全国初中数学联合竞赛试题参考答案.doc

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2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案

说明：

第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.

第一试

一、选择题：

（本题满分42分，每小题7分）

1．已知为整数，且满足，则的可能的值有（C）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2．已知非负实数满足，则的最大值为（A）

A．B．C．D．

3．在△中，，为的中点，于，交于，已知，，则＝（B）

A．B．C．D．

4．6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是（B）

A．B．C．D．

5．设表示不超过实数的最大整数，令.已知实数满足，则

（D）

A．B．C．D．1

6．在△中，，，，在上，在上，使得△为等腰直角三角形,,则的长为（A）

A．　　　B．　　　C．　　　　D．

二、填空题：

（本题满分28分，每小题7分）

1．已知实数满足，，则__0__．

2．使得不等式对唯一的整数成立的最大正整数为144．

3．已知为等腰△内一点，，，为的中点，与交于点，如果点为△的内心，则．

4．已知正整数满足:

，，，则36．

第二试（A）

一、（本题满分20分）设实数满足，，求的值．

解由已知条件可得，.

设，，则有，，……………………5分

联立解得或.……………………10分

若，即，，则是一元二次方程的两根，但这个方程的判别式，没有实数根；……………………15分

若，即，，则是一元二次方程的两根，这个方程的判别式，它有实数根.所以

.……………………20分

二．（本题满分25分）如图，在平行四边形中，为对角线上一点，且满足,的延长线与△的外接圆交于点.证明：

．

证明由是平行四边形及已知条件知.

……………………5分

又A、B、F、D四点共圆，所以，所以△∽△，……………………15分

所以.……………………20分

又，所以△∽△，故

.……………………25分

三．（本题满分25分）设是整数，如果存在整数满足，则称具有性质.在1，5，2013，2014这四个数中，哪些数具有性质，哪些数不具有性质？

并说明理由.

解取，，可得，所以1具有性质.

取，，可得，所以5具有性质.…………………5分

为了一般地判断哪些数具有性质，记，则

＝

.

即①

……………………10分

不妨设，

如果，即，则有；

如果，即，则有；

如果，即，则有；

由此可知，形如或或（为整数）的数都具有性质.

因此，1，5和2014都具有性质.……………………20分

若2013具有性质，则存在整数使得.注意到，从而可得，故，于是有，即，但2013＝9×223＋6，矛盾，所以2013不具有性质.……………………25分

第二试（B）

一．（本题满分20分）同（A）卷第一题.

二．（本题满分25分）如图，已知为△的外心，，为△的外接圆上一点，过点作直线的垂线，垂足为.若，，求.

解延长交⊙于点，延长交⊙于点，由题意得，所以为的平分线.……………………5分

又点在⊙的半径上，点、在⊙上，所以点、关于直线对称，.……………………10分

延长交⊙于点，因为为圆心，，所以点、关于直线对称，.因此.

……………………15分

又，，所以△≌△，所以，.……………………20分

因此，，即，所以.……………………25分

三．（本题满分25分）

设是整数，如果存在整数满足，则称具有性质.

（1）试判断1，2，3是否具有性质；

（2）在1，2，3，…，2013，2014这2014个连续整数中，不具有性质的数有多少个？

解取，，可得，所以1具有性质；

取，，可得，所以2具有性质；…………………5分

若3具有性质，则存在整数使得，从而可得，故，于是有，即，这是不可能的，所以3不具有性质.……………………10分

（2）记，则

＝

.

即①

……………………15分

不妨设，

如果，即，则有；

如果，即，则有；

如果，即，则有；

由此可知，形如或或（为整数）的数都具有性质.……………………20分

又若，则，从而，进而可知.

综合可知：

当且仅当或（为整数）时，整数不具有性质.

又2014＝9×223＋7，所以，在1，2，3，…，2013，2014这2014个连续整数中，不具有性质的数共有224×2＝448个.……………………25分