人教版初中数学八年级下册《第17章 勾股定理172 勾股定理的逆定理》同步练习卷2Word格式文档下载.docx

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15

C．∠C＝∠A﹣∠BD．b2﹣a2＝c2

7．下列各组线段中，能构成直角三角形的是（　　）

A．2，3，4B．3，4，6C．5，12，13D．4，6，7

8．已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（　　）

A．25B．14C．7D．7或25

9．下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（　　）

A．a＝1.5，b＝2，c＝3B．a＝7，b＝24，c＝25

C．a＝6，b＝8，c＝10D．a＝3，b＝4，c＝5

10．将一个直角三角形的三边扩大3倍，得到的三角形是（　　）

A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不能确定

11．小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是（　　）

A．8米B．10米C．12米D．14米

12．下列各组数中，不能构成直角三角形的是（　　）

A．2，3，4B．5，12，13C．6，8，10D．3，4，5

13．以下由线段a、b、c组成的三角形中，不是直角三角形的是（　　）

A．a＝1，b＝2，c＝

B．a＝30，b＝20，c＝10

C．a＝40，b＝9，c＝41D．a＝3，b＝

，c＝

14．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（　　）

15．一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°

夹角，这棵大树在折断前的高度为（　　）

A．10米B．15米C．25米D．30米

16．如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB＝2米，则树高为（　　）

A．

米B．

米C．（

+1）米D．3米

17．如图，四边形ABCD中，AB＝4cm，BC＝3cm，CD＝12cm，DA＝13cm，且∠ABC＝90°

，则四边形ABCD的面积为（　　）

A．6cm2B．30cm2C．24cm2D．36cm2

18．△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（　　）

A．如果∠C﹣∠B＝∠A，则△ABC是直角三角形

B．如果c2＝b2﹣a2，则△ABC是直角三角形，且∠C＝90°

C．如果（c+a）（c﹣a）＝b2，则△ABC是直角三角形

D．如果∠A：

∠C＝5：

2：

3，则△ABC是直角三角形

19．在下列长度的各组线段中，不能组成直角三角形的是（　　）

A．8，15，17B．1，2，

C．5，7，11D．9，12，15

20．以下各组数为边长的三角形中，能组成直角三角形的是（　　）

A．1，2，2B．2，3，4C．3，4，5D．4，5，6

21．如果下列各组数是三角形的三边长，那么不能组成直角三角形的一组数是（　　）

A．6，8，10B．4，5，6C．

，1，

D．

，4，5

22．下面的四组数中的三个数值分别是三角形的三边长，能够成直角三角形的一组是（　　）

A．1，

，

B．

C．2，3，4D．6，7，8

23．将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形（　　）

A．可能是锐角三角形B．不可能是直角三角形

C．仍然是直角三角形D．可能是钝角三角形

24．△ABC中，AB＝13，BC＝10，BC边上中线AP＝12，则AB，AC关系为（　　）

A．AB＞ACB．AB＝ACC．AB＜ACD．无法确定

25．下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（　　）

A．0.3，0.4，0.5B．8，9，10

C．7，24，25D．9，12，15

26．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（　　）

A．5，12，14B．6，8，10C．7，24，25D．8，15，17

27．在下列长度的各组线段中，能构成直角三角形的是（　　）

A．3，5，9B．1，

，2C．4，6，8D．

28．在下列说法中是错误的（　　）

A．若∠C＝∠A一∠B，则△ABC为直角三角形

B．若a：

c＝2：

2

，则△ABC为直角三角形

C．若a＝

c，b＝

c，则△ABC为直角三角形

D．若∠A：

∠C＝3：

5，则△ABC为直角三角形

29．下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是Rt△的是（　　）

A．a＝7，b＝24，c＝25B．a＝7，b＝24，c＝24

二．填空题（共12小题）

30．有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树　　米之外才是安全的．

31．已知：

如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止当t＝　　时，△PBQ是直角三角形．

32．已知△ABC的三边长为a、b、c，满足a+b＝10，ab＝18，c＝8，则此三角形为　　三角形．

33．如图，是一块地，AD＝8m，CD＝6m，∠D＝90°

，AB＝26m，BC＝24m，则这块地的面积为　　m2．

34．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了　　步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．

