
。
根据我国的具体国情，一个建房周期取为5年。
为了提高银行资产的安全性，规定建房周期结束后开发商的还款年限为T年，则开发商的总成本近似为，基于对实际的考虑，认为开发商在竣工一年后即可获利来支付贷款，所以取T=1。
（1）商品住宅房具有刚性需求，根据理性预期假设，消费者还会根据对未来经济形势和住宅价格水平的预期做出决策。
基于理性预期，消费者主要根据上一个售房周期的房价和销售情况来判断当时的房价是否合理，从而决定购房与否。
基于以上分析，建立刚性需求面积模型，即：
，其中，S0为当前建房年份的建成商品房竣工面积，S1商品房销售建筑面积。
，
S2为上一建房年份商品房竣工面积
为刚性需求面积；
P为本周期批售时的平均单位房价；
为上一周期成交的平均单位房价:
*则表示在刚性需求的基础上,由于相邻两个售房周期的价格比对实际购房量的影响。
据此定义预期成交面积为，
当*时，S（P）=*;
当*时,S（P）=;
相应的，预期收益为Y=s（p）*p，据此定义房地产业可持续发展比为：
S=（s（p）*p-G）/
（2）
其意义如下：
当S<
O时，表示投资方亏损，完全无力按期还贷，表明房地产业的不可持续发展；
O=<
S<
l表示投资方能够偿还贷款本金，但尚不足以支付全部的贷款利息，处于亏损状态。
表明房地产业对金融行业造成了一定的不稳定因素；
S>
=1表示投资方基本可以完成期望收益，并能够完全付清银行的放款本息和；
且S越大，开发商的经济利润也越大。
鉴于目前国内住房空置率较高，所以我们暂不考虑情形二，即假设新建商品房能够满足购买需求。
2.3.3模型的建立
我们认为：
合理的房价应该是使和百姓购房的承受能力都尽能高的价格水平，从而我们的目标是max：
wl*S+w2*。
其中S和作为P的函数分别由
（1）式和
（2）式给出；
wl、w2>
O，作为S,的权重，可以酌情调整。
首先限定百姓承受能力系数>
=O．5，查阅国外标准，系数定为0.3，但是考虑到中国国情，房价短期内不会有大的降幅，所以将系数定为0.5.这样，对于中等收入家庭，可以在2x10*0.5=5年以内付起90m2房子的首付，住进新房。
然后限定s（p）*p->
=0,表示到规定年限地产商的销售收益至少要足以偿还从银行贷款的本息和，确保银行资产的安全.
同时，由直观的批售量的限制有s（p）=<
S0
由此，s（p）=*表示住房尚未售完，根据上述分析，相应的约束条件为：
s（p）*p->
=0
s（p）=<
2.4模型的求解
城市规模的划分标准，在一线城市中，我们选取北京，广州；
二线城市中，选取西安，南京，三线城市中选取潍坊，宝鸡作为样本城市，分别查阅相关数据如附表所示
我们选取了2008年北京的房价作为例子来说说明模型的求解过程，如下为所选取的数据（数据来自中国数据统计年鉴）
2008年北京商品住宅竣工价值G
706.377亿元
投资从国内银行贷款量L
267.97亿元
住宅商品房建成面积S2
1399.3万平方米
住宅商品房实际销售面积S1
410万平方米
平均成交单价
11648元/平方米
刚性需求面积
472.67万平方米
房地产投资的五年期贷款利率
6.22%
情形一中，权值赋为w1=0.7，w2=0.3利用lingo得出的最优解为
结果分析：
模型中op为百姓承受能力系数=1.4144214，IO为房地产业可持续发展比例S=2.670000，基于模型得出的北京市2009年房价为1.230756万每平方米，而实际房价查询数据显示为2009年北京的实际房均价为1.67万元，说明房价过高导致百姓负担过重，房地产商收益与投资成本比偏高，房价不合理，需要政府通过一定的金融手段来减轻购房者压力。
为了进一步探究房价的合理性问题，在调整了权重系数之后，令w1=0.5，w2=0.5，估计在满足房地产的
模型中op为）=1.024382，IO为（S）=1.947362，基于模型得出的北京市2009年房价为1.130440万每平方米，相对于之前所赋权值得到的数据，说明调整权重值可以较为明显的改变百姓承受能力系数（）和房地产业可持续发展比例，降低w1的值，（1.230756-1.130440）/1.130440=8.873%
