空间向量知识点归纳(期末复习)Word文档格式.doc

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推论：

设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使。

6.空间向量的数量积。

（1）空间向量的夹角及其表示：

已知两非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作；

且规定，显然有；

若，则称与互相垂直，记作：

。

（2）向量的模：

设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：

（3）向量的数量积：

已知向量，则叫做的数量积，记作，即。

（4）空间向量数量积的性质：

①。

②。

③。

（5）空间向量数量积运算律：

②（交换律）。

③（分配律）。

7.空间向量的坐标运算：

（1）.向量的直角坐标运算

设＝，＝则

（1）＋＝；

（2）－＝；

（3）λ＝（λ∈R）；

（4）·

＝；

（2）.设A，B，则=.

（3）.设，，则

=

；

.

（4）.夹角公式设＝，＝，

则.

（5）．异面直线所成角

=.

（6）.直线和平面所成的角的求法

如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝|cosθ|＝.

（7）.二面角的求法

（1）如图①，AB，CD是二面角α­

l­

β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．

（2）如图②③，n1，n2分别是二面角α­

β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ＝〈n1，n2〉或π－〈n1，n2〉．

练习题：

1．已知a＝（－3,2,5），b＝（1，x，－1）且a·

b＝2，则x的值是（　　）

A．3B．4C．5D．6

2．已知a＝（2,4,5），b＝（3，x，y），若a∥b，则（　　）

A．x＝6，y＝15B．x＝3，y＝

C．x＝3，y＝15D．x＝6，y＝

3．已知空间三点A（0,2,3），B（－2,1,6），C（1，－1,5）．若|a|＝，且a分别与，垂直，则向量a为（　　）

A．（1,1,1）

B．（－1，－1，－1）

C．（1,1,1）或（－1，－1，－1）

D．（1，－1,1）或（－1,1，－1）

4．若a＝（2，－3,5），b＝（－3,1，－4），则|a－2b|＝________.

5．如图所示，

已知正四面体ABCD中，AE＝AB，CF＝CD，则直线DE和BF所成角的余弦值为________．

4.

解析　∵a－2b＝（8，－5,13），

∴|a－2b|＝＝.

5.

解析　因四面体ABCD是正四面体，顶点A在底面BCD内的射影为△BCD的垂心，所以有BC⊥DA，AB⊥CD.设正四面体的棱长为4，

则·

＝（＋）·

（＋）

＝0＋·

＋·

＋0

＝4×

1×

cos120°

＋1×

4×

＝－4，

BF＝DE＝＝，

所以异面直线DE与BF的夹角θ的余弦值为：

cosθ＝＝.

6.如图所示，在平行六面体ABCD­

A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：

（1）；

（2）；

（3）＋.

解：

（1）∵P是C1D1的中点，

∴＝＋＋

＝a＋＋

＝a＋c＋

＝a＋c＋b.

（2）∵N是BC的中点，

∴＝＋＋＝－a＋b＋

＝－a＋b＋＝－a＋b＋c.

（3）∵M是AA1的中点，

∴＝＋＝＋

＝－a＋＝a＋b＋c，

又＝＋＝＋

＝＋＝c＋a，

∴＋＝＋

＝a＋b＋c.

7.已知直三棱柱ABC­

A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°

，且AB＝AA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点．

（1）求证：

DE∥平面ABC；

（2）求证：

B1F⊥平面AEF.

证明：

以A为原点，AB，AC，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A­

xyz，令AB＝AA1＝4，则A（0,0,0），E（0,4,2），F（2,2,0），B1（4,0,4），D（2,0,2），A1（0,0,4），

（1）＝（－2,4,0），平面ABC的法向量为＝（0,0,4），

∵·

＝0，DE⊄平面ABC，

∴DE∥平面ABC.

（2）＝（－2,2，－4），＝（2，－2，－2），

·

＝（－2）×

2＋2×

（－2）＋（－4）×

（－2）＝0，

∴⊥，B1F⊥EF，

2＋（－4）×

0＝0，

∴⊥，∴B1F⊥AF.

∵AF∩EF＝F，∴B1F⊥平面AEF.