35．若三角形的边长分别为6、8、10，则它的最长边上的高为　　．

36．如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有　　米．

37．若一个三角形的三边之比为5：

13，且周长为60cm，则它的面积为　　cm2．

38．如图，有一个长为50cm，宽为30cm，高为40cm的长方体木箱，一根长70cm的木棍　　放入（填“能”或“不能”）．

39．木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为60cm，宽为32cm，对角线为68cm，这个桌面　　（填”合格”或”不合格”）．

40．如图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是　　米．

41．如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地经过C地沿折线A→C→B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC＝10千米，∠B＝45°

，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走　　千米．

三．解答题（共9小题）

42．为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图所示AB所在的直线建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，已知AB＝25km，CA＝15km，DB＝10km，试问：

图书室E应该建在距点A多少km处，才能使它到两所学校的距离相等？

43．在△ABC中，AB＝13，BC＝10，BC边上的中线AD＝12，求AC长．

44．已知：

如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，求四边形ABCD的面积．

45．如图，某中学有一块四边形的空地ABCD，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°

，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金买草皮？

46．如图，某学校（A点）与公路（直线L）的距离AB为300米，又与公路车站（D点）的距离AD为500米，现要在公路上建一个小商店（C点），使CA＝CD，求商店与车站之间的距离CD的长．

47．有一只喜鹊在一棵3m高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树24m的一棵大树上，大树高14m，且巢离树顶部1m．当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果它飞行的速度为5m/s，那它至少需要多少时间才能赶回巢中？

48．一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，

（1）这个梯子的顶端距地面有多高？

（2）如果梯子的顶端下滑了4米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？

49．如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？

50．一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底部3尺处，折断处离地面的高度是多少？

（1丈＝10尺）

人教新版八年级下学期《17.2勾股定理的逆定理》2020年同步练习卷

参考答案与试题解析

【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．

【解答】解：

A、42+52＝41≠62，不可以构成直角三角形，故A选项错误；

B、1.52+22＝6.25＝2.52，可以构成直角三角形，故B选项正确；

C、22+32＝13≠42，不可以构成直角三角形，故C选项错误；

D、12+（

）2＝3≠32，不可以构成直角三角形，故D选项错误．

故选：

B．

【点评】本题考查勾股定理的逆定理：

如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．

【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．

A、32+42＝52，故是直角三角形，故A选项不符合题意；

B、62+82＝102，故是直角三角形，故B选项不符合题意；

C、（

）2+22≠（

）2，故不是直角三角形，故C选项符合题意；

D、52+122＝132，故是直角三角形，故D选项不符合题意．

C．

【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．

【分析】本题可根据选项中的三个数看是否满足

＝c2，若满足则为答案．

∵32+42＝52，符合勾股定理的逆定理，

∴其能组成直角三角形，

【点评】此题主要考查直角三角形的判定的运用．

【分析】根据勾股定理的逆定理可知，当三角形中三边的关系为：

a2+b2＝c2时，则三角形为直角三角形．

A、92+402＝412，根据勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，故A选项错误；

B、

，根据勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，故B选项错误；

C、设a＝3k，则b＝4k，c＝5k，则（3k）2+（4k）2＝（5k）2，根据勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，故C选项错误；

