四川中考数学八大题型集训专题复习6求最短路径问题.docx

四川中考数学八大题型集训专题复习6求最短路径问题.docx

《四川中考数学八大题型集训专题复习6求最短路径问题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《四川中考数学八大题型集训专题复习6求最短路径问题.docx（9页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

四川中考数学八大题型集训专题复习6求最短路径问题

专题复习（六）　求最短路径问题

最短路径问题在四川省的中考中出现的频率很高，这类问题一般与垂线段最短、两点之间线段最短关系密切．

类型1　利用“垂线段最短”求最短路径问题

　如图所示，AB是一条河流，要铺设管道将河水引到C，D两个用水点，现有两种铺设管道的方案．方案一：

分别过C，D作AB的垂线，垂足分别为E，F，沿CE，DF铺设管道；方案二：

连接CD交AB于点P，沿PC、PD铺设管道．问：

这两种铺设管道的方案中哪一种更节省材料，为什么？

【思路点拨】　方案一管道长为CE＋DF，方案二管道长为PC＋PD，利用垂线段最短即可比较出大小．

【解答】　按方案一铺设管道更节省材料．理由如下：

∵CE⊥AB，DF⊥AB，而AB与CD不垂直，

∴根据“垂线段最短”，可知

DF＜DP，CE＜CP，

∴CE＋DF＜CP＋DP，

∴沿CE、DF铺设管道更节省材料．

本题易错误的利用两点之间线段最短解决，解答时需要准确识图，找到图形对应的知识点．

1．（2019·保定一模）如图，点A的坐标为（－1，0），点B（a，a），当线段AB最短时，点B的坐标为（）

A．（0，0）

B．（，－）

C．（－，－）

D．（－，－）

2．（2019·杭州模拟）在直角坐标系中，点P落在直线x－2y＋6＝0上，O为坐标原点，则|OP|的最小值为（）

A.B．3C.D.

3．（2019·内江）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y＝kx－3k＋4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为________．

4．（2019·碑林区期中）如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池．

（1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H点的位置，使它到四个村庄距离之和最小；

（2）计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短并说明根据．

类型2　利用“两点之间线段最短”求最短路径问题

　（2019·乐陵模拟）

（1）如图1，直线同侧有两点A，B，在直线MN上求一点C，使它到A、B之和最小；（保留作图痕迹不写作法）

（2）知识拓展：

如图2，点P在∠AOB内部，试在OA、OB上分别找出两点E、F，使△PEF周长最短；（保留作图痕迹不写作法）

（3）解决问题：

①如图3，在五边形ABCDE中，在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN周长最小；（保留作图痕迹不写作法）

②若∠BAE＝125°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC，AE＝DE，∠AMN＋∠ANM的度数为________．

【思路点拨】　

（1）根据两点之间线段最短，作A关于直线MN的对称点E，连接BE交直线MN于C，即可解决；

（2）作P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD交OA、OB于E、F，此时△PEF周长有最小值；

（3）①取点A关于BC的对称点P，关于DE的对称点Q，连接PQ与BC相交于点M，与DE相交于点N，PQ的长度即为△AMN的周长最小值；

②根据三角形的内角和等于180°求出∠P＋∠Q，再根据三角形的外角以及三角形内角和知识运用整体思想解决．

【解答】　

（1）作A关于直线MN的对称点E，连接BE交直线MN于C，连接AC，BC，则此时C点符合要求．

　　　　　图1　　　　　　　　　　　　图2图3

（2）作图如图．

（3）①作图如图．

②∵∠BAE＝125°，

∴∠P＋∠Q＝180°－125°＝55°.

∵∠AMN＝∠P＋∠PAM＝2∠P，∠ANM＝∠Q＋∠QAN＝2∠Q，

∴∠AMN＋∠ANM＝2（∠P＋∠Q）＝2×55°＝110°.

“两点（直线同侧）一线型”在直线上求一点到两点的和最短时，利用轴对称的知识作一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点与直线的交点就是所求的点；“一点两线型”求三角形周长最短问题，作点关于两直线的对称点，连接两个对称点与两直线分别有两个交点，顺次连接所给的点与两交点即可得三角形；“两点两线型”求四边形的周长最短类比“一点两线型”即可．

1．（2019·内江）如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE最小，则这个最小值为（）

A.B．2C．2D.

2．（2019·遵义）如图，在四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（）

A．50°B．60°C．70°D．80°

3．（2019·攀枝花）如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE＋DE的最小值为________．

4．（2019·鄂州）如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP＝6，当△PMN的周长取最小值时，四边形PMON的面积为________．

5．（2019·凉山）菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB＝60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，－1），当EP＋BP最短时，点P的坐标为____________．

6．（2019·广元改编）如图，已知抛物线y＝－（x＋2）（x－m）（m＞0）与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，且点A在点B的左侧．

（1）若抛物线过点G（2，2），求实数m的值；

（2）在

（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使AH＋CH最小，并求出点H的坐标．

7．（2019·成都改编）如图，一次函数y＝－x＋4的图象与反比例y＝（k为常数，且k≠0）的图象交于A，B两点．在x轴上找一点P，使PA＋PB的值最小，求满足条件的点P的坐标．

