A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
7.设函数y=xcosx-sinx的图象上的点（x0,y0）处的切线的斜率为k,若k=g（x0）,则函数k=g（x0）的图象为（ ）
8.已知X的分布列如表:
X
-1
0
1
2
P
a
b
c
且b2=ac,a=,则E（X）=（ ）
ABCD
9.在边长为a的等边三角形ABC中,AD⊥BC于点D,沿AD折成二面角B-AD-C后,BC=a,这时二面角B-AD-C的大小为（ ）
ABCD
10.已知△ABC的面积为8,cosA=,D为BC上一点,,过点D作AB,AC的垂线,垂足分别为E,F,则=（ ）
AB.-CD.-
二、填空题（本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分）
11.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中《均属章》有如下问题:
“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等.问各得几何?
”其意思是:
“已知A,B,C,D,E五人分5钱,A,B两人所得与C,D,E三人所得相同,且A,B,C,D,E每人所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?
”（“钱”是古代的一种重量单位）在这个问题中,E得 钱.
12.若复数z=4+3i,其中i是虚数单位,则复数z的模为 ,的值为 .
13.（2018浙江镇海中学5月模拟）（x2+1）的展开式所有项系数和为 ,常数项为 .
14.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若a=1,b=,C=30°,则c= ,△ABC的面积S= .
15.在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC=2,AD=1,梯形所在平面内一点P满足=2,则CP·CD= ,= .
16.将甲、乙等5位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、浙江大学三所大学就读,则每所大学至少保送一人的不同保送的方法有 种.
17.已知函数f（x）=|xex|,方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个不同的实数根,则t的取值范围为 .
三、解答题（本大题共5小题,共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
18.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中,已知点P,将向量绕原点O按逆时针方向旋转x弧度得到向量
（1）若x=,求点Q的坐标;
（2）已知函数f（x）=,令g（x）=f（x）·f,求函数g（x）的值域.
19.（本小题满分15分）如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形,∠ACC1=∠CC1B1=60°,AC=2.
（1）求证:
AB1⊥CC1;
（2）若AB1=,求二面角C-AB1-A1的余弦值.
20.（本小题满分15分）已知f（x）=2xlnx,g（x）=-x2+ax-3.
（1）求函数f（x）的单调区间;
（2）若存在x∈（0,+∞）,使f（x）≤g（x）成立,求实数a的取值范围.
21.（本小题满分15分）已知M（-,0）,N（,0）是平面上的两个定点,动点P满足|PM|+|PN|=2
（1）求动点P的轨迹方程;
（2）已知圆方程为x2+y2=2,过圆上任意一点作圆的切线,切线与
（1）中的轨迹交于A,B两点,O为坐标原点,设Q为AB的中点,求|OQ|长度的取值范围.
22.（本小题满分15分）已知数列{an}满足a1=2,an+1=2（Sn+n+1）（n∈N*）,令bn=an+1.
（1）求证:
{bn}是等比数列;
（2）记数列{nbn}的前n项和为Tn,求Tn;
（3）求证:
+…+
参考答案
综合能力训练二
1.C 解析由全集U=R,A={x|-2≤x≤1},
得到∁UA={x|x<-2,或x>1},
又B={x|-1≤x≤3},根据题意画出图形,如图所示:
则B∪（∁UA）={x|x<-2,或x≥-1}.
故选C.
2.D 解析双曲线的渐近线方程是y=±x,所以,即a=,b=1,c2=a2+b2=4,即c=2,e=,故选D.
3.A 解析
由三视图知,如图,原几何体是一个三棱锥S-ABC,底面是等腰直角三角形,且面积为×2×1=1,高为SD=,其体积为×1×.
4.B 解析由不等式组得到可行域如图,目标函数变形为y=x-z,当此直线经过图中的点B时z最小,所以最小值为z=0-2=-2.
故选B.
5.D 解析函数f（x）=-x2+2ax+1-a=-（x-a）2+a2-a+1图象的对称轴为x=a,且开口向下,分三种情况讨论如下:
①当a≤0时,函数f（x）=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上是减函数,
∴f（x）max=f（0）=1-a,由1-a=2,得a=-1.
②当0∴f（x）max=f（a）=a2-a+1.
由a2-a+1=2,解得a=或a=.
∵0③当a>1时,函数f（x）=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上是增函数,
∴f（x）max=f
（1）=-1+2a+1-a=2,∴a=2.
综上可知,a=-1或a=2.
6.B 解析∵Sn的最小值仅为S6,∴a6<0,a7>0,
∴7.C 解析由题意,得y'=cosx-xsinx-cosx=-xsinx,即g（x0）=-x0sinx0,其为偶函数,图象关于y轴对称,故排除A,D;由x0>0且接近0时,g（x0）=-x0sinx0<0,故排除B,故选C.
8.A 解析由概率的性质及已知b2=ac,a=可知a+b+c+=1,即+b+2b2+=1⇒18b2+9b-2=0,解之,得b=或-（舍去）,故c=2b2=,E（X）=-a+c+2×=-+2,故选A.
9.A 解析在边长为a的等边三角形ABC中,AD⊥BC于点D,
沿AD折成二面角B-AD-C,由定义知,∠BDC为所求二面角B-AD-C的平面角,又BC=BD=DC=a,∴△BDC为等边三角形.∴∠BDC=.
∴二面角B-AD-C的大小为.
10.B 解析如图所示,
在△ABC中,∵cosA=,∴sinA=.
∴S△ABC=|·||sinA=|·||·=8,即||·||=20.
设=λ,λ∈（0,1）,
则+λ（）=（1-λ）+λ,
又,∴λ=.
∴=3.
∴S△ABD=|·||=×8=6,
∴||·||=12.
又S△ACD=|·||=2,
∴||·||=4.
