QQQ广东中考综合题证明题.docx
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QQQ广东中考综合题证明题
广东中考综合题证明题
一.线段证明题
4.(2012广东梅州8分)如图,AC是⊙O的直径,弦BD交AC于点E.
(1)求证:
△ADE∽△BCE;
(2)如果AD2=AE•AC,求证:
CD=CB.
【答案】证明:
(1)∵∠A与∠B都是弧
所对的圆周角,∴∠A=∠B,
又∵∠AED=∠BEC,∴△ADE∽△BCE。
(2)∵AD2=AE•AC,∴
。
又∵∠A=∠A,∴△ADE∽△ACD。
∴∠AED=∠ADC。
又∵AC是⊙O的直径,∴∠ADC=90°。
∴∠AED=90°。
∴直径AC⊥BD,∴CD=CB。
【考点】圆周角定理,对顶角的性质,相似三角形的判定和性质,线段垂直平分线上点的性质。
【分析】
(1)由在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,即可得∠A=∠B,又由对顶角相等,可证得:
△ADE∽△BCE。
(2)由AD2=AE•AC,可得
,又由∠A是公共角,可证得△ADE∽△ACD,又由AC是⊙O的直径,可求得AC⊥BD,由线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质可证得CD=CB。
9.(深圳2010年招生8分)如图,△ABC内接于半圆,AB是直径,过A作直线MN,若∠MAC=∠ABC,
(1)(2分)求证:
MN是半圆的切线,
(2)(3分)设D是弧AC的中点,连接BD交AC于G,过D作DE⊥AB于E,交AC于F.
求证:
FD=FG..
(3)(3分)若△DFG的面积为4.5,且DG=3,GC=4,试求△BCG的面积.
【答案】解:
(1)证明:
∵AB是直径,∴∠ACB=900。
∴∠BAC+∠ABC=900。
又∵∠MAC=∠ABC,∴∠BAC+∠MAC=900。
∴MN⊥AB。
∴MN是半圆的切线。
(2)∵D是弧AC的中点,∴∠CBD=∠DBA。
∵∠ACB=900,∴∠DGF=∠CGB=900-∠CBD
又∵DE⊥AB,∴∠GDF=900-∠DBA。
∴∠DGF=∠GDF。
∴FD=FG.。
(3)过点F作FH⊥DG于点H,
则由FD=FG,DG=3,△DFG的面积为4.5,得HG=1.5,S△FHG=
。
∵∠GCB=900,FH⊥DG,∴∠GCB=∠GHF=900。
又∵∠CGB=∠HGF,∴△BCG=△FHG。
∴
∴
。
【考点】圆切线的判定,圆周角定理,直角三角形两锐角的关系,对顶角的性质,等腰三角形的判定和性质,相似三角形的性质。
【分析】
(1)要证MN是半圆的切线,只要证MN⊥AB即可。
由圆周角定理和直角三角形两锐角的关系,经过等量代换,即可证得∠BAC+∠MAC=900,从而得证。
(2)由等弧所对圆周角相等的性质,直角三角形两锐角的关系和对顶角相等的性质,可证得∠DGF=∠GDF,由等腰三角形等角对等边的判定,即可得FD=FG.。
(3)过点F作FH⊥DG于点H,由等腰三角形三线合一的性质可得HG=1.5,S△FHG=
。
由相似三角形的性质即可求得△BCG的面积。
6.(2012广东肇庆10分)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交AC于点E,交BC于点D,连结BE、AD交于点P.求证:
(1)D是BC的中点;
(2)△BEC∽△ADC;
(3)ABCE=2DPAD.