以适当减轻购房者8.873%的负担。
2.5基于模型对其他样本城市房价合理性的讨论
将目前实际数据带入上述模型，可以看出目前商品住宅价格超出居民合理承受能力，购房明显加重家庭经济负担，而且根据已有数据显示房价增长速度明显快于因而目前的房价出于偏高的水平。
2.6将样本城市的数据带入模型中求解
西安南京
宝鸡潍坊
广州
三、样本城市的房价估计模型及房价未来趋势
对于房价未来走势的问题，根据前一个房价合理性的模型，结合近几年的全国及几个具有代表性的城市房价，运用最小二乘法对房价进行多项式曲线拟合。
最小二乘法原理为：
3.1原理分析
用各个离差的平方和最小来保证每个离差的绝对值都很小。
解方程组
整理得；
从而解出a,b（其中a、b为任意实数或实矩阵）。
在模型一中我们看到房价随年限的波动中已包含建筑面积、人均年可支配收入、CPI指数等因素并且已经进行了充分的分析，房价的走势中已包含这些因素的影响，因而从简化模型的角度出发，对房价的未来估计中不再对这些因素进行考虑，只根据近几年全国房价进行趋势分析。
3.2模型运用计算
年份
项目
价格（元/平方米）
城市
1999年
住宅商品房平均销售价格
1857
全国
2000年
1948
2001年
2017
2002年
2092
2003年
2197
2004年
2608
2005年
2937
2006年
3119
2007年
3645
2008年
3576
2009年
4459
表1全国近几年的平均房价
首先，在回归分析中，实际值与按回归方程预测的值之差，以表示，为残差。
残差遵从正态分布。
与之比，称为标准化残差，以*表示。
*遵从标准正态分布N（0，1）。
判断在95％置信度范围内的实验点，并剔除异常实验点，不参与回归线拟合，提高数据拟合结果的可靠性。
经过计算发现上表中的所有数据均符合要求，利用最小二乘法对其进行多项式拟合，用Excel分析并进行预测，结果如图所示：
图1
可得房价与年份的关系为；
方差为0.976（其中）；
从该关系式中可以看出在近十年中房价是呈现明显的上升趋势。
例如在2016年全国平均房价将达到8209.2（元/平方米）
依照这一原理、利用同一模型可求的几个具有代表性的城市的房价未来趋势。
2780
南京
2888
3098
3850
5011
4808
表22002-2008南京市平均房价
图2
13224
北京
11648
10661
7375
5853
4747
4456
4467
4557
4787
表32002-2008北京市平均房价
图3
1930
西安
2394
2686
3073
3215
表42002-2008西安市平均房价
3768
图4
分析以上城市房价未来趋势图可得，在相当一段时期内，全国房价的走势不会出现巨大的变化，增长仍然是主要趋势，但对于一些房价过高人口趋于饱和的城市（如北京）已经出现了增长相对减缓的趋势，表明政府对房价的调控还是起到了一定的作用，也相信政府在未来的一段时间内会继续加强对房地产及房价的宏观调控，在未来较长的一段时间后，房价可能会出现增长缓慢的态势。
以下为matlab拟合曲线：
北京历年房价曲线
西安历年房价曲线
全国历年房价曲线
南京历年房价曲线
四、基于合理性模型定量分析调整房价对经济发展的影响
4.1经济影响的定量分析讨论
通过模型我们可以继续对房价与经济之间的互相影响，进一步定量探讨政策对房价否认影响。
应用LINGO软件建立模型并带入数据运算，并进行定量分析：
在软件中对变量符号定义如下：
ｐ为模型计算的合理房价
bili为合理房价时居民还款占总收入的比例
op为实际比例与合理比例的比值，大于1时即为房价过高，居民购房还款负担过重。
Sita为居民消费价格增长指数（CPI）
t为GDP增长，根据之前假设与收入增长情况正线性相关。
