中国人口增长预测模型的建立与分析[1]Word下载.doc

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关键词：

分析和预测人口发展方程灰色系统leslie改进模型

1问题的背景

随着中国加入世界贸易组织，进入世界500强，我们迎来了更多的机遇，但同时也面临更加艰巨的挑战。

中国要在世界中立于不败之地，林立于世界强林之中，首先必须注重人口的发展。

现在人口素质已成为综合国力竞争的核心，在经济社会发展中占据着举足轻重的地位。

中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。

近年来我国人口发展出现了一些新的特点。

例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，乡村人口城镇化，先天畸形儿比例较高，人口在地区产业间分布不尽合理，人力资源分配不很完善等，这些因素都影响着中国人口的增长。

为了加快中国的经济建设进程，全面落实科学的发展观。

按照构建社会主义和谐社会的要求，坚持以人为本，推进体制改革，优先投资于人的全面发展：

稳定低生育水平，提高人口素质，改善人口结构，引导人口合理分布。

保障人口安全，实现人口大国向人力资本强国的转变，实现人口与的协调和可持续发展。

我们确定人口发展战略，必须既着眼于人口本身的问题，又处理好人口与经济社会资源环境之间的相互关系，构建社会主义和谐社会，统筹解决人口数量、素质、结构、分布问题。

因此建立一个人口增长预测的数学模型对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测就显得尤为重要了。

2问题的重述

近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。

2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》（附录1）做出了进一步的分析。

关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。

附录2是从《中国人口统计年鉴》上收集到的部分数据。

从中国的实际情况和人口增长的上述特点，以构建社会主义和谐社会，统筹解决人口数量、素质、结构、分布等问题为出发点，参考附录2中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测，包括人口数量、结构、分布情况等，并且针对预测的结果提出控制的方法；

特别要指出所建模型中的优点与不足之处。

3基本假设

（1）假设题中所给数据基本真实有效；

（2）假设没有重大的自然灾害发生；

（3）在较近一段时期，政府政策基本不发生重大变化；

（4）在较近一段时期，医疗卫生条件保持不变；

（5）所研究的问题没有太大的人口迁入与迁出；

（6）男性比率之和和女性比例之和的总和在1附近。

可以近似认为1。

4模型的符号说明

符号

符号说明

时间

年龄

人口分布函数，表示第年、年龄小于的人口数

时刻年龄在区间[]内的人数

时刻年龄的人的死亡率

第年在内单位时间死亡的人数

W

乡的老龄化人口占总人口的比率

第年龄段的人口数量百分比

婴儿出生率

女性性别比函数

女性在单位时间内平均每人的生育数量

时刻单位时间内平均每个育龄女性的生育数

第年龄段人口数量的比值（加权值）

第年龄段人口的死亡率。

5模型分析建立及求解

5.1中短期人口预测

5.1.1模型预处理

首先，我们做如下处理：

第一，鉴于人口的增长率只有0岁婴儿的出生能够表示，我们将0岁婴儿分为一类。

而育龄妇女的年龄分布为15—49岁，且20—29岁之间的生育率尤为高，之后在我国计划生育等政策制度的影响下，生育率有所控制，由此我们把这一期间的人口分为初始生育期、生育旺盛期、生育控制期三类。