【答案】证明:
(1)∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,即AD⊥BC。
∵AB=AC,∴D是BC的中点。
(2)∵AB是⊙O的直径,∴∠AEB=∠ADB=90°,即∠CEB=∠CDA=90°,
∵∠C是公共角,∴△BEC∽△ADC。
(3)∵△BEC∽△ADC,∴∠CBE=∠CAD。
∵AB=AC,AD=CD,∴∠BAD=∠CAD。
∴∠BAD=∠CBE。
∵∠ADB=∠BEC=90°,∴△ABD∽△BCE。
∴
。
∴
。
∵BC=2BD,∴
,即
。
∵∠BDP=∠BEC=90°,∠PBD=∠CBE,∴△BPD∽△BCE。
∴
。
∴
,即AB•CE=2DP•AD。
【考点】圆周角定理,等腰三角形的性质,相似三角形的判定和性质。
【分析】
(1)由AB是⊙O的直径,可得AD⊥BC,又由AB=AC,由三线合一,即可证得D是BC的中点。
(2)由AB是⊙O的直径,∠AEB=∠ADB=90°,又由∠C是公共角,即可证得△BEC∽△ADC。
(3)易证得△ABD∽△BCE与△BPD∽△BCE,根据相似三角形的对应边成比例与BC=2BD,即可证得AB•CE=2DP•AD。
7.(2012广东珠海9分)已知,AB是⊙O的直径,点P在弧AB上(不含点A、B),把△AOP沿OP对折,点A的对应点C恰好落在⊙O上.
(1)当P、C都在AB上方时(如图1),判断PO与BC的位置关系(只回答结果);
(2)当P在AB上方而C在AB下方时(如图2),
(1)中结论还成立吗?
证明你的结论;
(3)当P、C都在AB上方时(如图3),过C点作CD⊥直线AP于D,且CD是⊙O的切线,证明:
AB=4PD.
【答案】解:
(1)PO与BC的位置关系是PO∥BC。
(2)
(1)中的结论PO∥BC成立。
理由为:
由折叠可知:
△APO≌△CPO,∴∠APO=∠CPO。
又∵OA=OP,∴∠A=∠APO。
∴∠A=∠CPO。
又∵∠A与∠PCB都为
所对的圆周角,∴∠A=∠PCB。
∴∠CPO=∠PCB。
∴PO∥BC。
(3)证明:
∵CD为圆O的切线,∴OC⊥CD。
又∵AD⊥CD,∴OC∥AD。
∴∠APO=∠COP。
由折叠可得:
∠AOP=∠COP,∴∠APO=∠AOP。
又∵OA=OP,∴∠A=∠APO。
∴∠A=∠APO=∠AOP。
∴△APO为等边三角形。
∴∠AOP=60°。
又∵OP∥BC,∴∠OBC=∠AOP=60°。
又∵OC=OB,∴△BC为等边三角形。
∴∠COB=60°。
∴∠POC=180°﹣(∠AOP+∠COB)=60°。
又∵OP=OC,∴△POC也为等边三角形。
∴∠PCO=60°,PC=OP=OC。
又∵∠OCD=90°,∴∠PCD=30°。
在Rt△PCD中,PD=
PC,
又∵PC=OP=
AB,∴PD=
AB,即AB=4PD。
二.角的关系证明题
4.(清远8分)如图,AB是⊙O的直径,AC与⊙O相切,切点为A,D为⊙O上一点,AD与OC相交于点E,且∠DAB=∠C.
(1)求证:
OC∥BD;
(2)若AO=5,AD=8,求线段CE的长.
【答案】解:
(1)∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90º。
∵AC与⊙O相切,∴∠CAB=90º。
∵∠DAB=∠C,∴∠AOC=∠B。
∴OC∥BD。
(2)∵AO=5,∴AB=10。
又∵AD=8,∴BD=
6。
∵O为AB的中点,OC∥BD,∴OE=3。
∵∠DAB=∠C,∠AOC=∠B,∴△AOC∽△DBA。
∴
=
。
∴
=
。
∴CO=
。
∴CE=CO-OE=
-3=
【考点】直径所对的圆周角性质,三角形内角和定理,平行的判定和性质,勾股定理,三角形中位线定理,相似三角形的判定和性质。
【分析】
(1)根据直径所对的圆周角是直角的性质和三角形内角和定理可得∠AOC=∠B,再根据同位角相等两直线平行的判定,证得OC∥BD。
(2)要求CE,只要求出CO和OE即可。
一方面OC∥BD,AO=OB,OE是∆ABD的中位线,根据三角形中位线定理OE=
BD,而由已知应用勾股定理可求BD。
另一方面由于△AOC∽△DBA,由相似三角形对应边的比相等可求。
6.(湛江12分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D是AC的中点,且∠A+∠CDB=90°,过点A,D作⊙O,使圆心O在AB上,⊙O与AB交于点E.
(1)求证:
直线BD与⊙O相切;
(2)若AD:
AE=4:
5,BC=6,求⊙O的直径.