以09年北京地区为例，人均可支配收入为2.67万元，实际房价均价１.６７万元，运用单一变量的思想对影响因素以及结果分析如下：
情况1：
取实际数据，GDP增长为８％，CPI为４％，带入模型中运用LINGO软件运行结果如截图所示：
可以看到，在当前的实际经济情况，以参照国际合理的比例系数可以看到，在此经济状况和房价下，op=1.41>
1，表明房价明显超出居民合理承担还款能录的范围，在此情况下购房会加重居民生活负担甚至影响居民的生活质量水平；
通过模型计算出的上图结果可以看到合理房价p为1.2万元，即为此房价为符合居民合理还款负担，购房不会额外增加居民的经济负担，不会影响居民的正常生活水平。
情况2：
在情况1的基础上改变变量sita即为CPI，将其由原来的4%提高到8%，运行如下：
可以看到，CPI增加物价指数上涨后，合理房价下降为1.17万元，即为在收入不变的情况下，随着还款时间的推移，物价上涨导致居民购买力下降，对房价的合理接受价格因而下降，表明CPI对居民购房能力会产生一定影响。
即为在收入不变的情况下，物价上涨导致购房能力下降，物价下跌会提升购房能力。
情况3：
在情况2的基础上进一步提高CPI，提高到12%，运行结果如下：
可以看到此时随着还款时间的推移居民能接受的合理房价进一步下降为1.41万元，趋势与情况2保持一致，进一步证明情况2的分析。
情况4：
在情况1的基础上改变变量t即为GDP增长率，将其由原来的8%提高到12%，运行结果如下：
可以看到，在CPI不变的情况下，GDP增速上涨后，合理房价也会跟随上涨为1.4万元，，因为GPD进一步影响居民收入，随着还款时间的推移，GDP增速进而带动居民收入增加，因而是居民的购房能力提高，则居民能接受的合理房价增加。
情况５：
在情况1的基础上改变变量t即为GDP增长率，将其由原来的8%降低到４%，运行结果如下：
可以看到，在CPI不变的情况下，GDP增速下降后，合理房价也会随着下降为1.1万元，因为在CPI不变的情况下随着还款时间的推移，与不变的CPI相比，居民的购买能力随之下降，则居民能接受的合理房价降低。
通过对上述情况的分析可以清晰的看出CPI，GDP以及收入情况如何影响合理房价以及居民购买能力，为后文有针对性的提出对策提供了分析基础。
五、房价与中国经济的相互影响
从上面的探讨可以看出，加强对经济宏观调控可以有效的影响房价，使房价逐步趋于合理，在目前的分析下，房价已经处于过高的水平，短时间内通过调控使房价合理并不现实，也会对经济发展的稳定性造成冲击，后果无法估计，因而调控政策应该缓和而长久，使房价随着国家发展和时间推移逐步趋于合理。
先针对本文模型及得到的结果对出相应的政策。
（1）保持经济平稳快速发展，通过上述变量对房价的影响可以看到，GDP上下波动4%即会对居民购买力以产生明显影响，并且通过上述模型定量讨论容易看出经济稳定快速发展也能减轻已经贷款买房者的还款负担，因而保持经济宏观面上保持稳定快速增长对解决房价过高问题有积极影响。
（2）从上面可以看出，CPI波动2%即会对居民还款能力以及购买力产生明显影响，因而维护市场经济，严厉打击哄抬物价，投机倒把等行为，出台相关措施，控制降低CPI指数，也是解决房价问题的有效手段。
（3）在影响因素的定量讨论中，因为居民贷款利率相对稳定因而没有进行讨论，但贷款利率的改变对购房者能承受的合理房价影响显而易见，国家可以通过对第一套住房贷款进行优惠，对非第一套住房贷款利率上调，不仅能减轻对住房有刚性需求的居民购房压力还能有效抑制“炒房”等
（4）反过来，对房价的有效调控，使人民安居乐业，生活富足，社会稳定，进而给国家的经济发展创造良好的经济政治环境，进一步促进国家发展。
六、对应政策
（2）从上面可以看出，CPI波动2%即会对居民还款能力以及购买力产生明显影响，因而维护市场经济，严厉打击哄抬物价，投机倒把等行为，出台相关措施，控
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