D、112+122≠152，根据勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故D选项正确．

D．

【点评】本题考查了直角三角形的判定：

可用勾股定理的逆定理判定．

【分析】根据勾股定理的逆定理：

如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．

A、1.52+22≠32，不符合勾股定理的逆定理，故正确；

B、72+242＝252，符合勾股定理的逆定理，故错误；

C、62+82＝102，符合勾股定理的逆定理，故错误；

D、92+122＝152，符合勾股定理的逆定理，故错误．

【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．

【分析】依据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理以及直角三角形的性质，即可得到结论．

A、由a：

5得c2＝a2+b2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；

B、由∠A：

15，及∠A+∠B+∠C＝180°

得∠C＝75°

≠90°

，故不是直角三角形；

C、由三角形三个角度数和是180°

及∠C＝∠A﹣∠B解得∠A＝90°

，故是直角三角形．

D、由b2﹣a2＝c2得b2＝a2+c2符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；

【点评】本题考查了直角三角形的判定及勾股定理的逆定理，掌握直角三角形的判定及勾股定理的逆定理是解题的关键．

【分析】判断是否为直角三角形，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．

A、22+32＝13≠42，故A选项构成不是直角三角形；

B、32+42＝25≠62，故B选项构成不是直角三角形；

C、52+122＝169＝132，故C选项构成是直角三角形；

D、42+62＝52≠72，故D选项构成不是直角三角形．

【分析】已知的这两条边可以为直角边，也可以是一条直角边一条斜边，从而分两种情况进行讨论解答．

分两种情况：

（1）3、4都为直角边，由勾股定理得，斜边为5；

（2）3为直角边，4为斜边，由勾股定理得，直角边为

．∴第三边长的平方是25或7，

【点评】本题利用了分类讨论思想，是数学中常用的一种解题方法．

如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．

A、∵1.52+22≠32，∴该三角形不是直角三角形，故A选项符合题意；

B、∵72+242＝252，∴该三角形是直角三角形，故B选项不符合题意；

C、∵62+82＝102，∴该三角形是直角三角形，故C选项不符合题意；

D、∵32+42＝52，∴该三角形不是直角三角形，故D选项不符合题意．

【分析】根据三组对应边的比相等的三角形相似，依据相似三角形的性质就可以求解．

将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形与原三角形相似，因而得到的三角形是直角三角形

【点评】本题主要考查相似三角形的判定以及性质，得出两三角形相似是解题的关键，是基础题，难度不大．

【分析】根据题意设旗杆的高AB为x米，则绳子AC的长为（x+1）米，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高．

画出示意图如下所示：

设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m，

在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，

∴x2+52＝（x+1）2，

解得：

x＝12，

∴AB＝12m，

即旗杆的高是12m．

【点评】此题考查了勾股定理在实际问题中的应用，能够正确理解题意继而构造直角三角形是解决本题的关键，难度一般．

【分析】欲判断能否构成直角三角形，只需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．

A、22+32≠42，不能构成直角三角形；

B、52+122＝132，能构成直角三角形；

C、62+82＝102，能构成直角三角形；

D、32+42＝52，能构成直角三角形．

【点评】本题考查了利用勾股定理逆定理判定直角三角形的方法．在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．

【分析】根据判断三条线段是否能构成直角三角形的三边，需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方，分别对每一项进行分析，即可得出答案．

A、12+22＝（

）2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；

B、202+（10

）2＝302，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；

C、402+92＝412，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；

D、32+（

）2≠（

）2，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形．

【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理：

用到的知识点是已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．

【分析】根据“两点之间线段最短”可知：

小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．

如图，设大树高为AB＝10m，

小树高为CD＝4m，

过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，

连接AC，

∴EB＝4m，EC＝8m，AE＝AB﹣EB＝10﹣4＝6m，

在Rt△AEC中，AC＝

＝10m，

【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．

【分析】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝30°

，由此即可得到AB＝2AC，而根据题意找到CA＝5米，由此即可求出AB，也就求出了大树在折断前的高度．

如图，在Rt△ABC中，

∵∠ABC＝30°

∴AB＝2AC，

∵CA＝5米，

∴AB＝10米，

∴AB+AC＝15米．

所以这棵大树在折断前的高度为15米．

【点评】本题主要利用定理﹣﹣在直角三角形中30°

的角所对的直角边等于斜边的一半，解题关键是善于观察题目的信息，利用信息解决问题．

【分析】在Rt△ACB中，根据勾股定理可求得BC的长，而树的高度为AC+BC，AC的长已知，由此得解．

Rt△ABC中，AC＝1米，AB＝2米；

由勾股定理，得：

BC＝

＝

米；

∴树的高度为：

AC+BC＝（

+1）米；

【点评】正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题的关键．

【分析】连接AC，在Rt△ADC中，已知AB，BC的长，运用勾股定理可求出AC的长，在△ADC中，已知三边长，运用勾股定理逆定理，可得此三角形为直角三角形，故四边形ABCD的面积为Rt△ACD与Rt△ABC的面积之差．

∵∠ABC＝90°

，AB＝4cm，BC＝3cm，

∴AC＝5cm，

∵CD＝12cm，DA＝13cm，

AC2+CD2＝52+122＝169＝132＝DA2，

∴△ADC为直角三角形，

∴S四边形ABCD＝S△ACD﹣S△ABC

AC×

CD﹣

AB×

BC

×

5×

12﹣

4×

3

＝30﹣6

＝24（cm2）．

故四边形ABCD的面积为24cm2．

【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积公式，根据题意作出辅助线，判断出△ACD的形状是解答此题的关键．

B．如果c2＝b2﹣a2，则△ABC是直角三角形，且∠