【答案】解:
(1)证明:
连接OD,
∵OA=OD,∴∠A=∠ADO。
又∵∠A+∠CDB=90°,∴∠ADO+∠CDB=90°。
∴∠ODB=180°﹣(∠ADO+∠CDB)=90°。
∴BD⊥OD。
∴BD是⊙O切线。
(2)连接DE,∵AE是直径,∴∠ADE=90°。
又∵∠C=90°,∴∠ADE=∠C。
∴DE∥BC。
又∵D是AC中点,∴AD=CD。
∴AD:
CD=AE:
BE。
∴AE=BE。
∵DE∥BC,∴△ADE∽△ACB。
∴AD:
AE=AC:
AB。
∴AC:
AB=4:
5。
设AC=4x,AB=5x,那么BC=3x,∴BC:
AB=3:
5。
∵BC=6,∴AB=10。
∴AE=
AB=10。
【考点】切线的判定与性质,勾股定理,三角形中位线定理,圆周角定理。
【分析】
(1)连接OD,由∠A=∠ADO,进而证得∠ADO+∠CDB=90°,而证得BD⊥OD。
(2)连接DE,证得∠ADE=90°,∠ADE=∠C,而得DE∥BC,所以△ADE∽△ACB,设AC=4x,AB=5x,那么BC=3x,而求得。
7.(肇庆10分)已知:
如图.△ABC内接于⊙O,AB为直径,∠CBA的平分线交AC于点F,交⊙O于点D,DF⊥AB于点E,且交AC于点P,连结AD。
(1)求证:
∠DAC=∠DBA
(2)求证:
P是线段AF的中点
(3)若⊙O的半径为5,AF=
,求tan∠ABF的值。
【答案】解:
(1)证:
∵BD平分∠CBA,∴∠CBD=∠DBA。
∵∠DAC与∠CBD都是弧DC所对的圆周角,∴∠DAC=∠CBD。
∴∠DAC=∠DBA。
(2)∵AB是直径,∴∠DAC=900。
又∵DF⊥AB,∴∠DEB=900。
∴∠ADE+∠EDB=∠ABD+∠EDB=900。
∴∠ADE=∠ABD=∠DAP。
∴PD=PA。
又∵∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=900,且∠DAC=∠ADE,
∴∠PDF=∠DFA=∠DFP。
∴PD=PF。
∴PA=PF。
即P是线段AF的中点。
(3)∵∠DAF=∠DBA,∠ADB=∠FDA,∴△FDA∽△ADB。
∴
。
∴在△ADB中,
。
即tan∠ABF=
。
【考点】同弧所对的圆周角性质,直径所对的圆周角性质,三角形内角和定理,等量代换,相似三角形的判定和性质。
【分析】
(1)利用同弧所对的圆周角相等的性质和角平分线定义可证。
(2)利用直径所对的圆周角是直角的性质和三角形内角和定理,经过等量代换可证。
(3)利用相似三角形的判定和性质可求。
8.(珠海9分)已知:
如图,锐角△ABC内接于⊙O,∠ABC=45°;
点D是
上一点,过点D的切线DE交AC的延长线于点E,且
DE∥BC;连结AD、BD、BE,AD的垂线AF与DC的延长线交于点F.
(1)求证:
△ABD∽△ADE;
(2)记△DAF、△BAE的面积分别为S△DAF、S△BAE,求证:
S△DAF>S△BAE.
【答案】解:
(1)证明:
连结OD.
∵DE是⊙O的切线,∴OD⊥DE。
又∵DE∥BC,∴OD⊥BC。
∴
=
。
∴∠BAD=∠EAD。
∵DE∥BC,∴∠BCA=∠DEA。
又∵∠BDA=∠BCA,∴∠BDA=∠DEA。
∴△ABD∽△ADE。
(2)由
(1)△ABD∽△ADE得,
=
,即AD2=AB·AE。
设在△ABE中,AE边上的高为h,则:
S△ABE=
h·AE,且h<AB.