而老年人又有较高的死亡率，所以结合中国统计年鉴的分类标准，把65岁以上的人群定义为老年人。

综上原因，我们把年龄段分为如下7部分：

定义0岁为婴儿期，1-14岁为幼年期，15-19岁为初始生育期，20-29岁为生育旺盛期；

30-49岁为生育控制期；

50-65岁为转向老年期；

65岁以上为老年期。

第二，通过EXCEL计算，各年市、镇、乡各年龄组的男性比率与女性比率的总和在1附近。

由于是统计数据，所以稍有偏差，以下我们可以近似认为男、女比率之和为1。

第三，本题要求对人口做中短期与长期预测。

进行中短期预测时，由于政府政策在短时期内基本不变，人口数量、素质、结构、分布之间的关系不很明显，所以可以忽略它们之间的相互影响，采取以下方法进行预测。

其次，对于中短期人口的预测，我们从人口分布、数量、结构三方面考虑。

第一，人口数量我们采用人口发展方程模型，把针对人口数量的时间与年龄两个变量综合成一个变量，从而将二维微分方程转化为一维微分方程，大大改进并简化了模型。

并且用人口增长率变化来反映人口数量的变化。

第二，人口分布的预测，我们进行人口城镇化比例的预测，采用灰色系统的方法。

第三，针对人口结构，我们又进一步从以下几个方面进行了预测：

一，老龄化比例预测，我们采用灰色系统理论进行了预测。

二，出生人口性别比预测，我们采用二次逐步拟合的方法进行预测。

三，劳动力预测，即人口抚养比预测，我们采用灰色系统进行预测。

四，育龄妇女所占比重的预测，我们同样采用灰色系统。

第五，生育率预测，我们又采用二次逐步拟合。

5.1.2人口数量与人口分布预测

5.1.2.1人口数量预测的微分方程

题目所给数据量较少，运用时间序列进行预测需要大量的数据，不合适；

而且预计未来某一时刻会有一个人口高峰值，因此运用灰色系统也不合理。

因此我们转向考虑建立微分方程，借鉴人口发展方成模型，把以人口数量为因变量的两个自变量——时间与年龄综合成一个变量，从而将二维微分方程转化为一维微分方程，大大改进并简化了模型。

并利用此求出各年的人口增长率，用人口增长率的变化来反映人口数量的变化。

我们引用人口发展方程，设是在第年、年龄小于的人口数，即人口分布函数。

将人口密度函数定义为：

，表示时刻年龄在区间[]内的人数。

记为时刻年龄的人的死亡率，其含义是：

表示第年在内单位时间死亡的人数。

为了得到满足的方程，考察第年、年龄在内的人到时刻的情况。

他们中活着的那一部分人的年龄变为，这里。

而在这段时间内死亡的人数为。

于是

设为第年龄段的人口数量百分比，即。

对模型进行简化，将二维变量化为一维变量，即。

在第年中，第年龄段的人口数量百分比为，从而将变量省去。

以第年为例，方程有一个定解条件：

出生的婴儿数量占总人口百分比记作，称婴儿出生率。

设女性性别比函数为，年龄在的女性人数为，将这些女性在单位时间内平均每人的生育数量记作，设育龄区为，则的直接含义是时刻单位时间内平均每个育龄女性的生育数。

由此得到以下微分方程组：

这个连续型人口发展方程描述了人口的演变过程，但为进一步简化模型，设=1；

即一岁为一个年龄段；

将连续方程离散化。

从这个方程确定出密度函数以后，立即可以得到各个年龄的人口比值（见附件1），即人口比值分布函数。

运用连续方程离散化的思想，利用等式：

净人口增长率=出生率-死亡率，出生率即为，死亡率为，其中为第年龄段人口数量的比值（加权值），为相应年龄段的死亡率。

5.1.2.2三种类型人口净增长率的求解

结合上述微分方程组，根据人口净增长率=出生率-死亡率，且出生率=各年市、镇、乡的女性比率与育龄妇女生育率的乘积之和，死亡率=各年男性比率男性死亡率+女性比率女性死亡率，求出2001—2005年城市、镇、乡三种类型的人口净增长率。

表12001-2005年市、镇、乡三种类型人口净增长率（单位：

%）

年份

类型

2001

2002

2003

2004

2005

城市

4.6862

3.4502

2.9174

4.2779

3.5108

镇

6.3451

5.1742

5.7916

5.3374

4.0971

乡

5.6611

4.9072

4.9384

4.4701

2.9958

我们考虑分别采用灰色系统，多元逐步回归，时间序列分析等三种方法对三种类型的人口进行净总人口增长率的预测。

但是，通过比较分析得知在这三种方法中，灰色系统预测效果最好。

下面我们以城市人口净增长率为例，对运用灰色系统的预测进行较为详细的介绍：

灰色系统是指部分信息已知而部分信息未知的系统，灰色系统理论所要考察和研究的是对信息不完备的系统，通过已知信息来研究和预测未知领域从而达到了解整个系统的目的。

具有能够利用“少数据” 