8.如图所示，在四棱锥P­

ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°

，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°

的角．求证：

（1）CM∥平面PAD；

（2）平面PAB⊥平面PAD.

以C为坐标原点，CB为x轴，CD为y轴，CP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系C­

xyz.

∵PC⊥平面ABCD，

∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，

∴∠PBC＝30°

，

∵PC＝2，∴BC＝2，PB＝4，

∴D（0,1,0），B（2，0,0），A（2，4,0），P（0,0,2），M，

∴＝（0，－1,2），＝（2，3,0），

＝.

（1）设n＝（x，y，z）为平面PAD的一个法向量，

由即

令y＝2，得n＝（－，2,1）．

∵n·

＝－×

＋2×

0＋1×

＝0，

∴n⊥.又CM⊄平面PAD，

∴CM∥平面PAD.

（2）如图，取AP的中点E，连接BE，

则E（，2,1），＝（－，2,1）．

∵PB＝AB，∴BE⊥PA.

又∵·

＝（－，2,1）·

（2，3,0）＝0，

∴⊥.∴BE⊥DA.

又PA∩DA＝A，∴BE⊥平面PAD.

又∵BE⊂平面PAB，

∴平面PAB⊥平面PAD.

9.如图，在正方体ABCD­

A1B1C1D1中，E为AB的中点．

（1）求直线AD和直线B1C所成角的大小；

平面EB1D⊥平面B1CD.

不妨设正方体的棱长为2个单位长度，以DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D­

根据已知得：

D（0,0,0），A（2,0,0），B（2,2,0），C（0,2,0），B1（2,2,2）．

（1）∵＝（2,0,0），＝（2,0,2），∴cos〈，〉＝＝.

∴直线AD和直线B1C所成角为.

（2）证明：

取B1D的中点F，得F（1,1,1），连接EF.

∵E为AB的中点，∴E（2,1,0），

∴＝（－1,0,1），＝（0,2,0），

∴·

＝0，·

∴EF⊥DC，EF⊥CB1.

∵DC∩CB1＝C，∴EF⊥平面B1CD.

又∵EF⊂平面EB1D，∴平面EB1D⊥平面B1CD.

10．如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD＝2BC，EA⊥EB.

AB⊥DE；

（2）求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；

（3）线段EA上是否存在点F，使EC∥平面FBD？

若存在，求出；

若不存在，请说明理由．

（1）证明：

取AB的中点O，连接EO，DO.

因为EB＝EA，所以EO⊥AB.

因为四边形ABCD为直角梯形．

AB＝2CD＝2BC，AB⊥BC，

所以四边形OBCD为正方形，所以AB⊥OD.

因为EO∩DO＝O，

所以AB⊥平面EOD，所以AB⊥ED.

（2）因为平面ABE⊥平面ABCD，且EO⊥AB，

所以EO⊥平面ABCD，所以EO⊥OD.

由OB，OD，OE两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O­

因为三角形EAB为等腰直角三角形，

所以OA＝OB＝OD＝OE，

设OB＝1，

所以O（0,0,0），A（－1,0,0），B（1,0,0），C（1,1,0），

D（0,1,0），E（0,0,1）．所以＝（1,1，－1），

平面ABE的一个法向量为＝（0,1,0）．

设直线EC与平面ABE所成的角为θ，

所以sinθ＝|cos〈，〉|＝＝，

即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为.

11.

（12分）如图，在底面是矩形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，BC＝4，E是PD的中点．

平面PDC⊥平面PAD；

（2）求点B到平面PCD的距离．

21.

（1）证明　如图，以A为原点，AD、AB、AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则依题意可知A（0,0,0），B（0,2,0），

C（4,2,0），D（4,0,0），P（0,0,2）．

∴＝（4,0，－2），＝（0，－2,0），＝（0,0，－2）．

设平面PDC的一个法向量为n＝（x，y,1），

则⇒⇒

所以平面PCD的一个法向量为.

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，

又∵AB⊥AD，PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD.

∴平面PAD的法向量为＝（0,2,0）．

＝0，∴n⊥.

∴平面PDC⊥平面PAD.

（2）解　由

（1）知平面PCD的一个单位法向量为＝.

∴＝＝，

∴点B到平面PCD的距离为.