由∠ABC=45°,AD⊥AF可推得△ADF为等腰直角三角形
∴S△DAF=
AD2=AB·AE.∴S△DAF>S△BAE。
【考点】圆切线的性质,平行的性质,等(同)弧所对圆周角的性质,相似三角形的判定和性质,点到直线距离的性质,等腰直角三角形的判定和性质。
【分析】
(1)要证△ABD∽△ADE,就要证两组对应角对应相等。
一方面∠BDA和∠DEA与∠BCA都相等,这是因为∠BDA和∠BCA是同弧AB所对的圆周角,是相等的;∠BDA和∠BCA是两平行直线的同位角,也是相等的,所以∠BDA=∠DEA。
另一方面∠BAD和∠EAD是等弧BD和CD所对的圆周角(可由DE是⊙O的切线证得)。
从而得证。
(2)要证S△DAF>S△BAE,就要找出两个面积构成的线段间的关系。
一方面设在△ABE中,AE边上的高为h,则:
S△ABE=
h·AE;另一方面S△DAF=
AD2,而由
(1)可证得AD2=AB·AE。
从而根据点到直线的线段中垂直线段最短的性质即h<AB得证。
6.(深圳2008年8分)如图,点D是⊙O的直径CA延长线上一点,点B在⊙O上,且AB=AD=AO.
(1)求证:
BD是⊙O的切线.
(2)若点E是劣弧BC上一点,AE与BC相交于点F,且△BEF的面积为8,
cos∠BFA=
,求△ACF的面积.
【答案】解:
(1)证明:
连接BO,
∵AB=AO,BO=AO,∴AB=AD=AO。
∴△ABO为等边三角形。
∴∠BAO=∠ABO=60°。
∵AB=AD,∴∠D=∠ABD。
又∠D+∠ABD=∠BAO=60°,∴∠ABD=30°。
∴∠OBD=∠ABD+∠ABO=90°,即BD⊥BO。
又∵BO是⊙O的半径,∴BD是⊙O的切线。
(2)∵∠C=∠E,∠CAF=∠EBF,∴△ACF∽△BEF。
∵AC是⊙O的直径,∴∠ABC=90°。
在Rt△BFA中,cos∠BFA=
,∴
。
又∵
=8,∴
。
【考点】等边三角形的判定和性质,三角形外角定理,等腰三角形的性质,切线的判定,圆周角定理,锐角三角函数的定义,相似三角形的判定和性质。
【分析】
(1)由等边三角形的判定和性质、三角形外角定理和等腰三角形的性质判断△DOB是直角三角形,则
∠OBD=90°,BD是⊙O的切线。
(2)同弧所对的圆周角相等,可证明△ACF∽△BEF,得出一相似比,再利用三角形的面积比等于相似
比的平方即可求解。
7.(深圳2009年10分)如图,在平面直角坐标系中,直线l:
y=-2x-8分别与x轴,y轴相交于A,B两点,
点P(0,k)是y轴的负半轴上的一个动点,以P为圆心,3为半径作⊙P.
(1)连结PA,若PA=PB,试判断⊙P与x轴的位置关系,并说明理由;
(2)当k为何值时,以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形?
【答案】解:
(1)⊙P与x轴相切。
理由如下:
∵直线y=-2x-8与x轴交于A(4,0),与y轴交于B(0,-8),
∴OA=4,OB=8。
由题意,OP=-k,∴PB=PA=8+k.。
在Rt△AOP中,k2+42=(8+k)2,∴k=-3,∴OP等于⊙P的半径。
∴⊙P与x轴相切。
(2)设⊙P与直线l交于C,D两点,连结PC,PD。
当圆心P在线段OB上时,作PE⊥CD于E。
∵△PCD为正三角形,∴DE=
CD=
,PD=3,∴PE=
。
∵∠AOB=∠PEB=90°,∠ABO=∠PBE,∴△AOB∽△PEB。
∴
。
∴
。
∴
。
∴
。
∴
。
当圆心P在线段OB延长线上时,同理可得P(0,-
-8)。
∴k=-
-8,
∴当k=
-8或k=-
-8时,以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形。
【考点】切线的判定,勾股定理,一次函数图象上点的坐标特征,等边三角形的性质,相似三角形的判定和性质。
【分析】
(1)通过一次函数可求出A、B两点的坐标及线段的长,再在Rt△AOP利用勾股定理可求得当PB=PA时k的值,再与圆的半径相比较,即可得出⊙P与x轴的位置关系.
(2)根据正三角形的性质,分圆心P在线段OB上和圆心P在线段OB的延长线上两种情况讨论即可。