建模寻求现实规律的良好特 

性，克服了资料不足或系统周期短的矛盾。

灰色系统GM（1，1）模型是依据系统中已知的多种因素的综合资料，按微分方程拟合去逼近，进而外推，达到预测的目的。

这种拟合得到的模型是时间序列的一阶微分方程，因此，简记为GM（1，1）模型。

我们利用2002—2005年的实际值（3.4502，2.9174，4.2779，3.5108），通过MATLAB程序（见附件2）运行得到如下结果：

表22002-2005年GM（1，1）灰色系统预测值与实际值比较

预测值

实际值

残差q

相对误差ξ1（%）

3.3142

-0.1360

3.9430

3.4595

0.5421

18.5818

3.6112

-0.6667

15.5841

3.770

0.2588

7.3716

由上述表格利用相对误差计算得知相对平均误差为11.3%，平均误差在10%左右，误差率较小，通过检验。

与此同时预测得到2006年市人口净增长率为3.9349%；

2007年为4.1075%。

同理可预测得到镇人口净增长率2006年为3.9349%；

乡人口净增长率2006年为3.0676%，2007年为2.6847%。

见表3

表3各类型人口净增长率预测值表

2006

2007

3.9349%

4.1075%

4.2996%

4.0203%

3.0676%

2.6847%

由上表观察得知，从2006年到2007年，市人口净增长率从3.9349%增到4.1075%，增长了0.1726个百分点；

而镇人口净增长率下降了0.2793个百分点；

乡人口净增长率下降了0.3829个百分点，总体下降了0.4896个百分点。

由此可见，我国人口在这两年内虽然会增加，但是人口净增长率将会逐渐减小并趋于稳定。

且可以看出城镇化趋势越来越严重。

鉴于这种情况，下面我们对人口分布的城镇化比例进行预测。

5.1.2.3求解城市、镇、乡三种类型所占人口总数的比重

根据题给附件的EXCEL表中2005年中国人口1%调查数据，通过计算得到市、镇、乡三种类型占人口总数的比重，见下表4。

表4三种类型所占比重

0.2420

0.2616

0.2602

0.2582

0.2772

0.1297

0.1880

0.1522

0.1536

0.1712

0.6283

0.6129

0.5876

0.5882

0.5516

运用灰色系统，通过MATLAB程序（附件1.1）运行得到各类型人口所占总人口的比例预测值表如下。

表5各类型人口所占总人口的比例预测值表

市

27.58%

28.06%

18.80%

20.59%

54.08%

52.42%

由上表可知，从2006年到2007年，市人口所占比例由27.58%增长到28.06%，增长了0.48个百分点；

镇人口所占比例由18.80%增长到20.59%，增长了1.79个百分点；

乡人口所占比例由54.08%增长到52.42%，减少了1.66个百分点，总体增长了0.61个百分点。

分析城镇化比例预测值表及以上数据，可知该增长点主要是由于生产力的快速发展，各镇无法满足当地人民的生活需要，城镇人口大量涌入城市，进一步造成城镇化比例越来越大。

但是，从乡村人口所占比例来看，呈现负增长趋势，可见，我国的政策改革使得城镇化趋势有所缓解。

这与近年来人们返璞归真，走进大自然的思想还是很吻合的。

因此可见，我们的模型能够反映政府政策的发展动态，以及人民的思想变化，还是较好的。

5.1.2.4计算总人口的净增长率趋势

根据总人口净增长率等于市、镇、乡各类型人口净增长率与对应所占比例增长率的乘积之和，计算出总人口的净增长率趋势。

即2006年总人口净增长率=市人口净增长率城市人口比例+镇人口净增长率镇人口比例+乡人口净增长率乡人口比例。

2007年的总人口净增长率的计算方法类似。

从而计算得到2006总人口净增长率为3.5524%，2007年的总人口净增长率为3.3874%。

从以上数据及图表分析得知，中短期总人口净增长率逐渐减小并趋于稳定。

出现这一现象的原因之一是我国实施计划生育政策，直接导致总人口净增长率下降；

另外，我国社会主义经济持续增长，国民受教育程度越来越高，更多的人加入到晚婚晚育的行列，且封建残留的思想——生女孩不好，已经基本得到缓解，致使越来越多的人生育一胎化，使更替水平趋于稳定，进而使总人口净增长率下降并趋于稳定。

由此可见，要从根本上解决总人口不断增长的趋势，还得进一步实施邓小平提出的“科学是第一生产力”的理念，提高全体国民的素质，加强推行计划生育的政策，鼓励优生优育、晚婚晚育等。