12．如图所示，在多面体ABCD­

A1B1C1D1中，上、下两个底面A1B1C1D1和ABCD互相平行，且都是正方形，DD1⊥底面ABCD，AB＝2A1B1＝2DD1＝2a.

（1）求异面直线AB1与DD1所成角的余弦值；

（2）已知F是AD的中点，求证：

FB1⊥平面BCC1B1；

（3）在

（2）的条件下，求二面角F­

CC1­

B的余弦值．

以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系D­

xyz，则A（2a，0,0），B（2a,2a,0），C（0,2a,0），D1（0,0，a），F（a,0,0），B1（a，a，a），C1（0，a，a）．

（1）∵＝（－a，a，a），＝（0,0，a），

∴|cos〈，〉|＝＝，

∴异面直线AB1与DD1所成角的余弦值为.

∵＝（－a，－a，a），＝（－2a,0,0），＝（0，a，a），

∴

∴FB1⊥BB1，FB1⊥BC.

∵BB1∩BC＝B，∴FB1⊥平面BCC1B1.

（3）由

（2）知，为平面BCC1B1的一个法向量．

设n＝（x1，y1，z1）为平面FCC1的法向量，

∵＝（0，－a，a），＝（－a,2a,0），

∴得

令y1＝1，则n＝（2,1,1），

∴cos〈，n〉＝＝，

∵二面角F­

B为锐角，

∴二面角F­

B的余弦值为.

13．如图，四棱柱ABCD­

A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝AB＝2，E为棱AA1的中点．

B1C1⊥CE;

（2）求二面角B1­

CE­

C1的正弦值．

（3）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长．

法一：

如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A（0,0,0），B（0,0,2），C（1,0,1），B1（0,2,2），C1（1,2,1），E（0,1,0）．

易得＝（1,0，－1），＝（－1,1，－1），于是·

＝0，所以B1C1⊥CE.

（2）＝（1，－2，－1）．

设平面B1CE的法向量m＝（x，y，z），

则即消去x，得y＋2z＝0，不妨令z＝1，可得一个法向量为m＝（－3，－2,1）．

由

（1）知，B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，可得B1C1⊥平面CEC1，故＝（1,0，－1）为平面CEC1的一个法向量．

于是cos〈m，〉＝＝＝－，

从而sin〈m，〉＝.

所以二面角B1­

C1的正弦值为.

（3）＝（0,1,0），＝（1,1,1）．设＝λ＝（λ，λ，λ），0≤λ≤1，有＝＋＝（λ，λ＋1，λ）．可取＝（0,0,2）为平面ADD1A1的一个法向量．设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则sinθ＝|cos〈，〉|＝＝＝.于是＝，解得λ＝，所以AM＝.

法二：

因为侧棱CC1⊥底面A1B1C1D1，B1C1⊂平面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1C1.经计算可得B1E＝，B1C1＝，EC1＝，从而B1E2＝B1C＋EC，所以在△B1EC1中，B1C1⊥C1E，又CC1，C1E⊂平面CC1E，CC1∩C1E＝C1，所以B1C1⊥平面CC1E.又CE⊂平面CC1E，故B1C1⊥CE.

（2）过B1作B1G⊥CE于点G，连接C1G.由

（1）知，B1C1⊥CE，故CE⊥平面B1C1G，得CE⊥C1G，所以∠B1GC1为二面角B1­

C1的平面角．在△CC1E中，由CE＝C1E＝，CC1＝2，可得C1G＝.在Rt△B1C1G中，B1G＝，所以sin∠B1GC1＝，

即二面角B1­

（3）连接D1E，过点M作MH⊥ED1于点H，可得MH⊥平面ADD1A1，连接AH，AM，则∠MAH为直线AM与平面ADD1A1所成的角．

设AM＝x，从而在Rt△AHM中，有MH＝x，AH＝x.在Rt△C1D1E中，C1D1＝1，ED1＝，得EH＝MH＝x.在△AEH中，∠AEH＝135°

，AE＝1，由AH2＝AE2＋EH2－2AE·

EHcos135°

得x2＝1＋x2＋x，

整理得5x2－2x－6＝0，解得x＝.所以线段AM的长为.

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