8．如图所示，已知点A是半圆上的三等分点，B是的中点，P是直径MN上的一动点，⊙O的半径为1，请问：

P在MN上什么位置时，AP＋BP的值最小？

并给出AP＋BP的最小值．

9．（2019·达州）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，∠AOC的平分线交AB于点D，E为BC的中点，已知A（0，4）、C（5，0），二次函数y＝x2＋bx＋c的图象抛物线经过A，C两点．

（1）求该二次函数的表达式；

（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接D、E、F、G构成四边形DEFG，求四边形DEFG周长的最小值；

（3）抛物线上是否在点P，使△ODP的面积为12？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

类型1　利用“垂线段最短”求最短路径问题

1．D　2.C　

3.24　提示：

∵直线y＝kx－3k＋4必过点D（3，4），

∴当BC过点D且BC⊥OD时最小．

∵点D的坐标是（3，4），∴OD＝5.∵OB＝OA＝13，

∴根据勾股定理可得BD＝12.∴BC的长的最小值为24.　

4.

（1）∵两点之间线段最短，∴连接AD，BC交于H，则H为蓄水池位置，它到四个村庄距离之和最小．

（2）过H作HG⊥EF，垂足为G.则沿HG开渠最短，根据垂线段最短．

类型2　利用“两点之间线段最短”求最短路径问题

1．B　2.D　3.　提示：

作B关于AC的对称点B′，连接AD、AB′、BB′、B′D，交AC于E，此时BE＋ED＝B′E＋ED＝B′D，根据两点之间线段最短可知B′D就是BE＋ED的最小值，∵B、B′关于AC对称，∴AC、BB′互相垂直平分．∴四边形ABCB′是平行四边形．∵三角形ABC是边长为2，∵D为BC的中点，∴AD⊥BC.∴AD＝，BD＝CD＝1，BB′＝2AD＝2，作B′G⊥BC的延长线于G，∴B′G＝AD＝，在Rt△B′BG中，BG＝＝＝3.∴DG＝BG－BD＝3－1＝2.在Rt△B′DG中，B′D＝＝＝.故BE＋ED的最小值为.

4.36－54　5.（2－3，2－）　

6.

（1）抛物线过点G（2，2）时，－（2＋2）（2－m）＝2，即m＝4.

（2）∵m＝4，∴y＝－（x＋2）（x－4）．令y＝0，则－（x＋2）（x－4）＝0，解得x1＝－2，x2＝4.

∴A（－2，0），B（4，0）．

∴抛物线对称轴为直线x＝＝1.令x＝0，则y＝2，

∴C（0，2）．

∵B点与A点关于对称轴对称，

∴连接BC，BC与对称轴的交点便为所求点H.

∵B（4，0），C（0，2），

∴求得线段BC所在直线为y＝－x＋2.当x＝1时，y＝，

∴H（1，）．　

7.联立解得或

∴A（1，3），B（3，1）．B点关于x轴的对称点B′坐标为（3，－1），

连接AB′交x轴于点P′，连接BP′.

设直线AB′为y＝kx＋b，联立得解得

∴y＝－2x＋5.令y＝0，得x＝.

∴P′（，0）．即满足条件的P的坐标为（，0）．　

8.作A关于MN的对称点A′，根据圆的对称性，则A′必在圆上，连接BA′交MN于P，连接PA，则PA＋PB最小，

此时PA＋PB＝PA′＋PB＝A′B.连接OA、OA′、OB，∵＝，

∴∠AON＝∠A′ON＝60°.∵＝，

∴∠BON＝∠AON＝30°.∴∠A′OB＝90°.

∴A′B＝＝＝，即AP＋BP的最小值是.　

9.

（1）将A（0，4）、C（5，0）代入二次函数y＝x2＋bx＋c，得解得

∴二次函数的表达式y＝x2－x＋4.

（2）延长EC至E′，使E′C＝EC，延长DA至D′，使D′A＝DA，连接D′E′，交x轴于F点，交y轴于G点，

连接DG，EF，DE，GD＝GD′，EF＝E′F，（DG＋GF＋EF＋ED）最小＝D′E′＋DE，

由E点坐标为（5，2），D（4，4），得D′（－4，4），E′（5，－2）．由勾股定理，

得DE＝＝，D′E′＝＝3，

∴（DG＋GF＋EF＋ED）最小＝D′E′＋DE＝3＋，即四边形DEFG周长的最小值为3＋.

（3）如下图：

OD＝＝4.

∵S△ODP＝12.

∴点P到OD的距离＝＝＝3.

过点O作OF⊥OD，取OF＝3，过点F作直线FG∥OD，交y轴于G点，交抛物线于点P1，P2，

在Rt△OGF中，OG＝＝＝6.

∴直线GF的解析式为y＝x－6.将y＝x－6代入y＝x2－x＋4得：

x－6＝x2－x＋4.

解得x1＝，x2＝.将x1，x2的值代入y＝x－6得：

y1＝，y2＝.

∴点P1（，），P2（，）．

如下图所示：

过点O作OF⊥OD，取OF＝3，

过点F作直线FG，交y轴于G点，交抛物线于P3，P4，在Rt△GFO中，OG＝＝6.

∴直线FG的解析式为y＝x＋6.将y＝x＋6代入y＝x2－x＋4得：

x＋6＝x2－x＋4.解得x1＝，x2＝.y1＝x1＋6＝，y2＝x2＋6＝，

∴P3（，），P4（，）．

综上所述：

点P的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）．