5.1.3人口结构预测

5.1.3.1老龄化发展程度的预测

根据附件2所给数据，通过EXCEL分别计算得到2001—2005年市、镇、乡三种类型老年人口（65岁以上人口）所占的比率，即求得三种类型的老龄化人口比重。

表6市、镇、乡及全国的老龄化人口比重

全国

7.69

6.16

6.67

6.85

8.15

6.62

6.93

7.21

8.83

6.6

7.19

7.53

8.42

7.44

7.88

7.95

7.99

7.39

8.73

8.3

8.477

7.83

9.001

8.68

8.555

9.508

9.06

下面以乡的老龄化人口占总人口的比重为例，运用多元逐步回归的方法，最终确定建立一次回归模型如

其中，W是指乡的老龄化人口占总人口的比率，t表示时刻，表示时刻t的系数。

通过SAS程序（附件1.2）得到结果如下：

表7模型的检验参数表

方差来源

自由度

平方和

标准差

F值

Pr〉F

组内平方和

1

338

2.57049

39.60

0.0081

误差平方和

3

0.19471

0.06490

总平方和

4

2.76520

从表1-2-2中我们可见Pr值为0.0081，远远小于0.05，由此可见此模型整体拟合效果较好，可以进行下一步的拟合。

表8各变量的检验参数表

变量

估计值

T值

Pr〉|t|

intercept

5.959

0.2672

22.30

0.0002

x1

0.507

0.08056

6.29

从表1-2-3中我们可见两个变量的P值小于0.05，说明两个因素对W有显著性的关系，由它得到乡老龄化的预测模型为：

通过上述预测模型计算得到2006年乡老龄化人口的预测值为9.001%，2007年老龄化人口的预测值为9.508%。

同理，运用多次逐步回归对城市和镇的老龄化人口占总人口的比率进行预测，得到如下结果：

城市老龄化人口的模型为：

y=0.087*+7.955，并通过预测模型计算得到2006年老龄化人口的预测值为8.477%，2007年老龄化人口的预测值为8.555%；

镇老龄化人口的模型为;

y=0.328*+5.858，并通过预测模型计算得到2006年老龄化人口的预测值为7.83%，2007年老龄化人口的预测值为8.15%。

表9老龄化人口分布表

预测模型

2006年预测值

2007年预测值

y=0.087*+7.955

8.477%

8.555%

y=0.328*+5.858

7.83%

8.15%

9.001%

9.508%

结合上述计算的城镇化人口比例，运用公式：

总老龄化人口占总人口的比率=市老龄化人口的比率城市人口比例+镇老龄化人口的比率镇人口比例+乡老龄化人口的比率乡人口比例。

计算得到2006年总老龄化人口比率为8.6775%，2007年总老龄化人口比率为9.0619%。

图1市、镇、乡及全国的老龄化程度图

由以上计算及图表分析，城市老龄化程度有一定的波动性，这与乡镇大量人口涌入城镇以及环境污染的条件下，城市大量人口有返璞归真，接近自然的思想休戚相关。

这一对矛盾的统一体使得城市老龄化人口有一定的波动性。

乡镇老龄化程度有一定程度的增长，这与我国医疗保健水平的提高导致死亡率降低，以及出生率降低致使老龄化程度相对较高有紧密的关系。

5.1.3.2男女出生性别比的预测：

通过对附件数据1994-2005年的市、镇、乡的男女出生比例来预测分析，首先以城市男女出生比例为例：

采用多次逐步拟合进行预测，最终选择2次拟合。

求得关系式为：

拟合效果如下图：

图2城市男女出生性别比拟合图

预测06年、07年的男女出生比例分别为：

116.99118.88

同理可得：

镇的男女出生比例关系模型为：

，并且进一步计算得到2006年、2007年的男女出生比例的预测值分别为：

126.88，129.08；

乡的男女出生比例关系模型为：

。

并且进一步计算得到2006年、2007年的男女出生比例的预测值分别为：

121.14，121.09

总男女出生人口比率=城市男女出生人口的比率城市人口比例+镇男女出生人口的比率镇人口比例+乡男女出生人口的比率乡人口比例。

计算得到2006年总男女出生人口的比率为121.628，2007年总男女出生人口的比率为123.400（女性以100计）。

表10男女出生比例预测模型计预测值表

男女出生性别比例关系模型

06年男女出生比例

07年男女出生比例

116.99

118.88

126.88

12