∴||·||·||·||=48.
∴||·||=,∴=||·||·∠EDF==-.
11. 解析设A,B,C,D,E每人所得依次为a1,a2,a3,a4,a5,由题设a1+a2+a3+a4+a5=5,且a1+a2=a3+a4+a5,即
故a5=a1+4d=.
12.5 i 解析|z|==5,
i.
故答案为5,i.
13.-2 -42 解析令x=1可得所有项系数和为-2,
又由于的通项为·（-2）r,
故（x2+1）的展开式的常数项是·（-2）+（-2）5=-42.
14.1 解析由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC=1+3-2×1×=1,
∴c=1,S△ABC=absinC=×1×.
15. -1 解析以BC,BA为邻边作矩形ABCE,
则,故P是BE的中点,
从而可知PD=AB=1,
CP=AC=,CD=,
CP·CD=.
cos∠CPD==-,
=||·||cos∠CPD
=1×=-1.
16.150 解析5名学生可分为2,2,1和3,1,1两组方式.
当5名学生分成2,2,1时,共有=90种方法;当5名学生分成3,1,1时,共有=60种方法.由分类加法计数原理知共有90+60=150种保送方法.
17. 解析∵f（x）=|xex|=
当x≥0时,f'（x）=ex+xex≥0恒成立,所以f（x）在[0,+∞）上为增函数;当x<0时,f'（x）=-ex-xex=-ex（x+1）,由f'（x）=0,得x=-1,当x∈（-∞,-1）时,f'（x）=-ex（x+1）>0,f（x）为增函数,当x∈（-1,0）时,f'（x）=-ex（x+1）<0,f（x）为减函数,所以函数f（x）=|xex|在（-∞,0）上有一个最大值为f（-1）=-（-1）e-1=,要使方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根,令f（x）=m,则方程m2+tm+1=0应有两个不等根,且一个根在内,一个根在内,再令g（m）=m2+tm+1,因为g（0）=1>0,则只需g<0,即t+1<0,解得t<-,所以,使得函数f（x）=|xex|,方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根的t的取值范围是.
18.解
（1）由已知得xQ=cos=coscos-sinsin,
yQ=sin=sincos+cossin,所以点Q的坐标为.
（2）函数f（x）=cossin
=cosx-sinx+cosx+sinx=cosx,于是,g（x）=cosx·cossin2x=sin.因-1≤sin≤1,故g（x）的值域为.
19.
（1）证明连接AC1,CB1,则△ACC1和△B1CC1皆为正三角形.取CC1中点O,连接OA,OB1,则CC1⊥OA,CC1⊥OB1,所以CC1⊥平面OAB1.所以CC1⊥AB1.
（2）解由
（1）知,OA=OB1=,又AB1=,
所以OA⊥OB1.如图所示,分别以OB1,OC1,OA为正方向建立空间直角坐标系,
则C（0,-1,0）,B1（,0,0）,A（0,0,）,
设平面CAB1的法向量为m=（x1,y1,z1）,
因为=（,0,-）,=（0,-1,-）,
所以
令z1=1,则m=（1,-,1）.
设平面A1AB1的法向量为n=（x2,y2,z2）,
因为=（,0,-）,=（0,2,0）,
所以
令z2=1,则n=（1,0,1）.
则cos=,
因为二面角C-AB1-A1为钝角,
所以二面角C-AB1-A1的余弦值为-.
20.解
（1）f（x）的定义域为（0,+∞）,f'（x）=2（lnx+1）,
令f'（x）=0,得x=,当x∈时,f'（x）<0,当x∈时,f'（x）>0,
所以f（x）在上单调递减;在上单调递增.
（2）存在x∈（0,+∞）,使f（x）≤g（x）成立,
即2xlnx≤-x2+ax-3在x∈（0,+∞）上能成立,
等价于a≥2lnx+x+在x∈（0,+∞）上能成立,
等价于a≥.
记h（x）=2lnx+x+,x∈（0,+∞）,
则h'（x）=+1-.
当x∈（0,1）时,h'（x）<0,
当x∈（1,+∞）时,h'（x）>0,
所以当x=1时,h（x）取最小值为4,故a≥4.
21.解
（1）由题意知,点P的轨迹为焦点在x轴上的椭圆,且a=,c=,b=,
所以动点P的轨迹方程为=1.
（2）若直线AB斜率不存在,则直线AB的方程为x=±,此时,|OQ|=.
若直线AB斜率存在,设直线AB方程为y=kx+b,A（x1,y1）,B（x2,y2）,联立
得（1+2k2）x2+4kbx+2b2-6=0,
所以x1+x2=-,x1x2=.
所以y1+y2=k（x1+x2）+2b=.
故点Q的坐标为.
因为直线AB与圆O相切,所以,即b2=2（1+k2）,
所以|OQ|2=
=2.
当k=0时,|OQ|=,
当k≠0时,|OQ|2=2.
当且仅当4k2=时,等号成立,
所以|OQ|∈.
22.
（1）证明a1=2,a2=2×（2+2）=8,
an+1=2（Sn+n+1）（n∈N*）,
an=2（Sn-1+n）（n≥2）,
两式相减,得an+1=3an+2（n≥2）,
经检验,当n=1时上式也成立,即an+1=3an+2（n≥1）.
有an+1+1=3（an+1）,即bn+1=3bn,且b1=3,
故{bn}是等比数列.
（2）解由
（1）得bn=3n,
Tn=1×3+2×32+3×33+…+n·3n,
3Tn=1×32+2×33+3×34+…+n·3n+1,
两式相减,得-2Tn=3+32+33+…+3n-n·3n+1=-n·3n+1,
化简得Tn=·3n+.
（3）证明由,
得+…++…+,
又,
有+…+
<
=,
故+…+.
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